27.1.10

Paradojas del infinito (I)

Decimos que una propiedad define a un número si esa propiedad es satisfecha solamente por ese número y por ningún otro objeto matemático (observemos, dicho sea de paso, que acabo de definir el concepto de definición).

Para evitar ambigüedades, admitiremos solamente definiciones que usen las letras del alfabeto castellano, más los dígitos del 0 al 9 y los símbolos de puntuación usuales. Debe entenderse, por otra parte, que estamos hablando de números reales y no sólo de enteros o racionales.

Algunos ejemplos:

"Es el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro" define al númeroi Pi
"Es el número ocho quintos" define al número 8/5.
"Es el resultado de sumar 2 más 3" define al número 5.

Diremos que un número es definible si existe alguna propiedad que lo define. Los ejemplos que acabamos de ver nos dicen que Pi y 8/5 son números definibles. En realidad todos los números racionales son definibles, aunque también son definibles algunos irracionales, como el ya mencionado Pi. También son definibles, por ejemplo, el número e, la raíz cuadrada de dos y el número de oro.

Incluyamos en este concepto a todas las definiciones concebibles, pasadas, presentes o futuras. Es decir, definible será cualquier número que alguna vez haya sido definido (mediante una definición traducible al alfabeto castellano) o que pudiera llegar a ser definido en algún momento del futuro (no importa si esa definición alguna vez es escrita realmente, basta con que sea expresable en potencia).

Llamaremos inefables a los números no definibles. Es decir, son inefables aquellos números que nunca han sido definidos y que nunca, ni siquiera en teoría, podrían llegar a ser definidos en cualquier época o lugar. La pregunta es ¿existen números inefables? La respuesta es que sí existen, veamos por qué.

Hace ya más de cien años Georg Cantor demostró que el conjunto de los números reales es no numerable. Es decir, es imposible establecer una correspondencia uno-a-uno entre ese conjunto y el conjunto de los números naturales (que es el formado por los números 0, 1, 2, 3,...). Al conjunto de los números reales corresponde un orden de infinitud superior al del conjunto de los números naturales.

Ahora bien, puede probarse sin dificultad que el conjunto de todas las definiciones posibles es numerable. El orden de infinitud de este conjunto es el mismo que el del conjunto de los números naturales.

Por lo tanto, en un sentido bien definido, hay más números reales que definiciones posibles y en consecuencia es imposible que a todo número real le corresponda una definición (pasada, presente o futura). Hemos probado así que existen números inefables (de hecho, que existen infinitos números inefables).

¿Por ejemplo...? No hay ejemplos. Por su propia naturaleza, es imposible señalar un número inefable en concreto. Todo número que seamos capaces de mencionar es, inevitablemente, definible. Hemos probado así la existencia de un conjunto infinito de números de los cuales somos (y seremos por siempre) incapaces de señalar ni siquiera un ejemplo.

Pero sí podemos probar propiedades de estos números inefables. Por ejemplo la siguiente:

Propiedad: la suma de un número inefable más un número definible es un número inefable.

Demostración: Sea x un número inefable cualquiera y sea q un número definible cualquiera. Tenemos que probar que z = x + q es inefable.

Supongamos, por el absurdo, que z fuera definible. Entonces, dado que x = z - q, entonces x sería definible porque se lo podría definir como "Es el resultado de restar el número que cumple que (cópiese aquí la definición de z) menos el número que cumple que (cópiese aquí la definición de q)". Esto contradice la suposición de que x es inefable. Por lo tanto z también es inefable. Q.E.D.

Ahora bien, ¿qué queremos decir en una demostración cuando decimos "sea x un número inefable cualquiera"? ¿Qué quiere decir "cualquiera"?

Suele entenderse que el uso de la palabra "cualquiera" indica que lo que se está haciendo es un "razonamiento genérico", un razonamiento que puede repetirse en cada caso particular. Como si dijéramos "reemplace x por cualquier número inefable y verá que todo lo que se dice después es cierto".

Pero... ¿Cómo puede aceptarse en este caso una tal interpretación si es imposible (y será por siempre imposible) tomar ni siquiera un ejemplo particular? ¿Es válida la demostración de la propiedad? ¿Tiene sentido el concepto de número inefable, a pesar de que la Teoría de Conjuntos nos permite demostrar que existen infinitos de tales números? Preguntas que quedan planteadas para quien quiera reflexionar sobre ellas.

