30.4.09

Los números poligonales y algunas conjeturas

Pitágoras de Samos vivió en el sur de Italia, en una colonia griega, hacia fines del siglo VI a.C. Existen pocas certezas acerca de su vida o de su pensamiento, pero una de ellas es que Pitágoras sostenía que los números describen la esencia del universo. Sin embargo, esta idea mezclaba en Pitágoras tanto ciencia como misticismo (un punto medio, digamos, entre física y numerología). Por ejemplo, a los impares Pitágoras les atribuía características femeninas y a los pares, masculinas.
El 3 era el primer impar (para Pitágoras el 1 no era un número ya que entendía que la idea de número implicaba diversidad) y a la vez era el número de la armonía, porque 3 = 1 + 2 está compuesto por la unidad y la diversidad. El cinco era el número del matrimonio porque sumaba el masculino número 2 con el femenino número 3.

Muchas de las clasificaciones que hoy usamos para los números enteros se deben a Pitágoras y sus discípulos. Por ejemplo, fueron los primeros en definir los números primos y los números perfectos. Y también los números figurados (o poligonales), que son los que nos interesan en esta ocasión.

¿Qué son los números figurados o poligonales?

Al comenzar un partido de bowling, los 10 pinos que los jugadores tratarán de derribar se colocan formando un triángulo. O, más exactamente, varios triángulos equiláteros sucesivos. Los tres pinos de adelante forman un triángulo con dos pinos en cada lado.
Cuando se agregan los tres pinos siguientes se forma un triángulo mayor y los cuatro pinos del fondo completan la figura. El 10 es, entonces, un número triangular. (El primer pino forma también un triángulo, que es tan pequeño que se ha reducido a un punto. Un matemático lo llamaría un triángulo degenerado.)

Los números 1, 3, 6, 10, 15, 21... son todos triangulares ya que cada uno de ellos admite una disposición en triángulos equiláteros sucesivos. Por supuesto, los triángulos equiláteros no son los únicos polígonos que existen y así como tenemos los números triangulares, tenemos también los números cuadrados:

Y los números pentagonales:

También tenemos los números hexagonales, los heptagonales,... Pero ¿cómo podemos calcularlos? Es evidente del primer gráfico que los números triangulares se obtienen como la suma de enteros consecutivos:

1 = 1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10

Por otra parte, si vemos al número 9 de esta manera:

Podemos convencernos fácilmente de que los números cuadrados son, a su vez, la suma de números impares consecutivos:

1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16

Observemos que para obtener los triangulares sumamos todos los números. Para obtener los cuadrados sumamos salteando uno (1 + 3 + 5 +...). ¿Seguirán los números pentagonales la misma pauta y para obtenerlos habrá que sumar salteando dos? La respuesta es que, en efecto, así es y los primeros números pentagonales son:

1 = 1
1 + 4 = 5
1 + 4 + 7 = 12
1 + 4 + 7 + 10 = 22

De la misma manera, los hexagonales se obtienen de sumas donde salteamos tres números. Para los heptagonales salteamos cuatro, y así sucesivamente.

El príncipe

¿Qué otras regularidades podemos encontrar entre los números poligonales? Comentemos una que impresionó al mismísimo Carl Friedrich Gauss (1777–1855), llamado el Príncipe de las Matemáticas.

Durante muchos años, más exactamente entre 1796 y 1814, Gauss llevó un diario científico en el que, en breves anotaciones, registró muchas de sus ideas y descubrimientos de ese tiempo. El diario fue dado al conocimiento público cuarenta y tres años después de la muerte de Gauss y estaba escrito para su propio uso personal por lo que Gauss no se esforzó en hacerlo comprensible para otros. De esta forma, hay algunas anotaciones cuyo significado es, todavía hoy, un misterio. Una de ellas es la anotación del 11 de octubre de 1796, que dice:

Vicimus GEGAN

¿Qué descubrimiento, qué idea, qué percepción genial resume? Nadie lo sabe. Otro ejemplo es la anotación del 8 de abril de 1799, que dice:

REV. GALEN

(Si el lector decide embarcarse en la tarea de descifrar las anotaciones debe tener en cuenta que en ese tiempo Gauss, como todos los científicos de la época, solía escribir sus trabajos en latín.)

La que nos interesa aquí es la anotación del 10 de julio de 1796:

EUREKA! num = D + D + D (Donde dice "D" debe leerse la letra griega delta mayúscula, que se dibuja como un triángulo.)

