10.2.10

La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 3)

(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)

Abracadabra

En este capítulo veremos cómo sacar un conejo de una galera. O, mejor dicho, cómo sacar un segmento de un cuadrado. El problema que vamos a considerar es el siguiente:

Dividir un cuadrado de tal manera que con las partes resultantes se pueda ensamblar un cuadrado igual al original y además, aparte, un segmento.

Decíamos en el capítulo anterior que los problemas de "cortar y pegar" pueden analizarse desde dos puntos de vista: un punto de vista concreto o un punto de vista abstracto. El problema que estamos aquí considerando sólo puede entenderse en forma abstracta ya que (como también vimos antes) no existe objeto físico alguno que tenga las propiedades de un segmento matemático.

Procedamos a resolver el problema. La figura siguiente ilustra la idea de su solución:

En el cuadrado que aparece en la figura hemos destacado, en color rojo, varios segmentos.

1. El primer segmento conecta los puntos medios de dos lados opuestos del cuadrado.

2. El siguiente segmento rojo (a la derecha del primero) conecta dos puntos que marcan la cuarta parte de la longitud de esos mismos lados del cuadrado.

3. El siguiente segmento conecta puntos que marcan la octava parte de la longitud de esos mismos lados.

...Y así sucesivamente.

Obtenemos de esta forma una cantidad infinita de segmentos, cada uno de ellos más cercano que el anterior al lado del cuadrado que está a la derecha (aunque ninguno de los segmentos llega a coincidir con ese lado). Es interesante notar que el dibujo es, en realidad, una representación sumamente imperfecta de un proceso matemático abstracto irreproducible en la realidad física.

Definamos a continuación cuáles son las "partes" en que el cuadrado quedará dividido. Cada uno de los segmentos "rojos" es en sí mismo una de esas partes. Una última parte está formada, simplemente, por todos aquellos puntos del cuadrado que no pertenecen a alguno de los segmentos "rojos".

Tenemos entonces una cantidad infinita de partes. Podría objetarse que la última parte que definimos es disconexa, ya que claramente está formada por sectores separadas unos de otros. Pues bien, en la interpretación abstracta una "parte" es simplemente un conjunto de puntos de la figura original y se admite como posible que sea disconexa. (En la interpretación concreta, en cambio, se sobreentiende que todas las partes son conexas.)

"Ensamblar" las partes consiste en aplicarles rotaciones, traslaciones y simetrías. En este caso procedemos así:

1. Trasladamos el primer segmento rojo hacia la izquierda una distancia suficiente como para que quede fuera del cuadrado (por ejemplo, lo podemos trasladar una distancia igual a la longitud del lado del cuadrado).

2. Al mismo tiempo trasladamos el segundo segmento rojo de modo que ocupe la posición del primero. Y al tercero, de modo que ocupe la posición del segundo. Y al cuarto, de modo que ocupe la posición del tercero. Y así sucesivamente. (Nótese que, dado que no hay un "último segmento", todos los "huecos" del cuadrado se rellenan. Nótese también la similitud con la llamada Paradoja del Hotel de Hilbert.)

3. A los demás puntos no se les aplica movimiento alguno.

El resultado de estos movimientos es, como pedía el problema, un cuadrado igual al original y, aparte, un segmento.


Más allá de resolverlo ¿qué podemos aprender de este problema? Por un lado, tenemos aquí una situación en la que "aparece algo de la nada": teníamos un cuadrado, cortamos y pegamos, y pasamos a tener un cuadrado igual al original y además un segmento. Vemos aquí un primer atisbo del fenómeno Banach-Tarski, en el que tenemos una esfera y, tras cortar y pegar, aparece de la nada una segunda esfera.

Otro punto interesante, quizás aún más importante que el anterior, es éste: dijimos que al dividir una figura en partes, éstas no necesariamente tienen que ser conexas. ¿Podríamos haber considerado a todos los segmentos rojos, en conjunto, como una sola "parte"? La respuesta es que no, pero ¿por qué? ¿Qué es lo que hace que un conjunto de puntos pueda ser considerado, o no, una "parte" de la figura?

La respuesta está en los movimientos. Una "parte" está formada por puntos a los que se les aplican simultáneamente los mismos movimientos (rotaciones, traslaciones, simetrías).

Observemos que, en el problema, todos los puntos que no están en los segmentos rojos se quedan quietos en su lugar (si se quiere, se les aplica la traslación nula) y por eso pueden formar todos ellos una única parte del cuadrado.

Si todos los segmentos rojos se hubieran movido una misma distancia hacia la izquierda, entonces habrían podido formar todos ellos juntos una misma "parte" del cuadrado (y el cuadrado habría quedado así dividido en solamente dos partes). Pero el primer segmento se mueve una cierta distancia hacia la izquierda, el segundo se mueve una distancia menor, el tercero se mueve una distancia aún menor, y así sucesivamente. De modo que cada segmento debe ser considerado como una parte diferente.

En el próximo capítulo analizaremos una variante de este mismo problema, que nos mostrará otros aspectos de los problemas abstractos de "cortar y pegar".

(Continuará...)

10 comentarios:

PG dijo...

