¿La afirmación: "La afirmación: "La afirmación: "Esta afirmación no es demostrable" es demostrable" no es demostrable" es demostrable?
Resumen de lo publicado: Kurt y David han elegido sendas codificaciones para los enunciados y para las sucesiones finitas de enunciados escritos en el lenguaje formal. Una vez hecho esto, ambos han recibido un mismo sistema de axiomas aritméticos que es recursivo y consistente y que permite demostrar todos los enunciados finitistas verdaderos. [Como decíamos en el capítulo anterior, vamos a suponer que estamos reproduciendo la demostración de Gödel para un sistema de axiomas específico]
Kurt observa que, para ese sistema de enunciados y según la codificación por él elegida, el conjunto de los códigos de los enunciados demostrables es exactamente el conjunto de todos los primos que se pueden escribir como suma o resta de tres primos consecutivos. [Obviamente, para otros sistemas de axiomas, o para otras codificaciones, la propiedad aritmética que define al conjunto de los códigos de los enunciados demostrables será diferente.]
Finalmente, siguiendo la demostración de Gödel, Kurt ha probado sintácticamente que el enunciado G: "43 es un primo que no se puede escribir como suma o resta de tres primos consecutivos" es indecidible para el sistema de axiomas que le han dado. Es decir, ni G ni su negación son demostrables a partir de esos axiomas.
Tomemos ahora la función g(x) definida de esta manera: g(x) es el x-ésimo número primo. Por ejemplo g(1) = 2, g(2) = 3, g(3) = 5, etc. Admitamos, sin demostración, que la función g(x) es definible mediante el lenguaje formal de la Aritmética. Es decir, que es posible expresar en ese lenguaje formal una propiedad, en función de la variable x, que sólo es cumplida por el x-ésimo primo. Debido a las restricciones del lenguaje formal la construcción de esta definición no es un problema trivial, sin embargo, con algo de ingenio, puede hacerse (1).
El enunciado G de Kurt equivale entonces a:
Ax (no-(43 es primo y 43 = +/- g(x) +/- g(x + 1) +/- g(x + 1 + 1)))
Donde la "A" indica "para todo" y el +/- indica que hay que hacer las ocho combinaciones posibles de sumas y restas entre g(x), g(x + 1) y g(x + 1 + 1).
Llamemos P(x) a la expresión (no-(43 es primo y 43 = +/- g(x) +/- g(x + 1) +/- g(x + 1 + 1))). Entonces, el enunciado G de Kurt tiene la forma AxP(x).
Observemos que P(1) afirma que 43 es un primo que no se puede obtener como suma o resta de los números 2, 3 y 5. Es decir, P(1) es un enunciado finitista verdadero y entonces, por hipótesis, es demostrable a partir del sistema de axiomas dado.
P(1 + 1) afirma que 43 es un primo que no se puede obtener como suma o resta de los números 3, 5 y 7. P(1 + 1) es también un enunciado finitista verdadero y, por lo tanto, es demostrable a partir del sistema dado.
De igual manera, P(1 + 1 + 1), P(1 + 1 + 1 + 1),... son todos demostrables. Sin embargo, G: AxP(x) no es demostrable. Cada instancia individual es demostrable, pero la afirmación general no lo es. En realidad, el enunciado G que construye la demostración de Gödel siempre tiene la forma AxP(x) donde P(1), P(1 + 1),... son todos demostrables, pero AxP(x) no lo es, ni tampoco su negación.
En el caso del enunciado de Kurt. la negación de G dice: "43 no es primo o puede escribirse como suma o resta de tres primos consecutivos" (en realidad la negación de G es una traducción al lenguaje formal de esta afirmación). Ahora bien, como G es indecidible, podemos perfectamente agregar axiomas al sistema original de Kurt de tal modo que el sistema así ampliado, sin dejar de ser recursivo y consistente, permita demostrar no-G. [Una forma simple y directa de lograr esto es agregar como axioma al propio enunciado no-G.]
¡Un momento! Pero no-G es falso... ¿Cómo puede ser demostrable? ¿A la demostración de no-G le corresponde como código un número "no estándar"?
Respondo primero a la segunda pregunta. Como he insistido en decir, la codificación estaba ya definida desde antes de que nos dieran el sistema de axiomas. Esa codificación le asigna a cada sucesión finita de enunciados un número natural "común y corriente". La demostración de no-G a partir del sistema de axiomas ampliado es, en particular, una sucesión finita de enunciados y, como tal, le corresponde como código un número natural. [Si no-G es un axioma, la demostración de no-G consta, como único enunciado, del propio no-G.]
En cuanto a la primera pregunta, ya vimos en un capítulo anterior que el concepto de "demostrable" o "no demostrable" no tiene, en principio, ninguna relación con el de "falso" o "verdadero". No hay contradicción en el hecho de que un enunciado "falso" sea "demostrable" para algún sistema de axiomas, aun siendo éste consistente.
Por otra parte, para calmar la ansiedad semántica, podemos decir que no-G es "falso" solamente si entendemos que se refiere al universo de los números naturales. Según un famoso teorema lógico, si un sistema de axiomas es consistente entonces existe un universo del discurso en el que sus enunciados son "verdaderos". Por lo que no-G es verdadero en algún universo diferente del de los números naturales. [Cuando el sistema dado es el de los axiomas de Peano, a estos universos alternativos se los suele llamar "modelos no estándar" de la Aritmética, de allí la referencia anterior a "números no estándar".] Pero estas son consideraciones semánticas ajenas a la demostración de Gödel. (2)
Continuará...
Notas:
(1) Una restricción importante del lenguaje formal es que no admite "puntos suspensivos". Así por ejemplo, la expresión (la "A" indica "para todo"):
Ax (x = 1 + 1 + ... + 1 (x veces))
no es un enunciado del lenguaje formal. En cambio (la "E" indica "existe"):
Ex (x = 1 + 1 + ... + 1 (10 veces))
aunque, estrictamente hablando, tampoco es un enunciado, sí puede aceptarse como la abreviatura de:
Ex (x = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)
que, definitivamente, sí es un enunciado escrito en el lenguaje formal.
(2) Un pequeño ejemplo: tomemos el enunciado Ex (1 + 1 = (1 + x)(1 - x)). Si consideramos el universo de los números naturales entonces el enunciado es "falso". Pero si a ese universo le agregamos todos los números complejos de la forma a + bi con a y b enteros, entonces, en ese universo así extendido, pasa a ser "verdadero", ya que 2 = (1 + i)(1 - i).
Una idea similar nos ayuda a entender semánticamente por qué puede suceder que P(1), P(2), P(3),... sean todos demostrables sin que AxP(x) lo sea. Puede haber un universo en el que la propiedad P valga para 1, 2, 3, 4,... pero falle en otros números, en números que no se obtienen sumando el 1 sucesivamente.
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