Nota: Como se acota en el primer comentario, en efecto las definiciones deben ser de longitud finita. En principio no me pareció necesario aclararlo, ya que se sobreentiende que las definiciones son textos escritos (y leídos) por humanos y todos los textos escritos (y leídos) por humanos tienen, inevitablemente, una longitud finita.

Nótese que "Es el número 0,333...", que tiene una longitud finita (ya que abarca exactamente 18 símbolos, sin contar el acento y los espacios) no es una definición, a menos que se aclare qué significan los puntos suspensivos.

23 comentarios:

Uno que pasaba por ahí dijo...

Preguntiña: ¿No habría que especificar que las definiciones deberían ser de longitud finita?

Excelente post.

Anónimo dijo...

Todo número inefable elevado a cero hace inefable la demostración de que sea igual a uno. Pero lo es.

Markelo dijo...

La suma de todos los números inefables ¿es inefable?

Borja dijo...

Respondiendo a Markelo, se trata de una suma infinita, realmente una integral, por tratarse de una cantidad no numerable de sumandos. En primer lugar habría que ver si esa integral converge, es decir, si tiene un valor finito. Pero si admitimos como cierta, que yo sí que la admito, la demostración de Gustavo de que un número inefable más uno definible es inefable, es evidente que podemos encontrar tantos números inefables y tan grandes como queramos. Por lo tanto, el valor de esa integral, es decir, de la suma de todos los números inefables es infinito, que ni siquiera es un número real, y recordemos que la definición de inefable era sólo para números reales.

David dijo...

Hola. Este tema yo lo había visto en términos de computabilidad, o sea, números computables o no computables. Con este enfoque sí se pueden dar ejemplos de números no computables (por ejemplo la constante de Chaitin), pero entonces no serían inefables, verdad?

Gustavo Piñeiro dijo...

Numeremos todas las máquinas de Turing: T1, T2, T3,... Tal como se explica en una entrada de este mismo blog, dicha numeración puede hacerse de modo recurso (es decir, algorítmicamente).

Definimos el número x (escrito en base 10) del siguiente modo. El número comienza con 0,... El n-ésimo dígito detrás de la coma es 1 si la máquina Tn se detiene en una cantidad finita de pasos cuando se le ingresa como entrada el número n. En caso contrario, el dígito es 0.

El número x no es computable, pero sí es definible. Del mismo modo, el número omega de Chaitin no es computable, pero sí es definible.

Borja dijo...

En relación a la entrada inicial en la que se demuestra la existencia de los números inefables, quiero hacer un comentario.

Una posible definición de los números reales es a través de sucesiones de Cauchy de números racionales. Así, cada número real debe ser el límite de al menos una sucesión de Cauchy de números racionales. Por lo tanto, desde ese punto de vista, todo número real está perfectamente definido una vez que conozcamos el término general de esa sucesión de números reales, que forzosamente ha de poder conocerse. De lo contrario, si admitimos la existencia de un número real para el que no hay forma de conocer la sucesión de Cauchy de la cual él es el límite, estaríamos ante una construcción de los números reales que caería exactamente en el mismo problema que nos planteamos. Es decir, estaríamos definiendo números , que a la hora de la verdad, son entelequias inaccesibles.

PD: Gustavo, ¿qué opinas de mi comentario de la entrada cero elevado a cero?

PG dijo...

Todo esto no se me hace mas que un juego de palabras. Desde el momento en que se pretende tener conocimiento de lo inefable se está uno engañando. Lo que no podemos pronunciar no es definible y no tendrá existencia para nosotros al menos hasta el preciso momento en que lo pronunciemos.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Borja,

Hay una cantidad no numerable de sucesiones de Cauchy, pero sólo una cantidad numerable de sucesiones de Cauchy definibles (ya sea mediante su término general, o mediante un algoritmo que calcule sus términos, o definible de cualquier otro modo). Existen, por lo tanto, sucesiones de Cauchy inefables (indefinibles mediante cualquier escritura de longitud finita).

Acerca del comentario en 0^0 = 1, me parece que ya está respondido en alguna de las varias adendas que escribí sobre el tema.

Muchas gracias. Un saludo,

IZ dijo...

