25.12.06

Gödel y Turing (Parte 16 y última)

(A la parte 15)

Las consecuencias del primer teorema de Gödel

Uno de los temas de controversia durante la crisis de los fundamentos giraba en torno a qué razonamientos matemáticos podían considerarse aceptables. Los intuicionistas, en particular, sostenían que las reglas usuales de la lógica sólo son válidas si se aplican a conjuntos finitos y que cuando tratamos con el infinito (que ellos sólo aceptaban en sentido potencial) las reglas de razonamiento debían ser diferentes. En particular los intuicinistas rechazaban para el infinito las demostraciones por el absurdo.

El Programa de Hilbert propuso un criterio objetivo para determinar cuáles razonamientos eran válidos y cuáles no. Para cada teoría matemática debía establecerse un algoritmo que fuera capaz de distinguir entre los razonamiento correctos y los incorrectos. En realidad, ya una idea similar había tenido Leibniz dos siglos antes. Leibniz había imaginado alguna vez la posibilidad de un lenguaje formal para la lógica, lenguaje que estaría constituido de tal modo que razonar equivaliera a calcular, de tal suerte que cuando dos filósofos tuvieran alguna disputa, en lugar de discutir, simplemente calcularían.

Hilbert esperaba que estos razonamientos algorítmicos (o finitistas) fueran suficientemente potentes como para demostrar toda verdad matemática (o al menos todas las verdades de la Teoría Elemental de Números). El Primer Teorema de Gódel dio por tierra con esta esperanza.

Pero la pregunta quedó en pie y sigue en pie desde entonces, aunque ya casi nadie la plantea explícitamente ¿qué es un razonamiento matemático válido? Dijimos clases atrás que toda verdad relativa a la Teoría de Números puede demostrarse a partir de los Axiomas de Peano pero ¿qué significa en este caso la palabra “demostrar”? La respuesta que suele darse a este interrogante es vaga e intuitiva, “todo el mundo sabe” qué es un razonamiento válido. De hecho, el primer Teorema de Gödel prueba que no existe, que nunca podrá existir, un criterio objetivo y finitista para determinar si una demostración es correcta o no.

Ése es el legado de Gödel, no la incertidumbre sobre la consistencia de la Matemática (consistencia de la que nadie duda aunque no pueda darse una demostración finitista de ello), sino la imposibilidad de determinar de modo claro y conciso cuáles razonamientos matemáticos son válidos y cuáles no. La decisión última a este respecto termina siendo en general una cuestión de mayorías, las demostraciones correctas son aquellas que la mayoría de los especialista consideran como tales. Las controversias en torno a la demostración de la conjetura de Kepler son tal vez una consecuencia de este legado.

¿Es posible que en el futuro un nuevo Gödel o un nuevo Hilbert den finalmente con un criterio (no finitista por fuerza) que permita distinguir de modo claro e indubitable cuáles son los razonamientos que pueden considerarse válidos y cuáles no? ¿Podrá suceder entonces que algunas demostraciones hoy consideradas correctas dejen de ser válidas en el futuro? Esto ha sucedido ya en el pasado, en 1806, por ejemplo, Ampère demostró (y la demostración fue publicada en una revista de la época, es decir la demostración era válida en ese tiempo) que toda función continua es derivable, excepto eventualmente en algunos puntos aislados y esto fue tomado como cierto hasta que en 1872 Weierstrass mostró ante la Academia de Ciencias de Berlín un ejemplo de una función continua que no es derivable en ningún punto (Bolzano había encontrado antes otro ejemplo, pero no lo publicó) ¿Podrá suceder esto nuevamente en el futuro? Algunos responderán que no, otros dirán que sí, otros, finalmente, diremos quién sabe.

FIN

9 comentarios:

Alfredo Pérez Poch dijo...

Un artículo muy interesante. Más que como “esbozo de demostración”, rinde como introducción sintética a las investigaciones de Gödel y su contexto –y quizás como una vacuna para quienes podemos sentir vértigo ante exposiciones técnicas más precisas-. En ese sentido, es una mágnifica contribución de servicio público. Es una gran noticia que contribuciones como ésta esten disponibles en la internet.

