22.12.09

Sherlock Holmes y Alef-uno

Llamo (la denominación es puramente personal) pregunta-zen a una pregunta que tiene como propósito motivar la reflexión, una pregunta en la que no importa la respuesta en sí sino el proceo que lleva hasta esa respuesta, o las líneas colaterales de razonamiento que ese proceso genera (de hecho, dar una respuesta definitiva mata el objetivo de la pregunta).

Las preguntas de la entrada anterior tenían ese caráter de preguntas-zen. Su tema, en líneas generales, era ¿podemos atribuir propiedades a un objeto que no existe?

Por ejemplo, no existen hexágonos de cinco lados. Más aún, no puede existir, porque el concepto de "hexágono de cinco lados" es contradictorio en sí mismo. ¿Tenemos derecho a decir, entonces, que un hexágono de cinco lados es un polígono irregular? ¿Tenemos derecho a hablar de él, a atribuirle cualquier característica -aparte de la de ser contradictorio y no existir-?

Por su parte, Shelock Holmes tampoco existe, al menos en el sentido de que los relatos de Conan Doyle no describen hechos ni personas que hayan existido en la realidad. Sin embargo, todos sabemos que Holmes era inglés (o británico, si se quiere) y que, por lo tanto, la afirmación "Shelock Holmes nació en Alemania" es falsa.

Decir que "Un hexágono de cinco lados es un polígono irregular", más que falso es un sinsentido, porque habla de un objeto inexistente. Pero "Shelock Holmes nació en Alemania" es falsa y nadie diría que es un sinsentido, aunque Holmes tampoco exista.

O, podemos decir, que Holmes sí existe, no como ser humano real, sino como personaje de ficción, o como ser que "habita" en el imaginario popular (de la misma forma que Papá Noel o Harry Potter -hablo del personaje de J. Rowling, no del actor-).

Sherlock Holmes, de Baker Street, de W. S. Baring-Gould, es una "biografía" de Holmes, basada en los relatos de Conan Doyle. En algún momento el autor dice que "se puede demostrar" que tal o cual aventura de Holmes comenzó un viernes y que terminó el domingo siguiente (basado en que Watson afirma que la noche en que terminó esa aventura fueron a tal teatro a escuchar un concierto y que en esos años, en ese teatro, sólo había conciertos los domiengos, etc.).

Hay aquí una clara analogía con la Matemática. Los relatos de Conan Doyle son los "axiomas" de Holmes, a partir de los cuales podemos deducir ciertos "teoremas". De la misma forma los relatos de Rowling son los "axiomas" de Harry Potter. ¿Estuvo alguna vez Harry Potter en China? Los axiomas no permiten demostrarlo ni refutarlo. Para los axiomas de Harry Potter, es una afirmación indecidible.

En su famosa conferencia de París, de 1900, David Hilbert decía que si la definición de un objeto matemático no es contradictoria en sí misma, entonces ese objeto existe. Salgamos un centímetro de la Matemática: la frase Hilbert nos permite asegurar que, en efecto, Holmes, sin duda, existe.

¿Existe Alef-uno (el primer cardinal no numerable)? Cuando Hilbert enunció la frase que antes cité tenía en mente principalmente la Teoría de los Transfinitos de Cantor (teoría cuya validez estaba en entredicho por aquellos años). Si la definición de Alef-uno no es contradictoria, diría Hilbert en 1900 (un par de décadas después quizás lo habría pensado un poco más), entonces podemos afirmar que Alef-uno existe y que es perfectamente válido atribuirle propiedades.

Gödel fue aún más allá y años más tarde escribió que la Teoría de Conjuntos (en partircular, la Teoría de los Transfinitos) describe una realidad objetiva (independiente de la mente humana), acerca de la cual cada afirmación es, o bien verdadera, o bien falsa. La existencia de afirmaciones indecidibles se debe, dice Gödel, solamente a una limitación de los métodos de demostración, es decir, a una limitación del conocimiento humano.

Pero (si se me permite el atrevimiento) creo que Gödel se equivocaba en ese punto. Mi tesis (que algún día tal vez escribiré realmente en forma de tesis) es que Alef-uno existe tanto como existe Sherlock Holmes (o Harry Potter). Ambos tienen el mismo nivel de existencia, y por las mismas razones. Cantor creó Alef-uno de la misma manera que Conan Doyle creó a Sherlock Holmes, y así como hay axiomas de la Teoría de Conjuntos, también hay, como ya vimos, "axiomas" de Holmes. Y así como Harry Potter no vive en una realidad objetiva, de la misma manera la Teoría de los Transfinitos tampoco describe una realidad objetiva.

Más de una vez he dicho en mis clases o en charlas que la Matemática, más que una ciencia, es un arte (1). Agrego ahora: es una arte muy parecido a la literatura.