Creo que faltó aclarar que el segmento matemático debe entenderse como un segmento infinitamente delgado.

Gustavo Piñeiro dijo...

Entiendo que la intención del comentario era decir que habría sido conveniente destacar el hecho de que el segmento matemático tiene, por definición, anchura cero. (Su anchura y su espesor valen, por definición, exactamente cero.)

Por otra parte, yo no usaría la expresión "infinitamente delgado", que puede llevar a confusión. Diría más bien, como hice más arriba, que un segmento es "de anchura cero".

Un saludo,

G.P.

PG dijo...

En lo que a mi refiere, debo decir que suele llevarme a confusión tanto el infinito como el cero. Es decir, ¿qué es un segmento de anchura cero? Honestamente, no me aclara mucho mas la cuestión que el hablar de un segmento infinitamente delgado.
La entrada me resulta interesante, pero en algún punto hay algo que no termina de convencerme. No estoy seguro de poder expresarlo correctamente. Pero básicamente pienso: comenzamos con una representación (un cuadrado, un triángulo, una esfera...), luego se nos dice que nos abstraigamos de esa representación o que la pensemos como una infinidad de puntos (asi las cosas realmente son infinitas las especulaciones que sobre ella se pueden hacer), y en la conclusión se nos devuelve a la representación añadiéndole un contenido abstracto cual si fuera parte de la misma.
En definitiva, cuando hablamos de puntos o de segmentos de anchura cero, ¿de qué hablamos?

Anónimo dijo...

Hablamos de geometría. De objetos que simplemente no podemos definir. Euclides intento definirlos: fracasó. Tal vez aquí radica la dificultad que experimentan muchos para aprender matemáticas. Sin embargo es realmente hermoso ver como estos objetos "indefinibles" pueden tanto dar un modelo muy muy cercano a la realidad, y a la vez construirse con ellos abstracciones del más alto nivel.

Javier dijo...

Punto de anchura 0


PG pregunta por el significado de un punto o un segmento de anchura 0. Espero poder responderle lo referente al punto.

Estamos sobre una carretera recta con mojones indicadores de kilómetros. ¿Qué distancia recorriste al ir del mojón km 15 al mojón km 20?

20 km - 15 km = 5 km

Podemos considerar el mojón km 15 como un punto sobre la carretera (recta) y el mojón km 20 como otro punto. El trayecto por la carretera desde el mojón km 15 hasta el mojón km 20 como un segmento de recta [15,20]. A dicho segmento le asignamos una anchura de 5, obtenido al restar punto final menos punto inicial.

Ahora reformulo la pregunta, ¿Y si no te moviste del mojón km 15, cuanto recorriste? (digamos que a tu auto no hubo cristo que lo hiciera arrancar !)

No hace falta ninguna cuenta para responder que 0. Pero para dejar mas claro el método, resulta de:

15 km - 15 km = 0 km

Acá el punto 15 es el equivalente al segmento [15,15], con anchura 0.

Ése es el significado de que el punto tiene anchura 0.


Hice algunas simplificaciones y pasé por alto algunos (o muchos!) detalles, esperando que sea entendible.

Saludos

Javier dijo...

En el artículo se afirma:

"El resultado de estos movimientos es, como pedía el problema, un cuadrado igual al original y, aparte, un segmento."

Concuerdo que el cuadrado resultante es igual en cuanto a su medida o área, pero no es exactamente el mismo conjunto, pues justamente se le extrajeron, restaron, los segmentos coloreados en rojo. El truco está en que lo que se le quita no tiene área.

Gustavo Piñeiro dijo...

Sí es el mismo cuadrado que el original, no sólo en cuanto al área sino en cuanto a que es exactamente el mismo conjunto de puntos.

Por ejemplo: tomemos el conjunto de puntos: (1, 0), (2, 0), (3,0),... Traslademos todos los puntos una unidad hacia la izquierda. Obtenemos el conjunto (0,0), (1,0), (2,0),... que es el mismo conjunto de antes con un punto adicional.

El "truco" con el cuadrado es similar, sólo que con segmentos en lugar de puntos. Se obtiene el mismo cuadrado (el mismo conjunto de coordenadas del plano, si se quiere) y un segmento adicional.

Javier dijo...

"Al mismo tiempo trasladamos el segundo segmento rojo de modo que ocupe la posición del primero. Y al tercero, de modo que ocupe la posición del segundo. Y al cuarto, de modo que ocupe la posición del tercero. Y así sucesivamente".

Gracias, con tu aclaración entendí mi error. Había interpretado que trasladabas todos los segmentos del cuadrado a la posición del primero fuera del cuadrado.

Dejo este comentario por si algún otro lector cometió el mismo error. Gracias de vuelta por tu pronta respuesta. Seguiré leyendo atentamente los siguientes capítulos.

abraham dijo...

me gusto mucho tu comentario de la paradoja y me gustaria me mandes a mi correo es(infi_mat@hotmail.com)pasa la voz a todos los interesados en las ciencias exactas

abraham dijo...

muy interesante el comentario sobre las paradojas y me podrias mandar algunas imformaciones a mi correo por fa es (infi_mat@hotmail.com)sobre las ciencias exactas