La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 5)

(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)

La duplicación del cuadrado

En los dos capítulos anteriores vimos cómo es posible dividir un cuadrado de tal modo que con las partes resultantes podamos armar el mismo cuadrado y, además, un segmento. Es decir, como en el Teorema de Banach-Tarski, hemos hecho aparecer algo de la nada.

De todos modos, hay que admitir que ese "algo" que hemos hecho aparecer no es demasiado espectacular. Mientras que Banach y Tarski logran duplicar un volumen, nosotros no hemos logrado aumentar, ni siquiera ínfimamente, el área de la figura inicial. En efecto, dado que un segmento tiene área exactamente igual a cero, la combinación "cuadrado más segmento" tiene la misma área que el cuadrado por sí solo.

¿Será posible cortar un cuadrado de tal modo que las partes resultantes nos permitan armar dos cuadrados iguales al original (y así lograr una verdadera duplicación del área)? La respuesta, como veremos a continuación, es que sí.

Problema: Dividir un cuadrado en partes de tal modo que con ellas sea posible armar dos cuadrados iguales al original.

Primera versión de la solución: La clave de la solución consiste en observar que hay tantos puntos en un segmento como en dos segmentos de la misma longitud que él. Para entender esta afirmación veamos la siguiente figura:

En el dibujo, A, B y C son tres segmentos de la misma longitud. Cuando decimos que hay tantos puntos en A como en B y C reunidos queremos decir que es posible emparejar cada punto de A con un punto de B o con un punto de C, de modo tal que se cumplan a la vez todas las condiciones siguientes:

1. Cada punto de A se empareja con un punto de B o con un punto de C, sólo una de las dos alternativas.

2. Cada punto de B se empareja con un punto en A.

3. Cada punto de C se empareja con un punto de A

4. Ningún punto queda sin pareja, ni existe algún punto con dos parejas a la vez (ni solteros, ni polígamos podríamos decir).

A modo de ejemplo, en el dibujo de más arriba se ve que el punto p se empareja con el r y que el punto q se empareja con el s. (En la segunda versión de la solución veremos explícitamente cómo es posible definir este emparejamiento.)

Imaginemos ahora que A es uno de los lados del cuadrado que queremos cortar. Una "parte" del cuadrado será cualquier segmento que esté contenido en él y que sea perpendicular al lado A (es decir, cortamos al cuadrado en lonjas unidimensionales perpendiculares a A).

Para armar los dos cuadrados, desplazamos los segmentos según nos lo marque el emparejamiento que hicimos más arriba con los puntos. Si el punto p, por ejemplo, se corresponde con el punto r, entonces desplazamos el segmento correspondiente a p de modo que quede colocado "sobre" el punto r. Esto se ejemplifica en la figura siguiente:

Las características indicadas más arriba para el emparejamiento de los puntos nos aseguran que los segmentos obtenidos del primer cuadrado terminan formando, de manera completa, dos cuadrados iguales al original. De este modo, sin agregar nada, hemos duplicado el área de la figura inicial.

En el próximo capítulo veremos una segunda versión de esta misma solución en la que haremos foco en algunos detalles técnicos. Veremos también algunas consecuencias de la solución mostrada.

(Continuará...)

La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 4)

(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)

"Espero que me perdone si uso imágenes gráficas en vez de expresiones matemáticas exactas." (Isaac Asimov, El Fin de la Eternidad, Cap. 1)

"Debes ir más allá de lo que ves." (Walt Disney Studios, El Rey León 3)

Más allá de lo que ves...

Voy a concederme una pequeña pausa en la exposición del tema que veníamos desarrollando para hacer algunas aclaraciones acerca de lo ya publicado. No hice antes estas aclaraciones porque en un principio juzgué que eran innecesarias, pero una reflexión posterior me ha hecho pensar que tal vez sea conveniente precisar algunos puntos.