Creo que hay un error en la argumentación, y es el siguiente: a pesar de las apariencias, los números definibles no están bien definidos.

En lugar de “números (cardinales) definibles” vamos a utilizar los “números ordinales definibles”. El Principio de Buena Ordenación dice que en todo conjunto es posible definir un buen orden. Y dado que la familia de los ordinales es bien ordenada, en todo conjunto de ordinales existe el menor de los ordinales.

Si los números ordinales definibles están bien definidos, entonces es posible definir el conjunto de todos los ordinales definibles. Y a partir de éste, su complementario: el conjunto de todos los ordinales indefinibles (inefables). Ahora, consideremos el menor de todos los ordinales indefinibles (inefables). Acabamos de definir un ordinal que en teoría es indefinible, ya que pertenece al conjunto de los ordinales indefinibles, lo cual es absurdo.

En mi opinión, a pesar de lo intuitivo que parece, el concepto de “número definible” (sea cardinal u ordinal) no está bien definido.

ILARI dijo...

Hola, Gustavo,

Deseo plantearte dos temas estrechamente relacionados entre sí y con el teorema de Gödel.

1. La demostración de Gödel se basa en la teoría de conjuntos transfinitos de George Cantor. De hecho, si no me equivoco, la función diagonal d(n) que utilizáis en la demostración no es otra cosa que el corte diagonal de Cantor.

En el artículo "Adenda a Shelock Holmes y Alef-uno" del blog, dices que Gödel “escribió que la Teoría de Conjuntos (en partircular, la Teoría de los Transfinitos) describe una realidad objetiva (independiente de la mente humana), acerca de la cual cada afirmación es, o bien verdadera, o bien falsa”.

Y, a continuación dices: “Pero (si se me permite el atrevimiento) creo que Gödel se equivocaba en ese punto. Mi tesis (que algún día tal vez escribiré realmente en forma de tesis) es que Alef-uno existe tanto como existe Sherlock Holmes (o Harry Potter). Ambos tienen el mismo nivel de existencia, y por las mismas razones. Cantor creó Alef-uno de la misma manera que Conan Doyle creó a Sherlock Holmes, y así como hay axiomas de la Teoría de Conjuntos, también hay, como ya vimos, "axiomas" de Holmes. Y así como Harry Potter no vive en una realidad objetiva, de la misma manera la Teoría de los Transfinitos tampoco describe una realidad objetiva.”

No puedo estar más de acuerdo (por cierto, me encantaría poder leer esa tesis). Creo que la teoría de conjuntos transfinitos de Cantor es una maravilloso castillo en el aire. Pero si esto es así y algún día llegase a demostrarse que la teoría de conjuntos transfinitos de Cantor no es correcta, podría invalidar completamente la demostración de Gödel (¿estoy en lo cierto?).

2. Por otra parte, más adelante, en el mismo artículo, planteas la posibilidad de que la Conjetura de Goldbach sea indecidible con respecto a los Axiomas de Peano. Si no entiendo mal, esto es imposible, ya que si algún día llegara a probarse que la Conjetura de Goldbach es indecidible, esto sería una prueba definitiva de que es verdadera. En efecto, supongamos que la Conjetura de Goldbach es indecidible. En ese caso, no puede existir ningún contraejemplo de la conjetura que pruebe su falsedad. Pero si no existe ningún contraejemplo, esto significa que la conjetura es verdadera. Ese argumento podría aplicarse a cualquier problema computable, por lo que sólo los problemas no computables pueden ser indecidibles.

Un cordial saludo.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado IZ,

Respondo las preguntas:

1. La función d(n) de Gödel no es en realidad la función de Cantor, solamente está inspirada en ella. En realidad, la demostración de Gödel no depende en ningún aspecto de la Teoría de Conjuntos.

Tu pregunta se relaciona con una cuestión muy importante y es ésta: Gödel publicó su teorema en un momento histórico en que muchos matemáticos cuestionaban fuertemenete la validez de los razonamientos basados en el "infinito actual" de la Teoría de Conjuntos.

Por eso, para que su teorema pudiera ser aceptado sin reservas, Gödel omitió cuidadosamente todo razonamiento que apelara a conceptos "transfinitos". Más aún, su demostración es constructiva. No solamente prueba la existencia de indecidibles, sino que muestra una manera efectiva de escribirlos en una cantidad finita de pasos.

