La Paradoja de Arrow

1. Introducción

La idea de escribir estas líneas me llegó hace unas semanas al encontrarme con un volante firmado por la Comisión Técnica de Padres de un colegio de Buenos Aires. En el volante, la Comisión Técnica invitaba a una reunión en la que se estudiarían distintas carencias del edificio del colegio, entre otras, baños clausurados, falta de agua y fallas eléctricas, y se invitaba a los asistentes a la reunión a que definieran las soluciones a reclamar, las cuales debían se organizadas por prioridad.

Me pregunté entonces qué método usarían para establecer el orden de prioridades. Cada asistente a la reunión, presumiblemente, se inclinaría por un ordenamiento determinado ¿cómo podrían compatibilizarse esas distintas preferencias de un modo racional, justo y democrático?

Para simplificar, imaginemos que sólo fueran tres los problemas a ordenar (es decir, hagamos la muy optimista suposición de que en el edificio sólo haya tres problemas a resolver). Imaginemos también que para organizar las prioridades se realiza una votación entre los asistente y que cada uno vota por un ordenamiento determinado. Si llamamos A, B y C a los problemas a organizar entonces hay seis ordenamientos posibles: ABC (es decir, A tiene máxima prioridad, le sigue B y queda último C), ACB, BAC, BCA, CAB y CBA. Así, algunos votarán ABC, otros CBA, y así sucesivamente. ¿Cómo se decide el resultado final de la votación?

Una posibilidad sería tomar como resultado final simplemente el ordenamiento más votado. A simple vista éste parece un modo razonable de dirimir la cuestión. Pero ¿es realmente un método justo y racional? Supongamos que el 40% de los votantes opta por el ordenamiento ABC, que el 30% opta por CBA y que el 30% restante opta por CAB. El resultado final sería entonces ABC. Sin embargo, se podría hacer la siguiente objeción: el 60% de los votantes entendió que C debía tener la máxima prioridad ¡pero en el resultado final C quedó en tercer lugar! A la luz de este ejemplo no puede decirse que optar por el ordenamiento más votado sea el método más justo y racional.

¿Existe algún método para determinar el resultado final de la votación que esté libre de toda objeción, un método que siempre dé un resultado perfectamente justo y racional? En 1951, en la que fue su tesis doctoral, el economista Kenneth J. Arrow (Premio Nobel de Economía en 1972) demostró que esto es imposible. No hay modo de que una asamblea establezca de un modo justo y racional el orden de prioridad de tres o más opciones. (En cambio sí es posible una elección justa y democrática cuando las opciones a ordenar son solamente dos. En ese caso hay dos ordenamientos posibles, AB y BA, y se toma simplemente el más votado de ambos).

2. La dictadura inevitable

Tenemos entonces un cuerpo colegiado que debe ordenar por prioridad las opciones A, B y C. Cada miembro del cuerpo votará por uno de los seis ordenamientos posibles (ABC, ACB, etc.) y el desafío es decidir el resultado final de la votación de un modo justo y racional. Sin embargo, como dijimos más arriba, Kenneth Arrow demostró que esto último es imposible. Ahora bien ¿qué significa exactamente que el método sea “justo” y “racional”? En su trabajo, Arrow estableció dos condiciones perfectamente aceptables que debería cumplir cualquier método de decisión. Diremos que un método de selección es “justo, democrático y racional” si se cumplen esas dos condiciones, las cuales son las siguientes:

Condición 1: si en el 100% de las ternas votadas la opción X ha quedado por encima de la opción Y entonces en el resultado final la opción X debe quedar por encima de Y. (Por supuesto, X e Y representan dos opciones genéricas.)

A modo de ejemplo, supongamos que el 40% de los votantes opta por el ordenamiento BCA, que el 30% opta por CBA y que el 30% restante opta por CAB. Como en el 100% de los casos C ha quedado por encima de A, entonces en el resultado final se deberá respetar esta relación.

Está claro que la Condición 1 es perfectamente racional y que está libre de toda objeción.

Pasemos entonces a la segunda condición, en ella se supone que el mismo método será usado a lo largo de varias votaciones. Podemos imaginar, por ejemplo, que la Comisión Técnica de Padres convocará a varias reuniones a los largo del año para reevaluar en cada caso el orden de prioridad de los problemas.

Condición 2: supongamos que en el resultado de alguna votación la opción X ha quedado por encima de la opción Y. Más adelante se realiza una segunda votación y en ella todos quienes antes habían votado a X por encima de Y vuelven a hacerlo (y eventualmente hay otros votantes que esta vez también colocan a X sobre Y), entonces en el resultado de esta segunda votación X debe quedar nuevamente por encima de Y.

La Condición 2 nos dice que si X estaba sobre Y en las preferencias generales y el conjunto que sostiene esa idea no ha disminuido (y tal vez hasta ha aumentado) entonces la posición favorable de X por sobre Y no debe cambiar.

En realidad el trabajo de Kenneth Arrow no habla necesariamente de cuerpos colegiados que deben tomar una decisión, sino que habla principalmente de los métodos por los cuales las preferencias de una sociedad se reflejan en resultados concretos ¿Cómo debe ordenar el Estado las prioridades (en cuanto a presupuesto, digamos) entre salud, educación y seguridad? Arrow dice que esa decisión de Estado debe estar en función de los deseos individuales de los ciudadanos. En este contexto la Condición 2 dice que si el Estado da prioridad, por ejemplo, a la educación por sobre la seguridad y el conjunto de los ciudadanos que apoya esta decisión no disminuye entonces la rpioridad de educación sobre seguridad debe mantenerse.

