22.11.07

El Omegón y todo eso... (Parte 2)

(A la parte 1A la parte 3)

Breve introducción histórica

Comenzaremos nuestra exposición con un breve resumen de la historia de los ordinales. Tómese este resumen como un índice de lo que vamos a ir desarrollando en las sucesivas entradas, una especie de esqueleto que, con el tiempo, iremos lentamente cubriendo de carne y sangre.

Como decíamos en otra ocasión (véase aquí) hay dos formas de concebir el infinito, la forma “potencial” y la forma “actual” (quien hizo esta distinción por primera vez fue Aristóteles). El infinito potencial, o en potencia, es un infinito que nunca llega a realizarse, se trata solamente de una cantidad finita que puede aumentarse tanto como se quiera, pero que nunca deja de ser finita. Por ejemplo, cuando Euclides, en sus Elementos, enuncia que hay infinitos números primos lo dice la siguiente forma: es posible aumentar (finitamente) cualquier cantidad (finita) dada de números primos. Es decir, la cantidad de primos conocidos es en todo momento finita, pero siempre puede aumentarse un poco más.

En contraposición, el infinito actual, o en acto, es un infinito que ya se ha alcanzado. Es una cantidad infinita de hecho. Cuando decimos “hay infinitos primos” e imaginamos a todos los primos juntos, existentes todos a la vez, estamos pensando en un infinito en acto.

Desde Aristóteles y hasta fines del siglo XIX los matemáticos sólo aceptaron como válida la concepción potencial del infinito y rechazaron unánimemente, como absurda y sin sentido, la idea del infinito en acto. Este rechazo provenía esencialmente de una visión realista de la matemática, una visión en la que la matemática debía reflejar inevitablemente la realidad física, en la cual el infinito, es verdad, sólo existe en forma potencial.

Quien rompió con este rechazo e introdujo el infinito actual en la matemática fue Georg Cantor. No fue fácil para él. De hecho, en 1883 Cantor escribió: “he sido llevado casi contra su voluntad, por la lógica de mis investigaciones, a romper con tradiciones que me habían enseñado a venerar” (por esas tradiciones se entiende el rechazo al infinito actual).

¿Qué investigaciones fueron ésas? Ya lo veremos con detalle más adelante. Baste decir por ahora que Cantor se topó con el primer atisbo de los ordinales (y con ellos del infinito actual, pues los ordinales son infinitos en acto) hacia 1872. Sin embargo, tan fuerte era en él el respeto a las tradiciones, que recién admitió la existencia de los ordinales (y su carácter infinito) en 1883, en un artículo donde no sólo defendió su existencia, sino que los definió por primera vez y expuso algunas de sus propiedades. Es en ese artículo de 1883 donde aparece la frase citada más arriba.

Hacia 1884 Cantor sufre un colapso nervioso. Contribuyen a él muchos factores, entre ellos el pertinaz rechazo que muchos matemáticos influyentes habían venido mostrando hacia su trabajo (no es fácil romper con veneradas tradiciones) y una pelea con Richard Dedekind, uno de sus amigos más íntimos a la vez que uno de sus más firmes defensores. Después de este colapso Cantor abandona la matemática durante varios años.

Hacia 1893 una nueva generación de matemáticos (entre los que se destaca David Hilbert) asciende a puestos de poder. Esta generación (como en toda generación nueva) está más dispuesta a romper con viejas tradiciones y acepta de buen grado la teoría de Cantor. Éste, entonces, se reconcilia con sus colegas y vuelve al trabajo. En 1895 y 1897 publica sendos artículos sobre su teoría de los ordinales y los cardinales. En el primero de estos artículos, entre muchas otras cosas, da una definición más precisa de la noción de ordinal (y también de cardinal). En el segundo profundiza el estudio de los ordinales y los cardinales. (Es en el artículo de 1895 donde aparecen por primera vez los famosos aleph.)

Cantor tenía la intención de publicar un tercer artículo en 1899, pero antes de completarlo sufre un nuevo colapso nervioso (producido en este caso por la muerte de su hijo menor) del cual ya nunca se recuperaría. Cantor murió en 1918.

Entre 1895 y 1902 se descubren varias paradojas (léase contradicciones o incoherencias) en la teoría de Cantor. Las primeras las encuentra el propio Cantor (aunque una suele atribuirse erróneamente a Césare Burali-Forti), la última la encuentra Bertrand Russell. Con el tiempo, estas paradojas obligaron a una reformulación de toda la teoría de Cantor, la cual quedó finalmente contendida en la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF). Esta teoría axiomática fue formulada originalmente por Ernst Zermelo en 1908 y fue modificada en los años subsiguientes por varios matemáticos, entre ellos Fraenkel, Bernays, von Neumann, etc. Fue precisamente John von Neumann en 1923 quien dio la definición moderna, siempre en el contexto de ZF, de la noción de ordinal, definición que siguen usando actualmente los matemáticos, o al menos los matemáticos que se ocupan de estas cosas.

Comenzaremos a cubrir este esqueleto por el año 1895. En nuestra próxima entrada desarrollaremos, traducida a un lenguaje moderno, la definición de ordinal que Cantor dio en su artículo de ese año.

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