23.10.11

La Paradoja del 21 de octubre de 2011

(Ésta es la trancripción de mi participación en el Segundo Encuentro para Celebrar el Ingenio de Martin Gardner y Jaime Poniachik.)

Mi charla de hoy se titula "La Paradoja del 21 de octubre de 2011". Obviamente, voy a hablarles de una paradoja, pero antes, si me permiten, haré una pequeña introducción.

Una de las intenciones de este encuentro es recordar a Jaime Poniachik... En lo personal, con Jaime compartíamos el gusto, el disfrute por el personaje de Sherlock Holmes, el detective de ficción creado por Arthur Conan Doyle.

En una época, Jaime tenía, colgados en su casa, cuadritos con frases extraídas de los relatos de Holmes. Frases, por supuesto, todas ellas con alguna vuelta paradójica, ingeniosa o acertijera. Una de esas frases, que recuerdo bien, decía: "¡Bravo, esto se complica!".

Y ese "¡Bravo, esto se complica!" resume una buena parte del espíritu acertijero. Es una exclamación que dice: "Bravo, esto es un desafío", "Bravo, esto me obliga a esforzarme, a buscar, a intentar nuevos métodos". Pero también, el "¡Bravo, esto se complica!" se relaciona con el pensamiento del degustador de paradojas.

La palabra "paradoja" tiene diferentes acepciones (véase en este enlace), pero en cualquiera de ellas una paradoja se relaciona siempre con la idea de ruptura (de hecho, etimológicamente, la palabra "paradoja" viene del griego para doxa, que significa "fuera de la ortodoxia"). En una paradoja, la lógica, el lenguaje o la intuición son llevados a un punto extremo, un punto en el que ya no se sabe qué es verdad o es mentira.

Una paradoja suele ponernos frente a una situación en la que aquello que creíamos que era verdadero parece ser falso, o lo que creíamos falso parece ser verdadero. Pero, lejos de sentirse incómodo ante esta circunstancia, el degustador de paradojas disfruta de la situación y exclama "¡Bravo, esto se complica!".

Por ese motivo, en esta charla no sólo voy a contarles una paradoja, sino que también les plantearé un problema. La paradoja encerrará en sí misma un problema. Y de ese problema, no voy a darles la solución, sino solamente el planteo. Porque no busco que se vayan con la relajación del problema resuelto, sino con la tensión del problema sin resolver, con la sensación del "¡Bravo, esto se complica!".

Pero todavía antes de llegar a la paradoja, necesito hacer una pequeña aclaración técnica. Muchas veces, en Lógica, se estudian los llamados enunciados condicionales, es decir, oraciones que tienen la estructura "Si ... entonces ...". Por ejemplo, "Si Napoleón era inglés entonces la capital de Brasil es Montevideo". A la primera parte de la oración, "Napoleón era inglés", se la llama el antecedente de la afirmación. A la segunda parte, "La capital de Brasil es Montevideo", se llama el consecuente.

Ahora bien, un principio de la Lógica dice que si en una afirmación condicional el antecedente es falso entonces la afirmación completa es verdadera (independientemente de lo que suceda con el consecuente). Por ejemplo, dado que es falso que "Napoleón era inglés" entonces la afirmación completa "Si Napoleón era inglés entonces la capital de Brasil era Montevideo" es verdadera.

Vayamos, ahora sí, a la paradoja. La paradoja se titula "del 21 de octubre de 2011" por un doble motivo. Por una parte, porque la estoy contanado el día de hoy, 21 de octubre de 2011 [día del Encuentro], sino también porque incluye esa fecha en su enunciado.

La paradoja se basa en la oración: "Si el 21 de octubre de 2011 es sábado entonces el 22 de octubre de 2011 es lunes".

La pregunta es: ¿la oración es verdadera o falsa?

Veamos, el 21 de octubre de 2011 es viernes, no sábado. El antecedente de la afirmación es falso, por lo tanto, el principio de la Lógica que antes mencionaba nos dice que la afirmación es verdadera.

Pero, por otra parte, la lógica del calendario nos dice que si "el 21 de octubre de 2011 es sábado" entonces, el 22 de octubre de 2011 (el día siguiente) es domingo, no lunes. Por lo tanto, la lógica del calendario nos dice que la afirmación es falsa.

He ahí la pardoja: tenemos una afirmación que es, al mismo tiempo, verdadera y falsa. Y he ahí también el problema, que consiste en determinar cuál de las dos alternativas es la correcta: ¿la afirmación es verdadera... o es falsa?

Como dije antes, no voy a dar la solución del problema. Los invito solamente a que miren atentamente la afirmación "Si el 21 de octubre de 2011 es sábado entonces el 22 de octubre de 2011 es lunes" y que exclamen conmigo "¡Bravo, esto se complica!".

Muchas gracias.

[La imagen está tomada de http://juegosdeingenio.org/]

7 comentarios:

Sergio dijo...

La afirmación es verdadera porque el antecedente es falso: el 21 de octubre de 2011 NO es sábado, simplemente.

specu dijo...

En el posteo anterior se había llegado a una situación en parte similar con:

(i) C(R) muta con el tiempo, entonces C(C(R)) también

sólo que lo que vendría a ser el antecedente es verdadero, mientras que falso lo que vendría a ser el consecuente.