En primer lugar debo decir que en este blog trato de reducir tanto como sea posible el uso de un lenguaje técnico-matemático.

Es muy conocida una fábula que dice (más o menos) así: Un rey le pide a un físico que le explique la Teoría de la Relatividad. El físico se la explica usando terminomogía técnica y lenguaje matemático, pero el rey le dice que no entiende nada.

El físico simplifica la explicación y reemplaza algunas ecuaciones matemáticas por analogías gráficas, pero igualmente el rey vuelve a decir que no entiende. La situación se repite una y otra vez, el físico reduce la terminología técnica, pero el rey le dice que aún no entiende.

Finalmente el físico explica la Relatividad a partir de una historia en la que dos personas juegan al tenis en un tren. El rey le dice que ahora sí entendió, a lo que el físico le responde "lástima, porque ésa ya no era la Teoría de la Relatividad".

Mi idea, en general, tanto al hablar de la Paradoja de Banach-Tarski como de cualquier otro tema matemático tratado en este blog, es mantenerme en un punto intermedio entre los dos extremos de la fábula: trato de usar un mínimo de lenguaje técnico, pero de modo tal que la explicación no sea una mentira. Es decir, si hablamos de la Paradoja de Banach-Tarski entonces hablamos de la Paradoja de Banch-Tarski, no de dos jugadores de tenis en un tren, pero con un mínimo de tecnicismos. (Al menos ésa es la intención general, otra cuestión es si esa intención se ve coronada por el éxito.)

Esta intención muchas veces me lleva (como al personaje de Asimov citado más arriba) a reemplazar las expresiones matemáticas exactas por imágenes gráficas. Sin embargo, al ver esas imágenes, uno no debe quedarse estancado en el dibujo. Tal como dice el mandril en la película también citada más arriba, hay que ir más allá de lo que se ve. ¿Qué quiero decir? Por ejemplo, quiero decir que esto no es un cuadrado:

Ni esto es un segmento:
Repito, el dibujo pintado de amarillo que acabamos de ver no es un cuadrado. Es la representación gráfica (muy imperfecta) de un concepto matemático abstracto que no existe en la realidad física. Una representación ciertamente muy útil y que nos ayuda a entender (o, como dice Borges, a creer que entendemos) las propiedades de un cuadrado.

Pero pretender que el dibujo tenga las propiedades del cuadrado es como querer vivir en la fotografía de una casa, o como buscarle las espinas a la palabra ROSA.

¿Qué es, entonces, un cuadrado? En principio, un cuadrado es un conjunto infinito (no numerable) de puntos del plano (lo mismo vale para un segmento, un triángulo, un hexágono, etc.) Voy a dar a continuación una definición posible del concepto de cuadrado (no es la única definición posible, pero es una definición que se ajusta perfectamente a los fines de nuestra exposición).

Para llegar a la definición de cuadrado necesito pasar por algunas notacioes y definiciones previas:

1. Llamamos R al conjunto de todos los números reales.

2. Llamamos [a,b] al conjunto de todos los números reales comprendidos entre los números a y b (ambos inclusive).

3. Si A y B son dos conjuntos, llamamos A x B al conjunto de todos los pares ordenados (x,y) tales que x es un elemento de A e y es un elemento de B.

4. Llamamos plano al conjunto R x R, es decir, al conjunto de todos los pares (x,y) donde x e y son números reales cualesquiera.

5. Llamamos cuadrado básico al conjunto [0,1] x [0,1].

6. Definición. Un conjunto de puntos es un cuadrado si y sólo si se obtiene del cuadrado básico por sucesivas aplicaciones (una cantidad finita de veces) de rotaciones, traslaciones y homotecias. (En este contexto, rotaciones, traslaciones y homotecias deben pensarse como cierto tipo específico de funciones de R x R en R x R.)

Análogamente podemos definir segmento. En ese caso el segmento básico es el conjunto [0,1] x {0}. (Deliberadamente no ilustro con dibujos.)

