Permítanme salirme un poco de la temática habitual del blog y plantear un problema de Análisis Matemático.
Tenemos una función f(x) de variable real tal que f(x) es siempre un número estrictamente positivo.
1) Supongamos que el límite cuando x tiende a +infinito de f(x + 1)/f(x) existe y es un número L menor que 1. ¿Podemos deducir que el límite cuando x tiende a +infinito de f(x) es 0?
2) Si el límite cuando x tiende a +infinito de f(x + 1)/f(x) existe y es un número L mayor que 1. ¿Podemos deducir que el límite cuando x tiende a +infinito de f(x) es +infinito?
En ambos casos, si la respuesta es sí, se pide una demostración. Si es no, se pide un contraejemplo.
10 comentarios:
Se me ocurre este contraejemplo:
Tomamos un L < 1, y f(x)=1/x para x=(0,1]
Para x>1 definimos f(x) recursivamente:
f(x+1)= L f(x)
Puede expresarse explícitamente:
f(x) = L ^ pe(x) / pf(x)
(y = L^x para x entero )
donde pe(x)= parte entera de x y pf(x)= parte fraccionaria de x
Si no me equivoco, la función cumple la condición del límite (más que eso: f(x+1)/f(x) = L ) pero no tiende a 0 (de hecho, ni siquiera está acotada en [M,+infinito] para ningún M)
Si pedimos que f(x) sea continua, otro gallo cantaría, creo yo.
Todas las exponenciales de la forma b*a^x+c donde a>1 b>0 y c>=0 son un buen contraejemplo. Su límite cuando x tiende a +infinito es siempre a.
Sobre la primera parte del problema, como contraejemplo pueden darse las exponenciales b*a^x con 0 < a <1 y b>0, dado que su límite cuando x tiende a + infinito es a. Nótese que si mantuviera la forma b*a^x+c el límite sería 1 para 0 < a < 1.
Los casos de Nahuel no sirven como contraejemplos.
El segundo, por ej, cumple que el límite del cociente es L<1, pero el límite de la función es 0.
Sí, me equivoqué porque me confundí el enunciado pensando que pedía deducir el límite de f(x+1)/f(x). Gracias por marcarme el error.
Para aquellas funciones cuyo límite para x tendiendo a +infinito está determinado, las consignas del problema se cumplen:
Sea el límite x tendiendo a +infinito de la función igual a L', hay 3 casos posibles:
1)L'=0
2)L'=+infinito
3)L'><0 y L'><+infinito
En el 3er caso el L=1. En los otros 2 casos se producen indeterminaciones, por lo tanto el problema trata sobre éstos. En los casos tratados en el problema se da:
A)L<1. De esto se deriva que en un intervalo (k;+inf), para un k determinado, f(x+1) < f(x) , puesto que el valor que da la función para cualquier x real es siempre positivo. Dado que la función no puede pertenecer al 3er caso y según el problema la función es siempre positiva, se concluye que lim x->+inf f(x)=+inf.
B)L>1. De esto se deriva que en un intervalo (k;+inf), para un k determinado, f(x+1) > f(x) , puesto que el valor que da la función para cualquier x real es siempre positivo. Dado que la función no puede pertenecer al 3er caso y según el problema la función es siempre positiva, se concluye que lim x->+inf f(x)=0.
Ahora que lo pienso bien, con respecto a mi último comentario, también tiene que cumplirse que exista a tal que f(a) sea un mínimo relativo y que no exista b>a tal que f(b) sea mínimo relativo.
Se puede considerar la sucesion An = f(n) con n natural y asi establecer segun el criterio de D'Alambert que si el lim (n -> + inf) f(n+1) / f(n)=L
con L<1, f(n) tiende a 0 y si L>1, f(n) tiende a + inf.
Pero no se si se puede establecer que como siempre existe un n natural mayor a un x real, un n0 natural menor que ese x, y suponiendo que f(n0) < f(x) < f(n) (*) entonces si lim (n -> +inf) f(n) = 0 = lim f(n0) , lim f(x) = 0 y si lim f(n) = + inf, lim f(x)= +inf
Espero que alguen corrija la segunda parte en especial el (*)
Se que hace mucho de esta entrada así que es posible que nadie la lea.
En el caso 1) la respuesta es que no se puede deducir que lim f(x)=0.
El contraejemplo es el siguiente:
Sea 0<a<1 y sea P el conjunto de los números que son de la forma x=n+k+(1/n) con k=-n,-n+1,....+inf y n natural (son números de la forma m+(1/n) pero los escribo así por lo que viene a continuación) .
Ahora sea
f(x)= a^x si x no pertenece a P
f(x)= a^k si x=n+k+(1/n) con k=-n,...inf si x pertenece a P
Es claro que la función no tiende a cero ya que f(n+1/n)=1 para todo n.
Por otro lado es obvio que tanto si x está en P como si no
f(x+1)/f(x)=a y por tanto su límite obviamente también.
Si le exigimos a f continuidad, creo que he probado que entonces sí se comple.
El apartado 2) no lo he pensado pero tiene pinta de que la respuesta sea muy parecido.
Estoy de acuerdo contigo gep, y en cuanto al punto 2) valdría la misma función pero tomando a>1, ¿estoy en lo cierto?
Un saludo y enhorabuena por la idea.
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