En ella Gauss nos dice que ese día demostró que todo número (entero, mayor o igual que 1) es la suma de, como máximo, tres números triangulares. Por ejemplo:

1 = 1 (es decir, 1 es triangular)
2 = 1 + 1
3 = 3
4 = 1 + 3
5 = 1 + 1 + 3
6 = 6
7 = 1 + 6

Algunos años antes, Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) había demostrado que todo número es suma de, como máximo, cuatro cuadrados. Por ejemplo:

1 = 1 (es decir, 1 es cuadrado)
2 = 1 + 1
3 = 1 + 1 + 1
4 = 4
5 = 1 + 4
6 = 1 + 1 + 4
7 = 1 + 1 + 1 + 4

Tres triangulares, cuatro cuadrados... Inmediatamente se nos ocurre preguntarnos si todo número será también la suma de cinco pentagonales o seis hexagonales. Y la respuesta es que sí. En 1813 Augustin Louis Cauchy (1789–1857) probó, en efecto, este teorema (que ya había sido conjeturado por Fermat casi dos siglos antes):

Teorema (Cauchy): Todo número es suma de (como máximo) tres triangulaes, cuatro cuadrados, cinco pentagonales, seis hexagonales, siete heptagonales, y así sucesivamente.

Unas conjeturas

Todo número es suma de, como máximo, tres números triangulares, pero algunos, en particular, se pueden escribir como la suma de exactamente tres triangulares. Por ejemplo, 7 = 1 + 6, pero también 7 = 1 + 3 + 3.

¿Cuáles números no se pueden escribir, de ninguna manera, como suma de exactamente tres triangulares? Entre 1 y 1000 hay siete números así:

1
2
4
6
11
20
29

Ninguno de ellos puede escribirse como suma de exactamente tres triangulares. Si se me permite imitar al gran Fermat, me atrevo a conjeturar que estos siete son los únicos números que no se pueden escribir como la suma de exactamente tres triangulares.

Debo admitir que si la conjetura es cierta, es muy probable que ya sea conocida y esté demostrada (después de todo, los números triangulares son estudiados desde hace más de 2500 años). Pero, buscando en distintas fuentes no la he podido encontrar, ni enunciada, ni mucho menos demostrada.
Para refutar la conjetura habría que hallar algún otro número que no se pueda escribir de esa forma. Para demostrarla habría que dar algún razonamiento que pruebe que todo número mayor que 29 puede escribirse como la suma de exactamente tres triangulares.

¿Qué sucede con los cuadrados? Todo número es suma de, como máximo, cuatro cuadrados. Pero algunos, en particular, son la suma de exactamente cuatro cuadrados. Por ejemplo, el 26 = 4 + 4 + 9 + 9. Entre 1 y 1000 hay 21 números que no se pueden escribir como la suma de exactamente cuatro cuadrados, los primeros son 1, 2, 3, 5, 6, 8 y 9, el último es 896.

Mi conjetura en este caso es que hay infinitos números que no se puede escribir, de ninguna manera, como la suma de exactamente cuatro cuadrados.

¿Serán ciertas estas conjeturas? ¿Cómo se demostrarían?

¿Qué sucede con los números pentagonales? Es decir, ¿habrá infinitos números que no se puedan escribir como la suma de exactamente cinco pentagonales? ¿Y qué pasa con los hexagonales y otros números poligonales? Si alguien obtiene una respuesta, me gustaría mucho conocerla.

Bibliografía

http://mathworld.wolfram.com/PolygonalNumber.html

Boyer, Carl B. – Historia de la Matemática – Alianza Universidad Textos, 1996.

Nathanson, Melvyn – A Short Proof of Cauchy’s Polygonal Number Theorem – Proceedings of The American Mathematical Society, Vol. 99, Nº 1, 1987, pp. 22–24.

Newman, James – Sigma, el Mundo de las Matemáticas – Grijalbo, 1997.

13 comentarios:

Gustavo Piñeiro dijo...

Gracias a Laura Spivak, quien me escribió:

Decís: "Por ejemplo, el 16 es en sí mismo un cuadrado pero también 16 = 4 + 4 + 9 + 9." Te juro que 16 no es eso... jajaja, ya se sabe: más peligroso que Piñeiro haciendo cuentas...