Dijimos que el dibujo de más arriba no es un segmento. Bien podemos pensar al segmento básico como un rectángulo degenerado en el que la base mide 1 y la altura mide exactamente 0.

No existe objeto físico alguno que sea equivalente a un segmento. Si pensáramos compararlo con una varilla delgada, por ejemplo, veríamos que un segmento tiene infinitos puntos, sin "espacio libre" entre ellos, mientras que la varilla está formada por una cantidad finita de átomos con (relativamente) mucho espacio libre dentro de ellos. Un segmento es divisible cualquier cantidad finita de veces, mientras que una varilla no lo es (no se puede dividir una varilla en 10^100 fragmentos, pero sí se puede hacer la operación equivalente con un segmento), etc.

De existir un objeto equivalente a segmento, sería invisible.

Voy a repetir la partición que hicimos en el capítulo anterior (allí explicada con la metáfora de los "segmentos rojos"), pero ahora usando un lenguaje matemático preciso:

La idea es establecer una partición de un cuadrado que nos permita obtener el mismo cuadrado más un segmento. Podemos suponer que tenemos el cuadrado básico [0,1] x [0,1]. Voy a definir una familia infinita de subconjuntos: A0, A1, A2,...

A1 es el conjunto {1/2} x [0,1]. (En el capítulo anterior lo describí como el segmento que une los puntos medios de dos lados opuestos del cuadrado, descripción perfectamente correcta que fue ilustrada con el primer "segmento rojo".)

A2 es el conjunto {1 - 1/4} x [0,1]

A3 es el conjunto {1 - 1/8} x [0,1]

Si n > 0, entonces An es el conjunto {1 - 1/2^n} x [0,1]

A0 = [0,1] x [0,1] - (A1 U A2 U A3 U...)

A1 es el que en el capítulo anterior llamé el primer segmento rojo, A2 es el segundo, A3 es el tercero, etc. A0 contiene a todos los puntos que no están en ninguno de los segmentos.

Para "ensamblar" el cuadrado más un segmento, a A1 le aplicamos la traslacióin de vector (-1,0), a A2 la traslación de vector (-1/4, 0), a A3 la traslación de vector (-1/8, 0) y así sucesivamente. A A0 le aplicamos la traslación nula, de vector (0,0).

De este modo se obtiene el cuadrado original más un segmento. Como ya dije, el mismo procedimiento fue explicado en el capítulo anterior apelando a la metáfora de los segmentos rojos. La partición del capítulo 2 también puede describirse en términos matemáticos exactos.

En adelante seguiré con mi idea de reducir al mínimo el lenguaje técnico, pero, recuerden, deben ir más allá de lo que ven...

(Continuará...)

La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 3)

(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)

Abracadabra

En este capítulo veremos cómo sacar un conejo de una galera. O, mejor dicho, cómo sacar un segmento de un cuadrado. El problema que vamos a considerar es el siguiente:

Dividir un cuadrado de tal manera que con las partes resultantes se pueda ensamblar un cuadrado igual al original y además, aparte, un segmento.

Decíamos en el capítulo anterior que los problemas de "cortar y pegar" pueden analizarse desde dos puntos de vista: un punto de vista concreto o un punto de vista abstracto. El problema que estamos aquí considerando sólo puede entenderse en forma abstracta ya que (como también vimos antes) no existe objeto físico alguno que tenga las propiedades de un segmento matemático.

Procedamos a resolver el problema. La figura siguiente ilustra la idea de su solución:

En el cuadrado que aparece en la figura hemos destacado, en color rojo, varios segmentos.

1. El primer segmento conecta los puntos medios de dos lados opuestos del cuadrado.

2. El siguiente segmento rojo (a la derecha del primero) conecta dos puntos que marcan la cuarta parte de la longitud de esos mismos lados del cuadrado.

