Un nuevo problema topológico. En realidad ya había publicado este problema en la lista snark, y allí fue correctamente respondido. De todos modos, no me parece inoportuno repetirlo aquí:
El problema consiste en hallar una función F(x) de variable real (es decir, una función F de R en R, considerado R con la topología usual), que sea discontinua, pero que tenga igualmente la siguiente propiedad: si A es cualquier subconjunto conexo de R entonces F(A) es conexo.
(Toda función continua cumple la propiedad, la idea es hallar una función que la cumpla a pesar de ser discontinua.)
1 comentario:
Una función que cumple esto es
F(x)=cos(1/x) si x distinto de cero y F(0)=0 (da igual este valor, mientras que esté entre -1 y 1)
Demostración:
Para ver que es discontinua basta ver que las sucesiones an=1/(2*n*pi) y bn=1/((2n+1)pi) ambas convergen a cero, pero F(an)=1 y F(bn)=-1.
Para ver la propiedad del enunciado, como un conjunto A es conexo en R si y sólo si A es un intervalo, hay que ver que la imagen de cualquier intervalo es otro intervalo:
Si el intervalo,A, no contiene al cero, F es continua en A y por tanto F(A) es otro intervalo.
Si el intervalo A contiene al cero, su imagen por F será el intervalo cerrado [-1,1] ya que si x está en este intervalo existe z entre 0 y 2*pi tal que cos(z)=x. Ahora basta tomar n suficientemente grande para que 1/(z+2*n*pi) esté en A, lo que siempre se puede hacer ya esta sucesión converge a cero. Como
F(1/(z+2*n*pi))=cos(z+2*n*pi)=
=cos(z)=x,se tiene que [-1,1] está incluido en F(A). La otra inclusión es obvia ya que cos(x) siempre está entre -1 y 1.
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