Mala lógica futbolística

(Del diario Clarín de Buenos Aires, miércoles 21 de julio de 2010.)

Si Boca gana todos los partidos, más que candidato será campeón...

Los Números Surreales (Cap. 1)

Los Números Surreales fueron creados (¿o descubiertos?) por John H. Conway a principios de la década de 1970. Mi intención es iniciar con esta entrada una exposición de la definición de estos números, así como de sus operaciones y propiedades. Finalmente, quiero tomarlos como base para algunas reflexiones relativas a otras áreas de la Matemática, como por ejemplo el Análisis Matemático.

En palabras de Donald Knuth, que describió el sistema de Conway en un libro titulado, precisamente, Números Surreales (Editorial Reverté, España, 1979), estos números se construyen siguiendo dos reglas:

Regla 1: cada número surreal corresponde a dos conjuntos de números preexistentes tales que ningún elemento del conjunto izquierdo es mayor o igual que algún elemento del conjunto derecho.

Regla 2: un número es menor o igual que otro si y sólo si ningún elemento del conjunto izquierdo del primer número es mayor o igual que el segundo número y ningún elemento del conjunto derecho del segundo número es menor o igual que el primer número.

Es decir, los números surreales se van construyendo en pasos sucesivos. Un número surreal se define como un par de conjuntos, cada uno de ellos formado por números surreales construidos en pasos previos. Es decir, si x es un número surreal entonces x = (A,B), donde A y B son conjuntos de números creados previamente, con la condición de que ningún elemento de A sea mayor o igual que algún elemento de B.

La segunda regla nos dice cómo comparar números surreales. Si x = (A,B) e y = (C,D) entonces x es menor o igual que y si y sólo si se cumple:

Ningún elemento de A es mayor o igual que y.

Ningún elemento de D es menor o igual que x.

Desde luego, no hay ningún círculo vicioso en esta regla, ya que la comparación entre x e y se define a partir de la comparación de estos dos números con con otros que fueron creados previamente. Se trata entonces de una definición por inducción en el número de paso en que cada número fue creado.

(Continuará...)

La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 7 y último)

(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)

La duplicación de la esfera

Todas las piezas de la demostración del Teorema de Banach-Tarski ya han sido mostradas. Sólo falta ensamblarlas convenientemente para comprender la idea (sólo hablaré de la idea, no de los detalles técnicos).

Como decíamos ayer, es posible cortar un cuadrado en partes que, reorganizadas convenientemente, nos permitan armar dos cuadrados iguales al original. La partición que hemos hecho requiere una cantidad infinita de partes (cada parte es, en realidad, un solo punto).

Como también dijimos, el que un conjunto de puntos constituya una parte no depende tanto de los puntos en sí como de los movimientos que les apliquemos al rearmar la nueva figura. Una parte es un conjunto de puntos a los cuales les aplicamos simultáneamente los mismos movimientos. Así pensada, como también vimos, una parte puede ser disconexa. De hecho, una parte puede consistir simplemente en una "nube de puntos".

Si en la duplicación del cuadrado hubiera, pongamos por caso, 100.000 puntos a los cuales se les aplicaran simultáneamente los mismos movimientos, esos 100.000 puntos formarían una parte. Inclusive, tal vez, aplicando el suficiente ingenio, podríamos lograr reunir a los puntos en una cantidad finita de partes, cada una de ellas con la forma de una nube de puntos.

En el caso del cuadrado este último objetivo (el de reunir los puntos en una cantidad finita de partes) es irrealizable, pero sí es alcanzable en el caso de la esfera.

Así como hay tantos puntos en un cuadrado como en dos cuadrados iguales a él, de la misma forma hay tantos puntos en una esfera como en dos esferas iguales a ella. Esto ya lo sabía Cantor en 1880 y Cantor podría haber duplicado la esfera de la misma forma que antes nosotros duplicamos el cuadrado o el cubo (tomado cada parte como un punto). El ingenio de Banach y Tarski en su demostración de 1920 es haber logrado reunir a los puntos de la esfera en una cantidad finita de grupos (a cada uno de los cuales se les aplica "en bloque" exzactamente los mismos movimientos). Estas partes, entonces. no deben pensarse como los bloques de un puzzle, sino más bien como nubes formadas por puntos que se mueven al unísono.

¿Por qué no puede realizarse la partición con una esfera verdadera (digamos, una esfera de oro)? La respuesta ya fue comentada y puede resumirse así: una esfera de oro no es una esfera matemática. En la partición de una esfera matemática (que a la que se refiere el teorema del que estamos hablando) interviene cada uno de los puntos de su interior (que son infinitos y no numerables). Una esfera de oro, en cambio, está formada por una cantidad finita de átomos y su interior es principalmente espacio vacío.

Para finalizar, les dejo un problema que (hasta donde conozco) fue planteado por primera vez por Iván Skvarca hace ya algunos años. El problema dice así: ¿es posible cortar un triángulo equilátero en cinco partes iguales? Donde, que dos partes sean "iguales" quiere decir que es posible mover una de ellas hasta superponerla exactamente con la otra. Como vimos en el capítulo 1, un problema de este tipo puede pensarse física o matemáticamente. Les dejo, para pensar, ambos aspectos del problema.

Gracias por la amable atención. Un saludo para todos...