El Teorema de Arrow (pues se trata de un teorema matemático) establece que si el método de decisión cumple las Condiciones 1 y 2 entonces necesariamente existe un dictador. Es decir, existe un votante específico tal que la decisión final será exactamente la que él desee (independientemente de lo que voten los demás).

Más allá de cualquier disquisición de orden ético o moral, la existencia de un dictador elimina toda posibilidad de un sistema racional de elección, ya que si el dictador vota ABC y todos los demás votan CBA entonces (aunque el 99,9% de los votantes prefiera CBA) el resultado será ABC. Es totalmente imposible tener un método justo y racional de selección de prioridades.

3. La demostración

En esta sección vamos a demostrar el Teorema de Arrow.

A veces sucede que un conjunto de votantes es capaz por sí mismo de imponer que una opción X quede por encima de Y. Supongamos, por ejemplo, que se estableciera como regla que si en la mitad más uno de los votos emitidos X queda sobre Y entonces eso mismo es lo que debe suceder en el resultado final. En ese caso, cualquier grupo con al menos la mitad más uno de los votantes es capaz de imponer que X quede sobre Y. (La Condición 1, por supuesto, dice que el conjunto de todos los votantes es capaz de imponer a X sobre Y.)

Notemos que algunas opciones podrían requerir mayorías especiales, por lo tanto que un grupo sea capaz de imponer a X sobre Y no necesariamente significa que sea capaz de imponer a X sobre Z o a Y sobre X (quizás el 25 % basta para que X quede sobre Y, pero se necesita que el 75 % para que Y quede sobre X).

Una consecuencia de la Condición 2 es que si en alguna votación un grupo de votantes ha colocado a la opción X por encima de la opción Y mientras que todos los demás hicieron lo contrario y si además en el resultado final la opción X quedó por encima de Y, entonces ese grupo de votantes, por sí mismo, puede siempre imponer que X quede por encima de Y.

Tomemos el grupo más pequeño que puede imponer alguna opción, digamos que sea capaz de imponer a X por sobre Y. Supongamos que ese grupo está formado por al menos dos personas y elijamos a una de ellas, a quien, para simplificar, elijámosle un nombre al azar, llamémoslo Oscar, como el premio de la Academia.

Imaginemos ahora que en una votación sucede:

Oscar vota XYZ.
Los demás miembros del grupo votan ZXY.
Quienes no están en el grupo votan YZX.

Todos los miembros del grupo (Oscar incluido) han puesto a X por sobre Y, por la característica del grupo entonces en el resultado final estará X sobre Y.

Observemos que los miembros del grupo que no son Oscar han colocado a Z por sobre Y mientras que todos los demás votantes han hecho lo contrario. Si en el resultado final quedara Z por sobre Y entonces los miembros del grupo que no son Oscar serían por sí mismo capaces de imponer a Z sobre Y, pero esto es imposible pues dijimos que el grupo elegido era el más pequeño capaz de imponer alguna opción (no puede haber grupos más pequeños con esa capacidad de decisión). La conclusión es que en el resultado final debe estar Y por sobre Z y como también estaba X sobre Y entonces el resultado final es XYZ.

Notemos ahora que Oscar puso a X sobre Z y todos los demás hicieron lo contrario. Como en el resultado final quedó X sobre Z entonces Oscar por sí mismo es capaz de imponer a X sobre Z. Pero esto también es imposible por la suposición de que el grupo elegido es el más pequeño posible.

La contradicción nace del hecho de suponer que el grupo está formado por al menos dos personas. Por lo tanto el grupo está formado por solamente un votante, es decir existe una persona que por sí mismo es capaz de imponer que alguna opción determinada X quede por encima de alguna opción determinada Y. Llamemos nuevamente Oscar a esa persona, quien es capaz entonces por sí misma de imponer que X quede sobre Y. Esto significa, ni más ni menos, que si Oscar decide que X debe estar sobre Y entonces así será en el resultado final independientemente de lo que los demás voten.

Ahora bien, se puede demostrar que Oscar es en realidad un dictador total, es decir, que es capaz de imponer cualquier par de opciones. A modo de ejemplo probemos que Oscar es capaz de imponer a X sobre Z.

Supongamos que en alguna votación sucede lo siguiente:

Oscar vota XYZ.
Todos los demás votan YZX.

Como Oscar es capaz de imponer a X sobre Y entonces su voto obliga a que en el resultado final X quede sobre Y. Por otra parte, en el 100 % de los votos sucede que Y está por encima de Z, luego, el resultado de la votación sólo puede ser XYZ. Observemos ahora que Oscar colocó a X sobre Z, todos los demás colocaron a Z sobre X y en el resultado final quedó X sobre Z, esto implica que Oscar por sí mismo es capaz de imponer a X sobre Z.

De modo similar se puede probar que Oscar es capaz de imponer cualquier par de opciones que desee, las prioridades que él elija serán las que se apliquen. Oscar es, entonces, un dictador.

4. Conclusión

Hemos probado así que si el método de elección cumple las condiciones 1 y 2, ambas perfectamente deseables si queremos que el método sea justo y racional, entonces existe un dictador. Como dijimos antes, la existencia de un dictador destruye completamente todo intento de racionalidad en el sistema. No existe, por lo tanto, ninguna forma justa, democrática y racional de que una asamblea organice por prioridades tres o más opciones. Podemos proponer distintos métodos, algunos serán mejores, otros peores, pero el método perfecto y libre de objeciones, como acabamos de demostrar, simplemente no existe.

Bibliografía:

ARROW, Kenneth J. – Elección social y valores individuales – Planeta Agostini, Barcelona, 1994. Título original: Social Choice and Individual Values (1951).