Axiomas de Peano y consecuencias (4)

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A la parte 3 - A la parte 5

Definición: 1 = S(0).

Teorema 10: $1\neq 0$.
(Es consecuencia inmediata del axioma 1.)

Teorema 11: n + 1 = S(n).

Demostración:

n + 1 = 

= n + S(0)  (definición)

= S(n + 0)  (Ax. 4)

= S(n)   (Ax. 3)

Teorema 12: 1.n = n.

Demostración:

Por inducción. Para n = 0 vale por el axioma 5. 

Veamos que 1.n = n implica 1.S(n) = S(n).

1.S(n) = 

= 1.n + 1  (Ax. 6)

= n  + 1  (por hipótesis)

= S(n)  (Teo. 11).

Definiciones:
2 = S(1)
3 = S(2)
4 = S(3)
5 = S(4)
etc.