3. El siguiente segmento conecta puntos que marcan la octava parte de la longitud de esos mismos lados.

...Y así sucesivamente.

Obtenemos de esta forma una cantidad infinita de segmentos, cada uno de ellos más cercano que el anterior al lado del cuadrado que está a la derecha (aunque ninguno de los segmentos llega a coincidir con ese lado). Es interesante notar que el dibujo es, en realidad, una representación sumamente imperfecta de un proceso matemático abstracto irreproducible en la realidad física.

Definamos a continuación cuáles son las "partes" en que el cuadrado quedará dividido. Cada uno de los segmentos "rojos" es en sí mismo una de esas partes. Una última parte está formada, simplemente, por todos aquellos puntos del cuadrado que no pertenecen a alguno de los segmentos "rojos".

Tenemos entonces una cantidad infinita de partes. Podría objetarse que la última parte que definimos es disconexa, ya que claramente está formada por sectores separadas unos de otros. Pues bien, en la interpretación abstracta una "parte" es simplemente un conjunto de puntos de la figura original y se admite como posible que sea disconexa. (En la interpretación concreta, en cambio, se sobreentiende que todas las partes son conexas.)

"Ensamblar" las partes consiste en aplicarles rotaciones, traslaciones y simetrías. En este caso procedemos así:

1. Trasladamos el primer segmento rojo hacia la izquierda una distancia suficiente como para que quede fuera del cuadrado (por ejemplo, lo podemos trasladar una distancia igual a la longitud del lado del cuadrado).

2. Al mismo tiempo trasladamos el segundo segmento rojo de modo que ocupe la posición del primero. Y al tercero, de modo que ocupe la posición del segundo. Y al cuarto, de modo que ocupe la posición del tercero. Y así sucesivamente. (Nótese que, dado que no hay un "último segmento", todos los "huecos" del cuadrado se rellenan. Nótese también la similitud con la llamada Paradoja del Hotel de Hilbert.)

3. A los demás puntos no se les aplica movimiento alguno.

El resultado de estos movimientos es, como pedía el problema, un cuadrado igual al original y, aparte, un segmento.


Más allá de resolverlo ¿qué podemos aprender de este problema? Por un lado, tenemos aquí una situación en la que "aparece algo de la nada": teníamos un cuadrado, cortamos y pegamos, y pasamos a tener un cuadrado igual al original y además un segmento. Vemos aquí un primer atisbo del fenómeno Banach-Tarski, en el que tenemos una esfera y, tras cortar y pegar, aparece de la nada una segunda esfera.

Otro punto interesante, quizás aún más importante que el anterior, es éste: dijimos que al dividir una figura en partes, éstas no necesariamente tienen que ser conexas. ¿Podríamos haber considerado a todos los segmentos rojos, en conjunto, como una sola "parte"? La respuesta es que no, pero ¿por qué? ¿Qué es lo que hace que un conjunto de puntos pueda ser considerado, o no, una "parte" de la figura?

La respuesta está en los movimientos. Una "parte" está formada por puntos a los que se les aplican simultáneamente los mismos movimientos (rotaciones, traslaciones, simetrías).

Observemos que, en el problema, todos los puntos que no están en los segmentos rojos se quedan quietos en su lugar (si se quiere, se les aplica la traslación nula) y por eso pueden formar todos ellos una única parte del cuadrado.

Si todos los segmentos rojos se hubieran movido una misma distancia hacia la izquierda, entonces habrían podido formar todos ellos juntos una misma "parte" del cuadrado (y el cuadrado habría quedado así dividido en solamente dos partes). Pero el primer segmento se mueve una cierta distancia hacia la izquierda, el segundo se mueve una distancia menor, el tercero se mueve una distancia aún menor, y así sucesivamente. De modo que cada segmento debe ser considerado como una parte diferente.

En el próximo capítulo analizaremos una variante de este mismo problema, que nos mostrará otros aspectos de los problemas abstractos de "cortar y pegar".