2. Supongamos que se probara que la Conjetura de Goldbach (CG) es indecidible con respecto a los Axiomas de Peano. Esto significaría, en particular, que no se la podría demostrar a partir de esos axiomas.

Ahora bien, es verdad que eso probaría que la CG es verdadera (pues si fuera falsa, su falsedad sí sería demostrable a partir de los Axiomas de Peano).

¿Hay una contradicción aquí? ¿Si se prueba que CG indemostrable entonces estamos demostrando CG? En realidad, no. No hay contradicción, veamos:

Si probáramos que CG es indecidible a partir de los Axiomas de Peano (nótese que CG no sería indecidible en sentido absoluto, sino a partir de los Axiomas de Peano), entonces probaríamos que CG es verdadera. Pero esta demostración de verdad no estaría basada en los Axiomas de Peano, sino en algún otro sistema, de allí que no habría contradicción.

Pero, podríamos objetar, ¿y si la demostración de que CG es indecidible de los Axiomas de Peano estuviera basada en esos mismos axiomas? ¿No retomaríamos la contradicción? en realidad esta situación es imposible, ya que probar la existencia de indecidibles en un sistema de axiomas implica probar su consistencia y el Teorema de Consistencia prueba que un sistema de axiomas no puede probar su propia consistencia. Por lo tanto si se probara que CG es indecidible a partir de los Axiomas de Peano, esa prueba no puede basarse en esos mismos axiomas.

Un saludo muy cordial,

Gustavo

IZ dijo...

Hola, Gustavo,

Hay en tu argumentación un par de puntos que no acabo de ver claros (disculpa mi torpeza).

1. En tu respuesta dices que si se probara que la Conjetura de Goldbach (CG) es indecidible, eso probaría que la CG es verdadera (pues si fuera falsa, su falsedad sí sería demostrable a partir de los Axiomas de Peano). Esto está claro.

Pero a continuación dices que NO hay contradicción, ya que la segunda demostración (la que prueba que CG es verdadera) no estaría basada en los Axiomas de Peano, sino en algún otro sistema.

Esto no lo veo nada claro, ya que en el argumento anterior no hemos añadido ningún nuevo axioma. Lo único que hemos hecho es aplicar la lógica (los mismos axiomas lógicos que supuestamente hemos utilizado para demostrar que CG es indecidible) y los axiomas de Peano. Es decir, a partir de los mismos axiomas (sin añadir ninguno nuevo), el hecho de que CG se demostrase indecidible implicaría que es verdadera. Si, como tú argumentas, esa segunda demostración se hiciese a partir de otros axiomas, no habría ninguna contradicción entre ambos resultados. Esto es evidente. El problema es que no hemos añadido ningún nuevo axioma. Por lo tanto, no es posible obtener ambos resultados a partir de los mismos axiomas. Y esto prueba (si no me equivoco) la imposibilidad de que algún día llegue a demostrarse que CG es indecidible.


2. Por otra parte, al final de tu respuesta dices:

“Pero, podríamos objetar, ¿y si la demostración de que CG es indecidible de los Axiomas de Peano estuviera basada en esos mismos axiomas? [No logro entender el sentido de esta frase] ¿No retomaríamos la contradicción? en realidad esta situación es imposible, ya que probar la existencia de indecidibles en un sistema de axiomas implica probar su consistencia y el Teorema de Consistencia prueba que un sistema de axiomas no puede probar su propia consistencia. Por lo tanto si se probara que CG es indecidible a partir de los Axiomas de Peano, esa prueba [¿A qué prueba te refieres?] no puede basarse en esos mismos axiomas.”

Ya puedes disculpar, pero no logro entender este párrafo.


3. Por último, en la respuesta de Borja a Markelo dice: “Respondiendo a Markelo, se trata de una suma infinita, realmente una integral, por tratarse de una cantidad no numerable de sumandos .”