El error está corregido, y ahora se lee en la entrada que 4 + 4 + 9 + 9 = 25, un cuadrado, como debe ser.

¡Gracias Laura!

Anónimo dijo...

Gustavo, decís: "El error está corregido, y ahora se lee en la entrada que 4 + 4 + 9 + 9 = 25, un cuadrado, como debe ser".

Todavía me estoy riendo; conociendo tu humor, debe de ser un chiste tuyo...

Por suerte, en la entrada no dice eso, sino 26 = 4 + 4 + 9 + 9.


Saludos, Laura.

hjg dijo...

Ya que de conjeturas estamos:

Si un numero N puede expresarse de alguna de estas formas:

N = 2^(2k+1)
N = 3 x 2^(2k+1)
N = 7 x 2^(2k+1)

para k natural, entonces N no puede expresarse como suma de (exactamente) 4 cuadrados.
Además, la condición es no solo suficiente sino necesaria para N>50.

(Si la conjetura es verdadera, entonces implica que tu segunda conjetura también lo es)

Omar dijo...

Me encanta tu blog, hace pocos días que cree el mío y me gustaría que me dieras tu opinión.
Te paso la dirección:

http://en-idioma-m.blogspot.com/

Saludos

Omar dijo...

Hola Gustavo, me resulta muy interesante tu blog, yo hace poco que cree el mío y me gustaría que me dieras tu opinión. A continuación te paso la dirección.

http://en-idioma-m.blogspot.com/

Te mando saludos, Omar.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Omar,

He visto tu blog. Me parece muy interesante.

Muchos saludos,

G.P.

CAROLINA ILO SOL dijo...

hola:

es la primera vas que veo como queda de resultado de tanto que trabajas. Y puedo hacer una pregunta?? en los numeros triangulares... yo aprendi 1+2+3+4 y vos le haces lineas, podes explicarmelo?? gracias, Caro P.

PD: Hija de 10 años de Gustavo Piñeiro.

Gustavo Piñeiro dijo...

Los números triangulare se llaman así porque son cantidades de puntos que permiten dibujar triángulos, las líneas muestran cómo se forman esos triángulos.

Un beso,

Nahuel dijo...

El otro día jugando al pool se me ocurrió un problema. La caja donde se guardan las bolas es cuadrada porque contando la blanca son 16, pero al preparar la mesa para iniciar el juego, se separa la blanca y las otras 15 forman un triángulo. Me pregunté que otros números triangulares dan como resultado un número cuadrado al añadirle 1.

Con un programa encontré 10 soluciones para los primeros 10000 números triangulares:

4=2^2=1+2*3/2

16=4^2=1+5*6/2 (La del pool)

121=11^2=1+15*16/2

529=23^2=1+32*33/2

4096=64^2=1+90*91/2

17956=134^2=1+189*190/2

139129=373^2=1+527*528/2

609961=781^2=1+1104*1105/2

4726276=2174^2=1+3074*3075/2

20720704=4552^2=1+6437*6438/2

Creo que tiene infinitas soluciones, pero soy incapaz de demostrarlo, o bien de encontrar una fórmula que me de todas las soluciones enteras de la ecuación:

n*(n+1)=2*(k+1)*(k-1)

que corresponde al problema mencionado. Quisiera que me den su opinión. Muchas Gracias.

compaholic dijo...

Hola, hace unos días me dio por escribir una clase muy sencilla en C++ para representar números triangulares. Por si a alguien le interesa aquí lo tiene, saludos.

Anónimo dijo...

Problema de hoy

1 + 2 = 3
4 + 5 + 6 = 7 + 8
9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15

cual es el patron de esta conjetura?

J. H. S. dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
J. H. S. dijo...

Unos datos que surgieron en mis indagaciones sobre el diario del Príncipe:

1. Vicimus GEGAN no viene en la entrada de un 11 de octubre de 1796, sino en la del 21. En mi opinión, la atribución al 11 es popular básicamente por un error de E. T. Bell.

2. Vicimus GEGAN ya no es un misterio. En su comentario al Tagebuch, J. J. Gray incluyó una recopilación de las hipótesis que hasta ese momento (1984 aproximadamente) se tenían sobre Vicimus GEGAN. En los 90's se logró confirmar una de las hipótesis listadas por Gray.

3. REV. GALEN no es algo que venga en el diario en sí. Fue escrito por Gauß en otra parte...

Espero escribir más sobre todo esto más adelante.

Saludos.