Una respuesta a la falacia del jugador

Imaginemos que en la ruleta sólo hubiera 36 números, 18 rojos y 18 negros (todos sabemos que en las ruletas reales existe además el 0, número que en este juego no tiene color, pero aquí lo omitiremos sin que eso afecte en lo esencial la idea que queremos exponer). Supondremos además que la ruleta es "perfecta", en el sentido de que todos los números tienen la misma probabilidad de salir.

"Rojo" y "negro" tienen, entonces, la misma probabilidad y, como consecuencia, en cualquier sucesión "muy larga" de bolas la cantidad de rojas y negras tenderá a igualarse; en otras palabras, la proporción en que aparece cada color tenderá, a la larga, a ser del 50%. Se llama falacia del jugador a la creencia (errónea) de que este hecho implica que las cantidades de rojos y de negros deben tender a compensarse mutuamente. Más exactamente, si salieron, por ejemplo, 6 rojos consecutivos, la falacia consiste en creer que en el tiro siguiente, para compensar los 6 rojos que salieron, "negro" debe ser más probable que "rojo", y que a medida que salgan más y más rojos, la probabilidad de negro será cada vez mayor. (El tema se relaciona con el contenido de esta entrada; obviamente Wikipedia tiene una entrada sobre esta cuestión.)

La explicación que se da usualmente para demostrar que esta creencia es, en efecto, errónea, consiste en apelar a la "independencia" de los tiros de la ruleta. Suele decirse en este sentido que "la ruleta no tiene memoria" y que cada tiro puede pensarse como como si fuera el primero dado que en cada instante la historia previa (la secuencia previa de tiros) es totalmente irrelevante.

Quiero dar aquí un argumento diferente para explicar por qué la falacia del jugador es, efectivamente, una falacia, un argumento que podríamos llamar tal vez "filosófico". Más precisamente, mi idea es dar una demostración por el absurdo del hecho de que la falacia del jugador afirma algo que es falso.

Supongamos entonces que lo que dice la falacia del jugador sea cierto y que cuanto más larga sea una racha de rojos o de negros, mayor es la probabilidad de que la bola siguiente sea del color opuesto. A partir de este supuesto debemos llegar a una contradicción.

Digamos por ejemplo que, contando desde el comienzo de la noche del lunes, en la mesa 10 del casino X las bolas número 15º, 16º, 17º, 18º y 19º (me refiero al orden en que fueron lanzadas en la mesa desde su apertura, no a los números que salieron) han sido todas rojas.

Según nuestra hipótesis, esta racha hace que, en lo que hace a la bola 20º, la probabilidad de negro aumente a más del 50%. Pero la suposición se refiere en realidad a todas las rachas que convergen en esa bola 20º, y resulta que en esa bola convergen en verdad una cantidad enorme de rachas, por ejemplo, la racha de todas las bolas 20º de todas las mesas de ese casino en esa misma noche (contadas las mesas en todos los órdenes posibles), la racha de todas las bolas 20º de todas las noches anteriores en esa misma mesa en ese mismo casino, la racha de todas las bolas pares (2º, 4º, 6º, etc.) de esa misma noche, así como de todas las bolas pares de las noches anteriores, la racha de todas las bolas 20º de todos los lunes de todas las mesas de todos los casinos del mundo (contados los casinos en todos los órdenes posibles), y así siguiendo interminablemente. La secuencia formada por las bolas 15º, 16º, 17º, 18º y 19º de esa noche en esa mesa es sólo la más visible e inmediata de todas las rachas que convergen en la bola 20º, pero todas las demás rachas también deben ser tomadas en cuenta.

Ahora bien, de todas esas otras rachas (potencialmente infinitas), muchas de ellas estarán formadas sólo por números rojos, como es el caso de las bolas 15º, 16º, 17º, 18º y 19º, pero muchas otras estarán formadas sólo por negras, y otras más estará formadas por diferentes combinaciones de colores.

Pero para cada racha de n rojas que converge en nuestra bola 20º, hay una racha de n negras que converge exactamente a esa misma bola. Un grupo de rachas hace que en la bola 20º el negro tenga una probabilidad mayor al 50%, pero el otro grupo hace que sea rojo el que tenga una probabilidad de más del 50%, esto es un absurdo porque la probabilidad total superaría el 100%. En otros términos, si suponemos que una racha de un color hace que se favorezca al color contrario, la conclusión es que, de todos modos, las diferentes rachas se "compensan" y se llega a la conclusión de que cada color tiene siempre una probabilidad del 50%.

(Véase en este enlace un comentario que sirve de complemento a la entrada.)