Para imitar a un pájaro imitador (Parte 1)

Introducción

(Para ver todas las entrada de este tema vayan ala etiqueta “pájaro imitador”)

Mi intención en la serie de entradas que aquí seinicia es (en la medida de mis posibilidades) explicar, poner en orden y tratarde clarificar algunos de los conceptos que Raymond Smullyan desarrolla en sulibro “Para Imitar a un Pájaro Imitador” (1989, Gedisa, México, hay edicionesmás recientes; el título original, de 1985, es “To mock a mockingbird”. La edición en inglés puede leerse on line aquí http://es.scribd.com/doc/55546137/Smullyan-To-Mock-a-Mockingbird).

En ese libro Smullyan hace una introducción a laLógica Combinatoria que va desde los conceptos básicos de la teoría hasta casiuna demostración del Teorema de Gödel.

¿Por qué es necesario clarificar y poner en ordenlos conceptos de Smullyan? Por una parte, porque en ese trayecto que va desdelos conceptos básicos de la Lógica Combinatoria hasta casi llegar al Teorema deGödel el autor toma muchos desvíos. Hay capítulos enteros que son solamentedigresiones, recopilación de curiosidades, etc., interesantes en sí mismas,pero que desvían la atención del objetivo.

Por otra parte, en lo personal, me resulta muydifícil el lenguaje que usa Smullyan en este libro. No porque sea excesivamenteformal, sino porque mezcla una y otra vez términos formales con otros demasiadofloridos y metafóricos que, hasta el punto de resultar bastante confuso (almenos tal es mi experiencia, que no sé si será compartida por otros lectores–para una opinión simétrica a la mía véase aquí: http://www.lecturalia.com/comunidad/libro-comentado/68525/68371/juegos-para-imitar-a-un-pajaro-imitador).

Para ejemplificar lo dicho más arriba, cito unpasaje típico del libro: “En cierto bosque encantado habitan pájaros parlantes.Dados dos pájaros cualesquiera A y B, si le gritamos al pájaro A el nombre deB, entonces A responderá gritándonos el nombre de otro pájaro. Designamos aeste pájaro como AB. Así, AB es el pájaro nombrado por A después de haber oídoel nombre de B”.

Una de mis intenciones del hilo es, entonces, “traducir”el lenguaje de Smullyan a una versión no tan florida, pero no que por ello dejede ser amable.

Una aclaración necesaria es que no soy unconocedor profundo de la Lógica Combinatoria, buena parte de lo que sé del temalo he ido entresacando a fuerza de intuición de lo que cuenta Smullyan. Por lotanto, tal vez, algunos de los términos que use no sean los “consagrados” en lateoría.

Nota histórica: Según cuenta Smullyan en unapéndice del libro, la Lógica Combinatoria se inició a principios de la décadade 1920 y fueron sus pioneros Shönfinkel, Curry, Fitch, Church, Kleene, Rosser,Turing y otros. Agrego yo que en el marco de esta teoría es que Alonzo Churhdesarrolló su “cálculo lambda” que fue la primera definición rigurosa de laidea de algoritmo (pocos meses después, de manera independiente, Turing presentó,con el mismo objetivo, su “máquina de Turing”).

Continuará…

El Omegón y todo eso... (Parte 19)

Derivados ad infinitum...

(A la parte previa, A la parte siguiente)

Como decíamos ayer... estamos trabajando solamente con subconjuntos de los números reales. Recordemos, en ese contexto, cuál es la definición (una de las posibles) del concepto de punto de acumulación: un número r es punto de acumulación de un conjunto A si existe una sucesión a(1), a(2), a(3),.... formada por elementos de A, todos diferentes entre sí, tal que el límite de a(n) es r. (El número r puede, o no, pertenecer al conjunto.)

Con esta definición en la mano, observemos el conjunto A = {0}. Si lo miramos fijamente unos segundos no tendremos otro remedio que concluir que A no tiene puntos de acumulación (porque, de hecho, es imposible siquiera encontrar una sucesión formada por elementos de A todos diferentes entre sí).

Recordemos a su vez que Cantor llamó "conjunto derivado de A" (es decir, A') al conjunto formado por todos los puntos de acumulación de A. Luego, {0}' = vacío.

¿Seremos capaces de encontrar un conjunto B tal que B' = {0}? Un tal conjunto B debería contener una sucesión que tienda a 0, a fin de que este número se transforme en punto de acumulación de B. Luego, aunque no es la única opción, podemos tomar como B al conjunto {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4,...}. Luego B' = {0}.

Notemos que, para lograr que el derivado sea el conjunto formado por el 0 le "agregamos" al conjunto {0} una sucesión que converge a ese número.

¿Podremos encontrar un conjunto C tal que C' = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4,...}? Es decir, que 1, 1/2, 1/3,... sean todos puntos de acumulación de C (pregunta para el lector: ¿por qué no necesito mencionar al 0 en esta lista?). Pues bien, procedemos como antes, para obtener el conjunto C tomamos el 1 y agregamos una sucesión que converja a 1, tomamos después el 1/2 y agregamos una sucesión que converja a 1/2, etc.

El conjunto C tendrá entonces la forma siguiente: C = {0, 1, números de una sucesión que converge a 1, 1/2, números de una sucesión que converge a 1/2, 1/3, números de una sucesión que converge a 1/3,...}

De este modo, C' = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4,...}, C" = {0} y C''' = vacío.

Si a su vez quisiéramos hallar un conjunto D tal que D' = C tendríamos que agregarle a C una sucesión que converja a cada término de cada una de las sucesiones que agregamos en el paso anterior.

Y así, como hemos hecho más arriba, agregando sucesiones que convergen a los términos de las sucesiones que convergen a los términos de las sucesiones... Cantor logró encontrar un conjunto P tal que al calcular la secuencia P, P', P'', P''',... los sucesivos conjuntos resultantes estaban cada uno de ellos contenido en el anterior (esto no es sorprendente, siempre P^(n+1) está contenido en P^(n)), pero además tal que ninguno de los conjunto de la secuencia era vacío y tal que, en el límite (cuando el número de derivadas tendía al infinito), se obtenía el conjunto {0}.

Con toda justicia Cantor dijo que P^(infinito) = {0}. Todavía, por unos segundos, podemos imaginar que este infinito es el infinito potencial del límite (el "ocho acostado"). Pero entonces Cantor dio el paso que lo llevó a la imnortalidad: derivó otra vez. Y resulta que: (P^(infinito))' = P^(infinito + 1) = vacío. Y en consecuencia, inevitablemente, infinito + 1 no puede ser igual a infinito (porque P^(infinito + 1) no es igual a P^(infinito)).

Por supuesto, Cantor enseguida comprendió que si infinito + 1 no es igual a infinito entonces infinito + 1 no es igual a infinito + 2, ni a infinito + 3,..., infinito + infinito, etc. Estos infinitos no podían ser "potenciales", no podían ser "los del límite" (porque para el infinito del límite sí es cierto que infinito + 1 = infinito).

Tan revolucionaria era esta idea, que aun el propio Cantor, inicialmente negó la "existencia real" de estos infinitos. Durante casi diez años les negó entidad, hablaba de una "creación dialéctica de símbolos sin significado". Pero a medida que trabajaba con estos símbolos, que descubría su aritmética y su orden terminó finalmente por aceptar que había descubierto una nueva clase de números, a los que llamó números ordinales u ordinales transfinitos.

En la parte siguiente se inicia el estudio de estos números...

(A la parte previa, A la parte siguiente)