En una entrada anterior preguntaba acerca de la regla de construcción de la siguiente serie:
no hay, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 3, 2, 3, 0, 1, 0, 3, 2, 3, 0, 1, 0, 3, 2, 9, 0, 5, 6, 3, 4, 9, 0, 1, 0, 9, 4, 3, 6, 5, 0, 9, 2, 3, 0, 1, 0, 3, 2, 15, 0, 5, 12, 3,...
Al momento de escribir estas líneas, nadie había respondido la pregunta. O al menos nadie había escrito la respuesta en forma de comentario. Como ayuda, digo que la serie se relaciona de lguna manera con la conjetura de Goldbach.
Lo que sigue puede servir (o no) de pista para quienes aún no lograron responder la cuestión original y como problema adicional para quienes sí lograron hallar la respuesta.
Una aclaración previa: se llaman primos gemelos a los pares de primos cuya diferencia es exactamente igual a 2 (por ejemplo 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, etc). Se cree que existe una cantidad infinita de tales pares, aunque esto nunca ha sido demostrado. Excepto en el caso 3 y 5, el número central entre cada par de primos gemelos es siempre un múltiplo de 3.
El nuevo problema consiste en demostrar que la serie no hay, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 3, 2, 3, 0, 1, 0, 3, 2, 3, 0, 1, 0, 3, 2, 9, 0, 5, 6, 3, 4, 9, 0, 1, 0, 9, 4, 3, 6, 5, 0, 9, 2, 3, 0, 1, 0, 3, 2, 15, 0, 5, 12, 3,... tiene las siguientes propiedades:
a) Si es cierto que existen infinitos pares de primos gemelos, entonces en la serie existen infinitas ternas de números consecutivos que son de la forma n, n–1, n. Ejemplos de ternas así son 1, 0, 1 y 3, 2, 3.
b) Excepto en la primera terna de la forma n, n–1, n (que es 1, 0, 1) en todas las demás el número central cae en un lugar que es múltiplo de 3.
c) Excepto las ternas 0, 1, 0, no existen otras ternas que sean de la forma n, n+1, n.
d) La secuencia simétrica 0, 1, 0, 3, 2, 3, 0, 1, 0, 3, 2, 3, 0, 1, 0 aparece una sola vez en toda la serie.
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