La Paradoja de Gödel
El Segundo Teorema de Incompletitud de Gödel dice que, si tenemos un sistemas de axiomas como el que les han dado a Kurt y a David, entonces la afirmación de que ese sistema es consistente no puede ser demostrada ni refutada a partir de los axiomas del sistema. Es decir, esa afirmación es indecidible para el sistema.
Una consecuencia de esto es que el sistema de axiomas es consistente con la afirmación que dice ¡que el sistema de axiomas es inconsistente!. Si al sistema le agregamos la afirmación que dice "El sistema es inconsistente" igualmente seguiremos teniendo un sistema que es consistente.. ¿Cómo puede resolverse esta paradoja?
Para comenzar, observemos que nuestro lenguaje solamente permite escribir enunciados aritméticos, entonces ¿cómo puede un enunciado aritmético afirmar que un sistema de axiomas es consistente (o que es inconsistente)?
Un hecho que es fácil de probar en los cursos de Lógica es que si un sistema de axiomas es inconsistente entonces todo enunciado es demostrable a partir de él. Por lo tanto, para decir que un sistema es consistente es suficiente con afirmar que existe algún enunciado que no es demostrable.
Volvamos a la codificación de Kurt. Recordemos que, según ella, los enunciados demostrables (para el sistema de axiomas específico que nos han dado) son exactamente aquellos cuyo código es un número primo que se puede escribir como suma o resta de tres primos consecutivos.
Por lo tanto, según la codificación de Kurt, un modo de afirmar que el sistema es consistente es decir que:
CONS(1): "Existe algún primo que no es suma o resta de tres primos consecutivos."
(El enunciado, como siempre, debe traducirse al lenguaje formal.) Es interesante observar que, según la codificación de David, este enunciado CONS no dice nada acerca de la consistencia o inconsistencia del sistema.
Ahora bien, tomemos un enunciado específico P cualquiera. Si el sistema es inconsistente entonces, por lo dicho más arriba, tanto P como no-P son ambos demostrables. Si el sistema es consistente, en cambio, al menos uno de los dos enunciados (P o su negación) no será demostrable. Es decir, dado el enunciado específico P, el sistema es consistente si y sólo si P o no-P (al menos uno de ambos) no es demostrable.
Supongamos que, según la codificación de Kurt, la negación del enunciado de código 29 sea el enunciado de código 101. Por lo tanto, el siguiente enunciado también nos muestra una forma de afirmar que el sistema es consistente:
CONS(2): "29 o 101, al menos uno de ambos, no puede escribirse como suma o resta de tres primos consecutivos."
Por otra parte, como ya sabemos, el sistema permite demostrar todos los enunciados finitistas verdaderos. En particular, permite demostrar el enunciado "no-(1 + 1 = 1)". Por lo tanto, el sistema es consistente si y sólo si el enunciado "1 + 1 = 1" no es demostrable. Supongamos que a este último enunciado le corresponde, según Kurt, el número 2. Tenemos entonces otra forma de afirmar que el sistema es consistente:
CONS(3): "2 no se puede escribir como suma o resta de tres primos consecutivos."
Tomemos los tres enunciados:
CONS(1): "Existe algún primo que no es suma o resta de tres primos consecutivos."
CONS(2): "29 o 101, al menos uno de ambos, no puede escribirse como suma o resta de tres primos consecutivos."
CONS(3): "2 no se puede escribir como suma o resta de tres primos consecutivos."
¿Estos tres enunciados son equivalentes? Estos quiere decir: ¿tomando a uno cualquiera de ellos como premisa, podemos deducir los otros dos? Sintácticamente, la respuesta es no. El segundo o el tercer enunciado permite deducir el primero, pero del primero no se deduce ninguna de los otos dos. Además, del segundo no se deduce el tercero, ni viceversa.
¿Qué sucede desde el punto de vista semántico? En este caso el universo del discurso debe ser el de los números naturales (ya que estamos pensando en términos de códigos) y es claro que, semánticamente, a nivel aritmético, los enunciados tampoco son equivalentes.
Sin embargo, los tres enunciados equivalen a: "El sistema es consistente" ¡y si los tres equivalen a una misma afirmación entonces son equivalentes entre sí! Vuelvo a preguntar: ¿cómo se resuelve esta paradoja?
La respuesta es la misma que dimos antes al hablar de la autorreferencia. CONS(1), CONS(2) y CONS(3) son enunciados aritméticos. La interpretación de su significado como refiriéndose a la consistencia de un sistema de axiomas es puramente extramatemática (supra-aritmética podríamos decir) y depende de la elección de una codificación específica (elección que es ajena a la Aritmética).
La negación de CONS(1) es (debe traducirse al lenguaje formal): "Todo primo es suma o resta de tres primos consecutivos". El Segundo Teorema de Gödel dice que el sistema de axiomas es consistente con ese enunciado. La consistencia, como ya dijimos, es un concepto sintáctico y la interpretación de no-CONS(1) como "El sistema no es consistente" está en otro nivel de lenguaje (más allá de la Aritmética) por lo que no choca con la noción de consistencia. Ésa es, ni más ni menos, la resolución de la paradoja planteada al principio: la aparente paradoja surge del hecho de mezclar conceptos sintácticos, como la consistencia, con conceptos (permítaseme la palabra) supra-semánticos, como la interpretación de CONS(1) en términos de la consistencia del sistema. (1)
Una pequeña metáfora: usualmente el color rojo significa "peligro" y el verde significa "seguridad". Al mezclarlos obtenemos el color violeta (o algo así). ¿El violeta representa entonces una mezcla entre peligro y seguridad? ¿violeta = seguligro? ¿violeta = peliguro? Es obvio que la pregunta carece de sentido y solamente surge de poner al mismo nivel la mezcla de colores (aspecto físico o sintáctico) con la interpretación que, culturalmente, le damos a esos colores (aspecto supra-cromático). De la misma forma, la paradoja de Gödel surge de mezclar conceptos que están en niveles de análisis muy diferentes.
Continuará...
Nota:
(1) Si nos adentramos en ese nivel supra-semántico y vemos a CONS(1) como la afirmación de que el sistema es consistente, entonces CONS(1) es un enunciado verdadero pero no demostrable en el sistema. Como el sistema permite demostrar todos los enunciados finitistas verdaderos entonces obtenemos la conclusión de que el hecho de que el sistema sea consistente no puede ser verificado mecánicamente en una cantidad finita de pasos. Esto demuestra la imposibilidad de concretar una de las exigencias del Programa de Hilbert: tener un sistema recursivo y completo para la Aritmética cuya consistencia sea verificable algorítmicamente.
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