17.8.11

Razonamiento

Teorema: Dado cualquier número irracional existe una sucesión de números racionales que converge a él.

Demostración: Tomemos, por ejemplo, el número Pi = 3,141592... Consideremos la sucesión: 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415;... Es claro que se trata de una sucesión de números racionales que converge a Pi. Por otra parte, es obvio también que el mismo procedimiento puede repetirse para cualquier otro número irracional. Por lo tanto el teorema queda probado.

La pregunta es: ¿Es válida esta demostración?

17 comentarios:

Marcos dijo...

Si todo número irracional tiene una expresión válida en decimal, el razonamiento es válido. ¿Pero será el caso? La intuición suele fallar...

Carla Liuzzi dijo...

Todo número irracional posee infinitas cifras decimales no periódicas. Tomando como ejemplo pi, sabemos que sus cifras decimales no siguen ningún patrón, entonces yo me pregunto... ¿Cómo es posible "construir" una sucesión que tienda a pi si se desconocen sus cifras decimales? ¿Por qué es claro que la sucesión 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415,... converge a pi? ¿ Acaso la misma misma sucesión no podría converger al número 3.14159265?

Creo que la demostración no es válida!

Fernando Michalski dijo...

Adhiero al comentario de la Sra. Luizzi: una sucesión del tipo 1,2,3,4,5... etc. INTUITIVAMENTE y NO OBVIAMENTE diverge, pero la única forma de SABERLO es conociendo la sucesión por comprensión o extensión. Es decir, PARECERÍA que la sucesión ejemplificada por el Topo Lógico converge a pi, pero en realidad desconozco sus términos y su regla de vinculación (o formulita) como para poder aseverarlo. Más fácil: cómo sé si el término número 77 millones tiene el decimal correcto? y si lo averiguo, el siguiente también??? y el siguiente a ese? la única forma de aseverar que esa sucesión va tomando la forma de pi, es conociendo pi... y no lo he logrado por el momento...

Anónimo dijo...

¿valdría como definición de la sucesión ?

elemento_i_de_la_sucesión_que_se_aproxima_a__N=(parte_entera_de(N*10^i) )/(10^î)

Anónimo dijo...

Estoy de acuerdo con el Topo, estariamos saliendo del concepto de número irracional, y solo decimos q armamos una sucesión que tiende.

PG dijo...

Cantor: "La existencia de un infinito potencial presupone la existencia de un infinito actual."

Borja dijo...

No es una demostración, porque ni siquiera es un teorema.
Por definición, un número real es el límite de una sucesión de números racionales, con lo que no hay nada que demostrar.

Caso de que estemos ante un número real cuya serie de racionales asociada desconozcamos, nos vendrá dado por alguna propiedad, como por ejemplo "aquel número que cumple que al multiplicarlo por sí mismo el resultado es 2", a lo que llamamos raíz cuadrada de dos.

Pues bien, una forma de saber si una sucesión de números racionales converge a raíz de dos (por ejemplo) es ver sí podemos encontrar un término a partir del cual todos los siguientes términos se acercan tanto a la propiedad establecida como queramos.
Otra forma sería, ver si dicha sucesión converge al mismo límite que una previamente conocida.

Gustavo Piñeiro dijo...

Que una afirmación sea, o no, un teorema, una definición o un axioma depende, precisamente, de qué axiomas o definiciones tomemos como punto de partida. Una misma afirmación (referida a los mismos objetos) puede ser un teorema en un contexto teórico, una definición en otro o un axioma en un tercero.

Ninguna afirmación es, o no es, un teorema en sí misma, por lo que resulta inmediatamente falso decir tajantemente de una afirmación cualquiera que "no es un teorema". Toda afirmación puede ser un teorema (aun una afirmación contradictoria)... si se toman los axiomas adecuados.

En el caso de la afirmación que nos ocupa, si damos una definición genética de los números reales, definiendo los irracionales como sucesiones de racionales, entonces la afirmación es igualmente un teorema, aunque admitiría, en ese contexto, una demostración trivial, y aún seguiría pendiente la cuestión de si la demostración dada en la entrada es correcta, o no.

Si se da una definición axiomática de los números reales (al estilo de Hilbert) entonces la afirmación (una vez más) sería un teorema, aunque ahora de demostración no trivial, y seguiría pendiente la cuestión (ahora con más fuerza) de si la demostración es correcta, o no.

Gustavo Piñeiro dijo...

He respondido sólo al último comentario (antepenúltimo ahora). Por el momento no me referiré a los demás, que agradezco ya que todos tienen gran interés.

Pi dijo...

Carla: las cifras de Pi sí siguen un patrón: precisamente, ser las cifras del número Pi. Se pueden calcular tantas como se desee, hay muchos algoritmos (algunos más eficientes que otros) para hacerlo.
Quizá te refieras a que no siguen un patrón cíclico; eso sí es cierto.

Anónimo dijo...

Tengo una duda, que seguramente es de novato, peor bueno.

Cuando hablamos de que la sucesion converge a pi, me pregunto, si esto es posible realmente, porque me cuesta ver como la "distancia" entre el numero pi propiamente dicho y cualquier termino de la sucesion se mantenga menor a un epsilon arbitrario que elija, osea, siempre va a ser infinitamente grande esa difierencia, por pi ser un numero irracional.

Me gustaria saber si alguien puede corregir el error de mi razonamiento.

Borja dijo...

Estoy totalmente de acuerdo contigo Gustavo.

En ese caso, creo que las respuestas de Carla Liuzzi y Fernando Michalski zanjan la cuestión.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Borja,

Podrás entonces responder por ti mismo la objeción que hiciste en http://eltopologico.blogspot.com/2011/05/parte-2-y-definitivamente-ultima.html#comments

Cito: "no veo cómo pueden ser simultáneamente cierta las dos cosas que mantiene:
1) 0^0 puede tomar cualquier valor.
2) He demostrado que 0^0 = 1"

La respuesta es: depende de qué definiciones o axiomas se tomen.

Fernando Michalski dijo...

Estimado anónimo: puede que esté en un error, pero tengo entendido, que el planteo acerca de ese "épsilon" es alverrés: no importa qué "tamaño" tenga este épsilon, siempre se podrá hallar un término contenido en un entorno de radio épsilon que se "acerque" al valor de pi. Cierto es que para épsilones grandes, dicho acercamiento es bastante burdo, eso no es problema porque "burdo" no está definido (je). Por el contrario la cosa se pone interesante al elegir entornos muuuuy "cercanos" a pi, y ver cómo dicha sucesión tiene un término que coincide en todos sus decimales (por el momento) con los de pi (hasta ese momento) ¿y si elijo un épsilon MUUUUCHO más ajustado? También... ¿y si me acerco aún muuuucho más? También se asemeja a pi... y así infinitamente.

Anónimo dijo...

Gracias Fernando, claramente veo ahora mi error.

tobal dijo...

No, la demostración no es ni por asomo valida. Ni si quiera es una demostración, el argumento principal es "ser obvio" lo cual no es una regla de inferencia valida.

Otra cosa es que de las pistas a formular una demostración valida.

Leonardo dijo...

Según tengo entendido, una sucesión se define, hablando mal y pronto, como una lista de números uno a continuación de otro.

Según esa definición, existe y está bien definida una sucesión de la forma 3;3,1;3,14;3,141...

El hecho de que no exista una expresión general para todos los términos, o que sea engorroso calcular cada nuevo término no contradice la definición de sucesión.

Luego, me parece que la demostración es válida.

Una posible forma de expresión general sería

a_n=a_(n-1)+(1/10^n)*(enésima cifra decimal de Pi)

Con a_0=3