Dudo de que sea adecuado incluir a los críticos de la inteligencia artificial –de la equiparación entre mente humana y ordenador- entre los críticos ‘antropocentristas’ del evolucionismo y el heliocentrismo. Los últimos se enfrentan a la ciencia porque contradice una visión religiosa, mientras que los primeros –incluido, con muchos matices, el propio Gödel- sólo defienden una tesis. Con acierto o sin él, se puede pensar que la mente humana no es equiparable a ningún ordenador sin por ello considerar que la especie humana ocupa un lugar de privilegio en una presunta jerarquía del universo.

Hay que tener en cuenta que la cuestión de las diferencias entre la mente humana y los ordenadores no es sólo psicológica o antropológica; si no existen tales diferencias, existen proposiciones matemáticas absolutamente indecidibles –hay un límite al progreso matemático-. Incluso si este límite existe, no tiene porque haber sido alcanzado por sistemas como los Principia Mathematica o el sistema de Zermelo. Pero para Gödel resulta improbable disponer de un sistema más potente –donde tengan solución las cuestiones insolubles en los anteriores- sin aplicar procedimientos como “ingenio” o “habilidad”, distintos a los que se pueden aplicar mediante máquinas.

Si fuera posible un sistema de reglas de manipulación de fórmulas sin las limitaciones de sistemas como el de Zermelo sería tan complejo que probablemente la mente humana nunca sabría que este sistema tiene dicha capacidad –el número de reglas adicionales sería tan grande que es improbable que fuesen evidentes-. Los progresos más allá de ese sistema se han conseguido, precisamente, poniendo en juego facultades de interpretación semántica y definición de conjuntos que no pueden reducirse a un procedimiento finitista –si las extensiones conjuntistas de la aritmética fuesen abreviaturas de procesos de manipulación de símbolos, una especie de interfaz amigable que maneja un hardware finitista enorme, serían algo que precisamente, según los teoremas de Gödel y Turing, es imposible, un procedimiento finitista de decisión para la aritmética-.

La definición mediante axiomas semánticos de extensiones no inconsistentes de las teorías disponibles es para Gödel la única vía para “acelerar, especializar y determinar unívocamente” de modo consciente el progreso matemático; en tanto no se siguió ese procedimiento por escrúpulos filosóficos –exige mentar niveles de infinitud-, la matemática se habría estancado; cuando tras 200 años de presunto estancamiento se abordó el procedimiento –Gödel pone como ejemplo la introducción de los números hiperreales en el análisis no standard, ‘paso lógico’ que debería haber seguido a la introducción de los reales y que se pospuso por escrúpulo filosófico-, se habría conseguido tratar cuestiones que por su complejidad eran inabarcables en los sistemas anteriores. El signo de estos avances no es –no puede ser- la presencia de reglas más exhaustivas, sino basarse en una interpretación de los sistemas anteriores vistos como una totalidad, y sin límite para su carácter abstracto –aunque condicionada a no resultar contradictoria respecto a los niveles más ‘manejables’-.

Si no Gödel en su obra publicada, Penrose llevaba esta argumentación un paso más allá: si la inteligencia artificial estuviese en lo cierto –formase parte del progreso de conocimiento- habría un límite para este proceso –no podrían demostrarse más teoremas que los de un sistema tipo Zermelo o alguno superior-; pero la única forma de “acelerar, especializar y determinar univocamente” la trayectoria hasta esta conclusión –de topar con certeza con las cuestiones absolutamente indecidibles- sería este procedimiento de extensión que no puede reducirse a los sistemas fínitos en que consiste la mente según la inteligencia artificial. Llevar la inteligencia artificial más allá de un estado fatalmente conjetural exigiría negarla.

Supongo que somos muchos los incapaces de juzgar de primera mano las declaraciones de Gödel (1) –pues no podemos hacerlo con, por ejemplo, los méritos relativos del análisis no estándar respecto al resto de la matemática-; además involucran conceptos filosóficos tan escurridizos como ‘conciencia’ y ‘conocimiento’. Páginas y artículos como ésta y el anterior nos ayudan considerablemente a orientarnos –especialmente si el autor muestra en cuestiones de topología la finura que ha mostrado aquí-. Pero en cualquier caso, creo que muestran que tras el escepticismo hacía una identificación de la mente con un mecanismo finito no tiene porque haber sólo prejuicios “antropológicos”.

Añado que una valoración parecida puede hacerse de las declaraciones de Penrose en este sentido; cuando él hablaba de “ingenio y habilidad” no se refería a una facultad abstracta, sino a una facultad que se revelaría en una física capaz de decidir cuestiones que son indecidibles en la actualidad, y que no se llega ni a someter a prueba por un escrúpulo filosófico –no sé cuál es el estado de la cuestión donde que escribió “Las sombras de la mente”, no he tenido tiempo de ponerme con “The road to reality”-.