(Continuará...)

Un problema de probabilidades

(Esta entrada es la participación de El Topo Lógico en el Carnaval de Matemáticas.)

Imaginemos el siguiente juego de azar: se le presentan a un jugador n cajas cerradas, cada una de las cuales contiene una bola marcada con un número entre 1 a n (cajas diferentes contienen números diferentes). Las cajas son perfectamente iguales y es imposible determinar por su aspecto el contenido de cada una.

El jugador anota en la tapa de cada caja un número de 1 a n. No es obligatorio que anote números diferentes. Puede, por ejemplo, anotar un 1 en todas las cajas.

Una vez hechas las anotaciones, se destapan las cajas. El jugador se anota entonces un punto por cada caja en la que el número anotado en la tapa coincida con el número de la bola contenida.

Por ejemplo, si el jugador anota un 1 en todas las cajas entonces ganará exactamente un punto.

Preguntas:

1) Si n es par y el jugador anota un 1 en la mitad de las cajas y un 2 en la otra mitad ¿cuál es su ganancia esperada?

2) ¿Cuál es la estrategia óptima para el jugador? Es decir ¿cuál es la estrategia para la cual la ganancia esperada del jugador es la máxima posible?

Paradojas del infinito (II)

Tenemos, por un lado, una recta infinita. Por otro lado tenemos una cantidad infinita de pequeños segmentos. Uno de estos segmentos mide 1/2 cm, otro mide 1/4 cm, otro 1/8 cm. y así sucesivamente. Aunque la cantidad de segmentos es infinita, la suma total de sus longitudes es apenas 1 cm.

Si distribuyéramos los segmentos a lo largo de la recta, la longitud total que cubrirían sería de apenas 1 cm. (o menos todavía, si los segmentos se superponen). La intuición nos dice que, no importa cómo coloquemos los segmentos, inevitablemente quedarán grandes porciones de la recta sin cubrir. Después de todo, estaríamos cubriendo apenas 1 cm. de una recta de longitud infinita.

Imaginemos que hemos colocado, de alguna forma, los infinitos segmentos sobre la recta. Tomemos ahora otro segmento de, digamos, 1 mm. de longitud. Éste será nuestro segmento de prueba.

Si al colocar el segmento de prueba sobre la recta, éste toca a alguno de los infinitos segmentos que colocamos primero, entonces sonará una alarma. Por "tocar" entendemos que haya una parte en común (que no se reduzca a un solo punto) entre alguno de los segmentos iniciales y el segmento de prueba.

La intuición nos dice que, no importa cómo hayamos colocado los segmentos iniciales (que abarcan solamente 1 cm. en una recta de longitud infinita), habrá muchas formas de colocar el segmento de prueba sin que suene la alarma.

Sin embargo... existe una manera de ubicar los segmentos iniciales de tal modo que, no importa cómo se coloque el segmento de prueba, la alarma siempre suene. Es decir, con segmentos que suman en total apenas 1 cm. de longitud es posible cubrir casi totalmente una recta de longitud infinita. Más exactamente, es posible cubrirla de tal modo que no haya en ella ni siquiera una parte de 1 mm. de longitud que quede sin ser tocada por al menos un segmento. Más aún, lo mismo sucedería si en lugar de un segmento de prueba de 1 mm. de longitud hubiéramos elegido uno de 0,000000001 mm., o cualquier otra longitud aún menor (siempre que no fuera cero).

El modo de lograr este prodigo es el siguiente. Es sabido que el conjunto de los números racionales es numerable, es decir, es posible establecer una correspondencia uno-a-uno entre el conjunto de los números racionales y el conjunto formado por 0, 1, 2, 3, 4,... Fijemos una tal correspondencia y llamemos q0 al número racional que se corresponde con el 0, q1 al que se corresponde con el 1, y así sucesivamente. (Es interesante observar que esta correspondencia puede definirse explícitamente, por lo que podríamos decir concretamente quién es q0, quién es q1, etc.)

