19.8.09

Una aproximación intuitiva a 0^0 = 1 (Segunda parte)

El factorial de n se define así: n! = 1 x 2 x 3 x .... x n y, como es bien sabido, permite calcular la cantidad de formas diferentes en que se pueden permutar n elementos. O también podríamos decir que n! se define como la cantidad de maneras diferentes en que se pueden permutar n elementos y que se calcula como 1 x 2 x 3 x .... x n. Ambos puntos de vista son equivalentes y válidos.

Pero no importa cuál de los dos puntos de vista adoptemos, n! se define, en principio, para valores de n enteros y mayores o iguales que 1. Entonces ¿por qué (o para qué) querríamos extender esa definición al 0? Reconozcamos que querer calcular la cantidad de permutaciones de la nada parece un problema más de carácter filosófico que matemático. He ahí el quid de la cuestión: tratemos de entender de dónde surge realmente la necesidad de definir 0!

Imaginemos que aún no hemos definido 0! Existen muchas fórmulas en las que interviene el factorial. Una de las más conocidas es la del número combinatorio:
C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}

C(n, k) calcula la cantidad de subconjuntos de k elementos que tiene un conjunto de n elementos. Como el factorial está definido (por ahora) sólo para valores mayores o iguales que 1 entonces C(n, k) sólo puede calcularse si k está (estrictamente comprendido) entre 0 y n.

Ahora bien, aunque C(n, n) no esté definido según la fórmula anterior, es claro que debe ser igual a 1 (en un conjunto de n elementos hay sólo un subconjunto de n elementos). Para que, al ser calculado con la fórmula anterior, sea C(n, n) = 1, el valor de 0! debe ser 1.

De manera similar querríamos que C(n, 0) fuera 1 y esto sucede, en efecto, si 0! = 1.

La fórmula del polinomio de Taylor y otras quedan también elegante y coherentemente expresadas si 0! = 1. También la fórmula que dice que n!(n + 1) = (n + 1)!

Ésa es la verdadera razón por la que 0! = 1: para que las fórmulas en las que interviene n! puedan extender su validez al caso n = 0. Es una simple cuestión de eleganacia y coherencia. Que "hay una sola permutación de ningún objeto" es una explicación a posteriori que nos inventamos para convencernos de que la definición de 0! correcta. Pero, como dije en un comentario de la entrada anterior, también podríamos decir que si no hay nada que permutar entonces no hay permutación alguna.

Algo similar sucede con el conjunto vacío, que sólo existe porque es una ficción útil. Bien podríamos decir que la idea de "conjunto" implica una reunión de objetos y que si no hay objetos no hay conjunto. Pero resulta útil y conveniente que haya un conjunto que represente la nada. En el mismo orden, los gruegos de la antigüedad clásica no consideraban al 0 como número, y tampoco al 1, porque para ellos "número" era "diversidad" y el 1 era la "unidad". De modo que el 1 no era un número.

Las definiciones matemáticas son, hasta cierto punto, arbitrarias. Son convencines de lenguaje que resultan útiles y facilitan la comunicación, pero no son realidades "indubitables". Nadie puede "ver" o "medir" cuánto vale 0!, lo definimos por conveniencia.

Como se dijo en uno de los comentarios de la entrada anterior, la definición del factorial suele extenderse a valores no enteros (incluso negativos) usando la función Gamma (que aquí escribiré como G, la definición involucra una integral impropia y no es necesario darla aquí).

Se usa esta función porque tiene la propiedad de que si n es entero positivo entonces G(n + 1) = n! Basados en esta propiedad se define, para x cualquiera, x! como G(x + 1).

Cito ahora el clásico Elementos de Cálculo Diferencia e Integral de Sadosky-Guber en el que se calcula que, según la definición anterior, (0,5)! es la mitad de la raíz cuadrada de pi. No creo que nadie quiera afirmar que medio objeto admite un medio de la raíz cuadrada de pi permutaciones.

A medida que extendemos su validez definición la interpretación intuitiva inicial de las fórmulas se va desdibujando. Que 3! son las permutaciones de 3 elementos es claro, que 0! representa las permutaciones de 0 elementos es al menos discutible, para (0,5)! ya no hay interpretación intuitiva (no, al menos, en términos de permutaciones). Tampoco para C(0,5; -3,2) que, gracias a la función Gamma, puede calcularse.

Sadosky-Guber le atribuyen a (-1)! el valor infinito. Obviamente, sin recurrir a la idea de permutación.

Acerquémonos un poco más a 0^0 = 1. Para ello, dejo ahora una nueva pregunta: ¿por qué
a^{\frac{n}{m}}

se define como la raíz m-ésima de a^n?

8 comentarios:

lutecio dijo...

Porque sólo para las raíces m-ésimas de a^n se cumple la propiedad:

(a^(n/m))^m = a^((n/m)*m) = a^n

Obviamente m debe ser distinto de cero.

senecux dijo...

Hola,
pues yo creo que es la notación-definición de la solución de la ecuación x^m=a^n

PG dijo...

Clarito lo del 0!
Esta nueva definición la encuentro muy lógica y no le veo mayores dificultades. Pienso en un ejemplo sencillo:
3 elevado a 4/2 = raíz cuadrada de 3 elevado a la 4 = 3 elevado a la 2 = 9
La razón pienso es que por definción, la raíz enésima de un número es la operación opuesta a su elevación a la enésima potencia.

PG dijo...

Creo que no he comprendido la pregunta porque no veo el conflicto y la verdad es que no comprendí las respuestas de lutecio y de senecux.
¿Se está preguntando por qué la raíz es la operación inversa de la potencia?
Pido ayuda.

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

La respuesta de Lutecio y (creo) la duda de PG se basan en que ambos consideran que (a^r)^s = a^(r.s). En mi papel de escéptico pregunto ¿por qué vale esa igualdad en el caso de que r y s sean exponentes racionales?

Saludos!

PG dijo...

Es una simple propiedad de las potencias:
(a^r)^s = a^r.a^r... (s veces) =a^(r+r+r...) s veces = a^r.s

Volviendo a la pregunta:
b^1/n=raíz enésima de b (esto es por definción)
Puedo definir b=a^m, entonces a^m^1/n = a^m/n = raíz enésima de a^m

No veo el conflicto.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estamos en un círculo vicioso. Se viene afirmando que:

1) b^1/n se define como la raíz n-ésima de b porque (b^1/n)^n = b.

2) (b^1/n)^n = b vale porque b^(1/n) se define como la raíz n-ésima de b.

¿Qué es primero, la propiedad o la definición?

¿Qué significa "s veces" cuando s es 2/3 o cuando es -3 o raíz de 2?

PG dijo...

Ah bien, en eso estoy de acuerdo. La matemática es un círculo lógico. Ahora, si es vicioso no se. Atendiendo a Ionesco deberíamos acariciarlo para saberlo.