Vamos a definir esta vez una familia de sucesiones numéricas, todas las cuales son variantes de la sucesión de Fibonacci. En cualquiera de estas sucesiones los primeros n números son elegidos arbitrariamente; a partir de allí se usa la siguiente regla: cada número es la suma del inmediato anterior más otro que se encuentre aún más atrás.
Por ejemplo, podemos definir la sucesión b(n) que comienza con 1, 2, 3, es decir, b(1) = 1, b(2) = 2, b(3) = 3 y que a partir de allí siga la regla:
b(n) = b(n-1) + b(n-2) si n = 2k
b(n) = b(n-1) + b(n-4) si n = 2k + 1
La sucesión comienza entonces con 1, 2, 3, 5, 6, 11, 14, 25, 31, 56, 70, ...
Diremos que esta sucesión b(n) es de tipo 1, 3, 1, 3, 1, 3,.... Esto significa que cada término es la suma del inmediato precedente más otro que se halla más atrás y que se obtiene así: la primera vez salteo un término hacia atrás, la segunda vez salteo tres términos hacia atrás, luego uno, luego tres, etc.
En su libro Circo Matemático, Martín Gardner habla de la sucesión de Fibonacci y, entre otros datos muy interesantes, menciona allí distintas situaciones (físicas, biológicas, etc.) en las que esta sucesión se nos aparece. Por ejemplo, imaginemos hay tres cristales planos horizontales y un rayo de luz que incide sobre ellos oblicuamente desde arriba. El rayo, al llegar, atraviesa el primer plano, pero después de eso el rayo puede atravesar los planos o bien puede rebotar en ellos.
Si el rayo nunca rebota entonces tiene sólo una trayectoria posible: atraviesa los tres planos y listo.
Si el rayo rebota una sola vez entonces tiene dos trayectorias posibles: rebota en el segundo plano o rebota en el tercero.
Si rebota dos veces, hay tres trayectorias: rebota en el segundo y luego en el primero, o bien rebota en el tercero y luego en el segundo, o bien rebota en el tercero y luego en el primero.
Las cantidades de trayectorias son 1, 2, 3, y después sigue 5, 8, 13,... Es decir, obtenemos la sucesión de Fibonacci.
¿Qué sucesiones se obtendrían para cuatro planos, cinco, seis, etc?
Solución para tres planos: Construimos la sucesión que comienza con 1, 2 y que luego es del tipo 1, 1, 1, 1,.... De ella tomamos todos los términos. Obtenemos la sucesión de Fibonacci.
Solución para cuatro planos: Construimos la sucesión que comienza con 1, 2, 3 y que luego es del tipo 1, 3, 1, 3, 1, 3,... De ella tomamos el primer término y luego vamos saltando uno. De 1, 2, 3, 5, 6, 11, 14, 25, 31, 56, 70, ... nos quedamos con 1, 3, 6,14, 51, 70,.... Esta sucesión nos da la cantidad de trayectorias para 0, 1, 2, 3,... rebotes si hay cuatro planos.
Solución para cinco planos: Construimos la sucesión que comienza con 1, 2, 3, 4 y que luego es del tipo 1, 3, 5, 1, 3, 5, 1, 3, 5,... De ella tomamos el primer término y luego vamos saltando dos.
Solución para n planos: Construimos la sucesión que comienza con 1, 2, 3,..., n-1 y que luego es del tipo 1, 3, 5, 7, ..., 2n-5, 1, 3, 5, 7,..., 2n-5, De ella tomamos el primer término y luego vamos saltando n–3. Ésta es la solución para n planos.
Problemas:
a) Es sabido que los cocientes de términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci se acerca cada vez más a la razón áurea o número de oro. Esto es cierto aunque en lugar de 1, 1,... se elija otro comienzo cualquiera. ¿Puede decirse algo sobre los cocientes de los términos consecutivos de estas sucesiones generalizadas? ¿Qué ocurre con los cocientes de una sucesión de tipo 2, 2, 2, 2, 2,... o 3, 3, 3, 3,... o, en general, k, k, k, k,...? ¿Depende de los términos iniciales? ¿Depende de k?
b) Observemos que la sucesión natural 1, 2, 3, 4, 5,... cae también dentro de este tipo general. Se definiría como aquella que comienza con 1, 2 y luego es del tipo 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... ¿Hay otras sucesiones conocidas que sean de este tipo general?
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