Números salvajes

The Wild Numbers (o Los números salvajes) es una simpática novela escrita por Philibert Schogt que narra el intento que hace Isaac Swift, un matemático de ficción, por resolver el problema de los números salvajes, un problema asimismo de ficción creado ad hoc por el autor de la novela.

El planteo del problema, según Schogt, sería el siguiente. Tenemos definidas ciertas operaciones aritméticas “decepcionantemente simples”. Si aplicamos estas operaciones a un número entero obtenemos una fracción. Apliquemos estas operaciones a esa fracción y obtendremos otra. Finalmente, al cabo de cierto número de pasos, obtendremos nuevamente un número entero. En palabras del autor: “dentro de todo número se esconde un número salvaje, que emergerá si se lo provoca suficientemente”.

Si comenzamos con 0, dice Schogt, el número salvaje que emerge es 11; comenzando con el 1 emerge el 67; comenzando con 2 obtenemos 2; el 3 nos da el número salvaje 4769 y el 4 nos da nuevamente 67. Los números 2, 11, 67 y 4769 son salvajes y, según Schogt, es difícil hallar un quinto ejemplo. El problema abierto que Isaac Swift intenta resolver en la novela es: ¿existen infinitos números salvajes?

Una pregunta interesante que muchos lectores de la novela seguramente se plantearán es: cuando Schogt escribió que el 0 da el 11, que el 1 da el 67 y así sucesivamente ¿tenía en mente algunas operaciones “decepcionantemente simples” en concreto o se limitó a escribir números al azar? En este último caso ¿es posible definir operaciones “decepcionantemente simples” que se ajusten a las especificaciones de Schogt? Después fallar en varias tentativas de hallar estas operaciones he llegado a la convicción personal de que Schogt simplemente eligió números al azar y que, si acaso existen operaciones que se ajusten a la descripción de la novela, difícilmente serán “decepcionantemente simples”.

En uno de estos fallidos intentos por encontrar las operaciones de Schogt tropecé con un problemita que paso a comentarles a continuación. Comencemos por definir una función F del siguiente modo: si n es un entero entonces F(n) es el producto de todos los números primos impares que son divisores de n, si n no es divisible por ningún primo impar (esto ocurre si n es 1 o si es potencia de 2) entonces F(n) = 1. Tenemos entonces, por ejemplo, que F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 3, F(4) = 1, F(5) = 5, F(6) = 3, F(7) = 7, etc.

Si a/b es una fracción (en la que suponemos que a y b no tienen divisores en común mayores que 1, recordemos además que si n es un entero entonces n = n/1), definimos w(a/b) = (F(a) + F(b))/máx(a, b). Como en la novela de Schogt comenzamos con un número entero y aplicamos la función w una y otra vez.

Conjetura 1: Si comenzamos con un entero positivo n y aplicamos la función w una y otra vez tarde o temprano caeremos en un ciclo (es decir, una secuencia de números enteros o fraccionarios que se repetirán cíclicamente una y otra vez, eventualmente puede ser un único número que permanece fijo).

Por ejemplo, si comenzamos con 1 obtenemos 2, luego 1, luego 2 y así sucesivamente. A partir de 1 obtenemos entonces el ciclo salvaje (1, 2). Comenzando con 2, 3, 4, 5, 6, 7 u 8 obtenemos el mismo ciclo. Para 9 obtenemos el ciclo salvaje unitario (4/9), es decir w(4/9) = 4/9. Comenzando con 25 obtenemos el ciclo (6/25, 8/25). Comenzando con 95 obtenemos (10/49, 12/49); con 99, obtenemos (56/99, 40/99, 38/99, 52/99, 46/99).

Conjetura 2: El único ciclo salvaje formado por números enteros es (1, 2).

Conjetura 3: En todo ciclo salvaje, las fracciones que lo forman
tienen el mismo denominador. (Recordemos que escribimos las fracciones de tal modo que numerador y denominador no tengan divisores en común mayores que 1. )

¿Podrá alguien demostrar o refutar estas conjeturas? ¿Podrá alguien encontrar las operaciones de Philibert Schogt?