Nota:

(1) Esta afirmación suele ser rechazada por el público (alguna vez, incluso, violentamente). Probablemente el rechazo se deba a que hay quienes sienten que, al decir que es un arte, estoy menospreciando a la Matemática. En realidad la estoy enalteciendo, ya que en lo personal considero que el arte, en cuanto fruto del espíritu humano, es superior a la ciencia. Ciertamente me gusta la idea de pensar a la Matemática como hermanada con la poesía.

8 comentarios:

bibliotranstornado dijo...

Bonita entrada. Con premeditación y alevosía.

Besos y abrazos

Iván dijo...

Muy interesante..., lamentablemente me entraron dudas de si existo o no...

Carlos dijo...

Hola Gustavo. Por lo que leo en tu entrada veo que eres capaz de afirmar que no se puede demostrar que alef_1 existe. No lo entiendo. A ver, te explico por qué:

Los cardinales están ordenados y este orden es un buen orden. Por tanto todo conjunto de cardinales tiene un elemento minimal, en particular el conjunto de los cardinales no numerables tiene un elemento minimal y este tiene que ser el primer cardinal no numerable.

Quizá me equivoque, la teoría de conjuntos la tengo un poco abandonada desde que terminé la carrera aunque de vez en cuando tenga que usar alguna cosilla. Te agradecería que me aclarases donde está mi error.

Carlos.

PG dijo...

Habla Ud de realidades objetivas y realidades subjetivas para luego de manera arbitraria decidir la suerte de Sherlock Holmes. Le advierto que son éstos, conceptos que no deben tratarse a la ligera. ¿Qué lo lleva a pronunicarse sobre la objetividad y la subjetividad de las realidades de manera tan categórica?
Pregúntese en todo caso si puede reconocer alguna realidad objetiva. ¿Cuál sería esa realidad? Piense en ella, concientízela, dele forma. Muy bien, ahora que la ha reconocido y le ha puesto el rótulo de realidad objetiva, fíjese en Ud mismo y podrá ver que no ha dejado de ser un sujeto.

Tomas R dijo...

Muy bueno! Me hizo acordar a un libro (que recomiendo altamente): Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle. Que habla en un momento de la tortuga y lo zen.

Volviendo. Ya que está relacionado con la entrada anterior y mi respuesta, de atolondrado que soy.

Yo, como católico, pienso en que Dios es dueño de la lógica. Y nosotros no podemos salir de ella, es decir nos limitamos a ella.

Por eso nos es imposible darnos una idea gráfica (en la cabeza), de cómo puede ser un hexágono de 5 lados. Porque hexágono tiene 6 ángulos y 6 lados, y nosotros no podemos "cerrar" la figura con un lado menos. Estamos atados a nuestra lógica.

Respecto a la existencia de personajes y demases, que no sean "reales" no significa que no "existan". ¿Cuántos profesores de secundario nos han dicho: 'raíz de un número negativo no existe'? muchísimos sino todos, solo para que luego nos digan "en los reales... pero existe otro conjunto, los imaginarios".

Harry Potter no existe como ser viviente real (con real me refiero a concreto en la realidad), pero sí en la abstracción de figura de un cuento, ergo, existe de algún modo.

Todo esto me hizo acordar a un video: Imaginando la 10ma dimensión (disponible en http://revver.com/video/99898/imagining-the-tenth-dimension/). Qué fácil parece, en el transcurso del video entenderlo. Pero una vez terminado, ¿estamos en condiciones de hacer una definición de la décima dimensión?

En fin, creo y que vale mucho la pena distinguir "lo real" de "lo que existe". Volviendo (y cerrando) al ámbito religioso, Dios es todopoderoso, y nuestra limitada lógica no nos permite comprender que así lo sea. Si la lógica fuera una madera, la humanidad no tiene fuerza para quebrarla, pero sí la tiene un Creador Superior (el mencionado por Platón, que según la religión cambia el nombre, sea Budda, Alá, Yahveh, Dios, whatever)

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Carlos,

Nunca he afirmado que no se pueda demostrar la existencia de Alef-uno. Por el contrario, para que quede claro, afirmo que la existencia de Alef-uno sí puede demostrarse a partir de los axiomas de la Teoría de Conjuntos (de la misma manera que, a partir de los axiomas adecuados, puede demostrarse que Sherlock Holmes no nació en Alemania).

La cuestión es ¿qué significa "existir" (al menos en Matemáticas)?

(Sobre Alef-uno, puede leerse la serie de entradas titulada "El Omegón y todo eso...").

Saludos,

carlos dijo...

Ah, vale, entonces es que no entendí lo que decías, ya me extrañaba.

Saludos

Tomas R dijo...

Yo me pregunto lo mismo, pero Gustavo fue mi profesor.
Así que... qué significa existir en matemática?