Ahora bien, había llamado mi atención que nadie hubiera indicado el modo en que, en mi comentario, había supuesto que la estructura lógica de (i) fuera la del condicional, cosa que no es así, motivo por el cual escribí este post (que en cierto modo se vincula, y quizá bastante, con éste mismo).

Creo que lo primero que habría que ver que la verdad de 'p -> q' no implica la de 'q'. Y por otra parte (esto es el tema del post que cité arriba), hay que recordar que la implicación y el condicional no son lo mismo. Cuando decimos:

(a) "Si el 21 de octubre de 2011 es sábado entonces el 22 de octubre de 2011 es lunes",

no estamos diciendo lo mismo que:

(b) si "el 21 de octubre de 2011 es sábado" entonces, el 22 de octubre de 2011 es lunes.

El lector notará facilmente la diferencia prestando atención a las comillas. En efecto, en (a) está siendo usado el enunciado "el 21 de octubre de 2011 es sábado", mientras que en (b) mencionado. (b) enuncia una proposición sobre "el 21 de octubre de 2011 es sábado" en cuanto a su valor semántico, cosa que en (a) no ocurre. No sé si esto resuelve o no el problema, pero me voy a votar.

Saludos

PG dijo...

Se trata de las denominadas paradojas de la implicación material. Mientras el antecedente de una implicación sea falso, el valor de la proposición lógica siempre será verdadero. El conflicto es con el lenguaje natural, pero la lógica es la lógica. En todo caso, la pregunta a hacerse es: por qué la lógica dice que el único caso en que un condicional es falso es cuando su antecedente es verdadero y su consecuente falso.
Specu: ¿la implicación y el condicional no son lo mismo?

specu dijo...

PG
el punto que marcás es clave aquí, i.e. ¿por qué la lógica dice que el único caso en que un condicional es falso es cuando su antecedente es verdadero y su consecuente falso? Una 'paradoja' como esta sería muy dificil de exponer sin precederla de la explicación de este punto, sin la cual no parecería haber paradoja alguna.

En cuanto a lo segundo. Si consideramos que el condicional es un enunciado que se limita a aseverar p->q, o sea si es un condicional material, no es lo mismo que la implicación.

En la implicación se considera que hay una conexión lógica entre dos enunciados, que uno se sigue del otro, y por ende existe una afirmación de segundo nivel. Dicho de otro modo, como Quine: la implicación es la validez del condicional. Decir que un enunciado es válido no es lo mismo que afirmar ese enunciado, pues se está haciendo una estimación de su valor lógico, cosa que el enunciado en sí no hace.

Por otra parte, es la confusión entre estos dos niveles (el primer nivel de los enunciados y el segundo de la estimación lógica de ellos) es a lo que muchos autores atribuyen lo que se llama impropiamente "paradojas de la implicción".

Saludos

specu dijo...

Para ser más claros recurramos a una antigua antinomia. Llamemos 'p' a la oración:

la única oración en itálicas de este comenario no es verdadera

Entonces, decimos:

(i) 'p' es verdadera si, y sólo si, la única oración en itálicas de este comentario no es verdadera.

Ahora, teniendo en cuenta el significado que otorgamos a 'p', es un hecho (empírico) que:

'p' es idéntica a la única oración en itálicas de este comenario

de lo cual se sigue que puede reemplazarse la expresión "la única oración en itálicas de este comentario" de (i). Obtenemos:

'p' es verdadera si, y sólo si, 'p' no es verdadera.

Lo que este ejemplo nos muestra es que lo dicho en otros comentarios de este posteo respecto de la relación entre la implicación material y el condicional resulta análogo algo que también que puede decirse respecto de la relación entre la equivalencia material entre dos enunciados y "... si y sólo si ...". Lo cual es también evidente si nos detenemos en que la equivalencia material se define de esta forma: "(p->q).(q->p)".

Por otra parte, también es cierto que no toda oración que tenga las palabras "si" y "entonces" en nuestro lenguaje natural tiene que ser identificado con lo que en lógica se llama condicional o implicación materiales. No existe tampoco un método para la traducción entre un lenguaje que exprese la forma lógica y el que estamos acostumbrados a hablar.

Saludos

quique ruiz dijo...

Me sacaron un "¡Bravo, esto se complica!".

Tlonuqbar Orbis Tertius dijo...

Partamos de la base que los dos enunciados son falsos. Y aceptemos que el enunciado compuesto por estos con forma de condicional es por definición verdadero. Para nosotros es claro que aquí la palabra verdadero se emplea de manera distinta en ambos casos. Por separadas verdad significa algo fácilmente comprensible por todos, se asevera un hecho ordinario, creemos, sin mayor discusión en la verdad o falsedad de estos casi intuitivamente. En el segundo caso la verdad en juego es de otra calaña. Se refiere a la legalidad de la manera de juntar proposiciones y extraer válidamente, según las reglas de inferencia, otras. Es claro que mientras pretendamos creer que el concepto de verdad se emplea de la misma manera en ambas situaciones, surgen este tipo de aparentes paradojas. Tal vez me puse muy grave, pero, en mi opinión el quid del asunto es ese.