6174

La siguiente es una curiosidad que leí hace muchos años en una revista. Tomemos un número de cuatro cifras, no todas iguales entre sí. Digamos, por ejemplo, 1450. Armemos con esas cifras dos números, en uno las cifras se ordenan de mayor a menos y en el otro, de menor a mayor. En nuestro ejemplo, 5410 y 0145 (o sea 145). Luego restamos los dos números: 5410 – 154 = 5256. Al resultado obtenido le aplicamos el mismo procedimiento, y al resultado de nuevo le aplicamos el procedimiento, y así sucesivamente:

5410 – 154 = 5256
6552 – 2556 = 3996
9963 – 3699 = 6264
6642 – 2466 = 4176
7641 – 1467 = 6174
7641 – 1467 = 6174
etc.

La curiosidad es ésta: No importa cuál sea el número inicial, el proceso terminará cayendo siempre en el número 6174 y allí se estabilizará.

La pregunta general es ¿qué sucede si se trabaja con números de tres cifras, o cinco, o más cifras? ¿Qué sucede en otras bases? Es claro que, puesto que la cantidad de resultados posibles es finita, tarde o temprano el procedimiento terminará en un ciclo, es decir un conjunto de números que se va repitiendo cíclicamente, o en un punto fijo, es decir un número en el que el procedimiento se estabiliza, como el 6174 para cuatro cifras en base 10. El problema sería ¿para qué cantidades de cifras y para qué bases sucede que el procedimiento llega siempre a un punto fijo y siempre al mismo?