Transformemos a la recta que teníamos al principio en una recta "numérica". Para ello marquemos dos puntos a 1 cm. de distancia entre sí, a uno de ellos asignémosle el número 0 y al otro, el número 1. De la manera usual quedan asignados todos los números racionales.

Pasemos ahora a ubicar los segmentos:

El segmento de longitud 1/2 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo [q0 - 1/4, q0 + 1/4].
El de longitud 1/4 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo [q1 - 1/8, q1 + 1/8].
El de longitud 1/8 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo [q2 - 1/16, q2 + 1/16].
Y así sucesivamente.

No es difícil probar que esta distribución cumple las condiciones indicadas antes: la suma total de los segmentos es 1 cm., pero no hay ninguna parte de longitud 1 mm. (o menor) que quede sin ser tocada por al menos un segmento. Para demostrar esto último, imaginemos que colocamos nuestro segmento de prueba de modo que coincida con el intervalo [a, b]. Ese intervalo (no importa su longitud, siempre que no sea nula) contiene al menos un número racional qn tal que b > qn > a. Por lo tanto, el segmento de prueba se toca con el segmento centrado en qn.

La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 2)

(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)

Cortar y Pegar

En este capítulo vamos a estudiar un problema de "corte y confección". La intención es comenzar a aproximarnos a una correcta interpretación del Teorema de Banach-Tarski.

Es problema dice así: ¿Es posible dividir un cuadrado en una cantidad finita de partes de tal modo que con éstas sea posible ensamblar un triángulo isósceles? (A las partes resultantes de la división se les puede aplicar rotaciones, traslaciones y simetrías, es decir, movimientos que no las deformen.)

En realidad hay dos maneras de entender este problema, las que podríamos llamar, por una lado, la interpretación concreta o física y, por el otro, la interpretación abstracta o matemática.

La interpretación concreta es la que seguramente casi todos adoptarían si intentaran resolver el problema. En esta interpretación pensamos al cuadrado como si fuera un objeto físico, un cuadrado de papel, por ejemplo, que tenemos que cortar con una tijera. Con las partes resultantes, cual si fueran piezas de un rompecabezas, debemos armar un triángulo iósceles.

Como se ve en el dibujo siguiente, el problema así interpretado se resuelve fácilmente. Sólo debemos cortar el cuadrado por una de sus diagonales.
En la interpretación abstracta vemos al cuadrado como un conjunto de puntos del plano. Dividir el cuadrado en partes equivale, en este caso, a establecer aquello que en la Teoría de Conjuntos se llama una partición del conjunto. Es decir, dividimos el cuadrado en subconjuntos de tal modo que cada punto pertenezca a uno y sólo uno de los subconjuntos de la partición.

Intentemos, para esta interpretación, la misma solución de antes. Dividimos el cuadrado por la diagonal, pero en este caso cada punto de esa diagonal sólo puede estar en uno de los dos triángulos resultantes. En la solución física había una duplicación: cada punto de la diagonal aparecía en ambos catetos de los triángulos resultantes de la división.

En el paso 2 del dibujo vemos que la hipoptenusa del triángulos inferior no está marcada de color negro. Esto indica que a ese triángulo "le falta" su hipotenusa (y por lo tanto, la figura en realidad no es un triángulo, ya que entendemos que un triángulo debe incluir todos sus lados).

Al ensamblar las piezas debemos tener la precaución inversa: cada punto de la figura final debe provenir de uno y sólo uno de los puntos de las piezas reunidas. Al intentar reunir los dos triángulos (véase el paso 3 en el dibujo siguiente) los catetos no pueden superponerse pues habría una duplicación.