Naturalmente, también sé que Hofstadter cuenta con una muy completa bateria de argumentos que recuerdan que consideraciones como las anteriores se basan en una visión muy limitada de los supuestos de la inteligencia artificial, rebasada por las propias investigaciones en ese terreno. Por mi parte sólo pretendo marcar una posición, por si resulta de interés.

Reitero mis felicitaciones al responsable de este excelente blog.


(1) He escrito este comentario tras repasar “Sobre la longitud de las demostraciones”, “La lógica matemática de Russell”, la postdata a "Sobre sentencias indecidibles", “Una nueva versión del teorema de indecidibilidad”, “Declaración sobre el análisis no standard”, todos ellos en la llamada Obra completa, publicada en castellano por Alianza Editorial. Los “Escritos inéditos” publicados por Mondadori son más explicitos, pero hay que tener en cuenta que no gozan del imprimatur del propio Gödel.

sEbAsTiAnFfX dijo...

Muy buen articulo!!
sirve para dar una "gran imagen" acerca de los teoremas de Gödel, y del fantastico trabajo de Turing para aquellos que no nos hemos adentrado lo suficiente en los tecnicismos del asunto.

jordicuest dijo...

Impresionante artículo, con gran claridad y relativamente fácil de leer; estaba a punto de escribir uno en mi blog sobre sistemas formales y el teorema de incompletitud, pero después de leer el tuyo simplemente haré una reseña y te recomendaŕe. Un muy buen trabajo de divulgación. Felicitaciones.

Gustavo Piñeiro dijo...

Muchas gracias.

(Si me enviás la dirección de tu blog, tendré mucho gusto en agregarla a la lista de enlaces de la columna derecha.)

Gustavo Piñeiro dijo...

¡Claro! Estaba en el enlace asociado al nombre... Disculpas.

AsVHEn dijo...

Muy buena exposición, si señor. Estuve buscando una explicación de los teoremas de Gödel y ninguna explicación, aún siendo escritas más tarde que esta, se le acercan siquiera. Ameno y muy fácil de entender sin perder un ápice de rigurosidad.

Martin Nardelli dijo...

excelente articulos, muy claro, disculpen si mi pregunta no tiene mucho sentido ya que soy un lego en esto, en el libro de stephen howking habla del juego de la vida de conway y de los automatas celulares y dice que son una maquina universal de turing, sabiendo esto que conclusiones se pueden sacar respecto al teorema de godel? si es que se puede sacar alguna, ante todo gracias y espero que la pregunta sea valida

Martin Nardelli dijo...

hola, excelente articulo, disculpen si mi pregunta no tiene sentido, es que soy un lego en esto, en el libro el gran diseño stephen hawking habla del juego de la vida de conway y de los automatas celulares y dice que es una maquina universal de turing, sabiendo esto que conclusiones se pueden sacar sobre los trabajos de godel, siendo mas claro que algo sea una maquina de turing implica que esta relacionado con los trabajos de godel?, bueno desde ya gracias, y espero que la pregunta sea valida, saludos!

Crisis dijo...

Muchas gracias por el articulo! Me encantan este tema, la computacion y la filosofia detras de la matematica.

Solo por comentar, en mi imaginario acepto la filosofia Formalista pero no veo los Teoremas de Godel como algo catastrofico, sino como propiedades inherentes al sistema logico para el cual se aplican los teoremas. Saber que hay cosas que nunca sabremos le aNade misterio a la matematica, la hace mas interesante.

Por otra parte, queria saber si tienes algun articulo/informacion sobre los Teoremas de Godel, las maquinas de Turing, y la realidad fisica. Suena un poco vago, todavia no me aclaro bien mi propia idea, sino que siempre que leo sobre el tema me pregunto si, entendiendo de alguna manera los atomos o una celula como entidades computacionales, es decir, que siguen ciertas reglas asi sean probabilisticas, si existen limites para lo que pueden realizar estos sistemas, asi como existen limites para lo que pueden hacer las maquinas de Turing?
Cual es el poder computacional de una maquina que admite inconsistencias? Existe alguna logica donde una inconsistencia sea una premisa valida?

Creo que preguntare hasta ahi, a nivel tecnico se muy poco del tema, pero me parece muy interesante.