"Cortamos" entonces el cateto de uno de los triángulos y lo separamos como una pieza más (paso 4). Reunimos entonces los dos triángulos (paso 5), pero la figura resultante todavía no es un triángulo completo, ya que le falta un lado. Podemos intentar completarlo con el segmento antes separado (paso 6), pero, Pitágoras mediante, ese lado es más corto que el segmento faltante, por lo que la figura final todavía queda incompleta (no es en realidad un triángulo).

En definitiva, según la interpretación abstracta, no hemos podido resolver el problema ya que no logramos armar un triángulo isósceles completo.

¿Es posible resolver el problema según la interpretación abstracta? Dejo la pregunta para los lectores.

Me interesa destacar aquí que el intento de solución según la interpretación abstracta nos ha mostrado una división en partes que es irrealizable en la práctica. El paso 4 (y, de hecho, también el paso 2) son imposibles en la realidad física ya que no existe en el mundo físico el equivalente exacto de un segmento matemático. Existen varillas delgadas, líneas en el papel y otros objetos que podemos imaginar como cercanos a un segmento, pero que de ninguna manera lo son, ya que en todos los casos se trata de cuerpos físicos tridimensionales formados por una cantidad finita de átomos.

Como ya se adivina, el Teorema de Banach-Tarski (que dice que una esfera se puede dividir en cinco partes que, a su vez, permiten ensamblar dos esferas iguales a la original) se refiere a una división abstracta o matemática irrealizable en la práctica.

(Continuará...)

La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 1)

(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)

Introducción

Hace algún tiempo (véase aquí) escribí en este mismo blog una entrada en la que comentaba que la palabra paradoja suele usarse en muchos y diversos sentidos (no equivalentes, e incluso contradictorios, entre sí). Uno de estos muchos significados podría resumirse de esta manera: hecho matemático perfectamente válido, pero totalmente contrario a nuestra intuición (por así decirlo, un hecho que la intuición nos dice que debería ser falso, pero que la razón matemática demuestra, en cambio, que es verdadero). Por ejemplo, la palabra paradoja es usada con esta acepción cuando se habla de la llamada Paradoja de Banach-Tarski.

Se le da el nombre de Paradoja de Banach-Tarski a un teorema totalmente válido, que fue correctamente demostrado en los primeros años del siglo XX por los matemáticos polacos Stephan Banach y Alfred Tarski, pero cuyo enunciado es, por decir poco, muy sorprendente.

El teorema dice así: cualquier esfera maciza puede cortarse en cinco partes que, al ser rotadas y trasladadas convenientemente (sin deformarlas), permiten ensamblar dos esferas macizas cada una de ellas iguales a la esfera inicial.

¡La duplicación de la esfera! Cortamos una esfera en cinco partes y con ellas armamos dos esferas iguales a la inicial. Sin agregar materia hemos duplicado el volumen que teníamos inicialmente.

Dejemos volar la imaginación: tomemos una pequeña esfera de oro, apliquemos el proceso de duplicación de Banach-Tarski y tendremos (sin agregar oro adicional) dos esferas de oro iguales a la inicial. Apliquemos el proceso a cada una de estas dos esferas y tendremos cuatro, y luego ocho, y luego... Al cabo de unos cuantos pasos estaremos literalmente nadando en oro. O podemos hacerlo con una esfera de pan y así terminaríamos con el hambre en el mundo.

¿Es esto posible? ¿Podemos duplicar el oro o el pan? Obviamente no, pero el teorema dice que sí podemos. ¿Cómo se explica esa discrepancia? La idea de esta saga es estudiar precisamente estas cuestiones. No sé si llegaremos a ver la demostración del teorema en sí, pero sí me interesa analizar qué es exactamente lo que en verdad dice el teorema y por qué, a pesar de que es verdadero matemáticamente, no es aplicable a esferas físicas de oro o de pan.

En última instancia, se trata también de internarnos un poco en la espinosa cuestión de la relación entre la Matemática y la Física.

(Continuará...)