¿Realmente es posible sumar una cantidad no-numerable de sumandos? (Por ejemplo, Alef-3)


Un cordial saludo,

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

Una respuesta completa a los puntos 1) y 2) sería muy extensa. Más adelante trataré de escribir una entrada (o una serie de entradas) al respecto. Pero, para no dejarte sin contestación, resumiré una o dos ideas sobre el tema:

Cuando hablamos de "los axiomas de Peano", hablamos de los axiomas de Peano de primer orden más los axiomas de la lógica de primer orden más reglas de inferencia finitistas. Una demostración de la indecidibilidad de CG con respecto a los Axiomas de Peano no puede basarse (según se deduce del Segundo Teorema de Gödel) en esos mismos elementos, sino que debería incluir, por ejemplo, axiomas lógicos de orden superior.

Por ejemplo, por fantasear, podríamos vernos necesitados de apelar a la completitud de los números reales, que no es una propiedad expresable en un lenguaje de primer orden.

Otro ejemplo, y éste no es fantasía, hacia 1936 Gentzen demostró la consistencia de los Axiomas de Peano, pero basándose en la Teoría de Conjuntos (más exactamente, en cierto tipo de inducción transfinita).

No sé si esto te ayuda a despejar un poco las dudas. Más adelante, como decía más arriba, trataré de extenderme más.

Acerca de la tercera cuestión, ya que la pregunta fue de Markelo y la respuesta de Borja, debería dejarles la respuesta a ellos. Pero, la verdad es que sí se puede definir el concepto de suma para una cantidad no numerable de sumandos. Para ello se apela al concepto de "red" o "sucesión generalizada". A ese respecto te recomiendo el libro "Topología General" de Kelley, donde se define ese concepto y, a modo de ejemplo, se muestra que (tal como nos dice una cierta intuición) la integral puede verse como la suma de una cantidad no numerable de elementos.

Un saludo,

Gustavo

IZ dijo...

Hola, Gustavo,

Muchas gracias por tu respuesta.

Un cordial saludo.

Cristian dijo...

Hola Gustavo. Espero que ya te hayas olvidado de mi (jiji).

Me encontré con todo este problema anoche y enseguida se me atiborró la mente de preguntas.
Rápidamente garabateé una entrada en el Foro General del Rincón Matemático hablando de unos tales "números invisibles", aclarando de antemano que ignoraba si no estaría yo inventando la rueda.
Hoy alguien mencionó los "números inefables". Luego San Google me trajo hasta aquí, donde efectivamente descubro que la rueda ya estaba inventada.

Leí tu entrada ávidamente, con la emoción de comprobar que algunas de mis preguntas eran también las de tu artículo.
Llegué al final esperando las respuestas y entonces me encontré con:
"Preguntas que quedan planteadas para quien quiera reflexionar sobre ellas."

¡Cáspita!
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Mi primera pregunta es si los números inefables pueden definirse dentro de la teoría axiomática de conjuntos.

Dice tu definición de "definición":

"Decimos que una propiedad define a un número si esa propiedad es satisfecha solamente por ese número y por ningún otro objeto matemático "

Que traduzco dentro de la teoría axiomática, así:

P define a x si y solo sí P[x] y para todo y, P[y] inplica x=y

Hasta aquí no encuentro problemas.

Pero ahora, cuando intento definir "número definible" me sale algo de este tipo:

Un número real x es definible si y solo sí existe P tal que P es una propiedad y P[x]

Aquí, el enunciado cuantifica a una propiedad. ¿Se pueden cuantificar las propiedades dentro de la teoría axiomática de conjuntos?

Lo mismo me ocurre con la definición de "número inefable"

Un número real x es inefable si y solo sí para todo P se verifica que si P es una propiedad entonces no P[x].

Donde nuevamente tengo que cuantificar la variable de propiedad P.

Mi primera y más básica duda es pues, si se pueden definir los números inefables dentro de la teoría de conjuntos.

Por ahora paro aquí, pero el tema me moviliza.

Saludos.

Cristian dijo...

He publicado otro post en el foro del rincón matemático con más dudas y problemas que encuentro (y las definiciones de "números definibles" y "números inefables" ahora bien escritas)

Saludos Gustavo.

wolfert dijo...

esto solo provoca que los atomos hagan cohesiones mayores a su masa sellados por entalpia, se puede demostrar por la division entre cero o la raiz cuadrada de numeros negativos.

saludos, :)

Anónimo dijo...

Veo una pequeña salvedad. Y es que con el tiempo, la misma definición puede referirse a 2 números distintos. Una muy trivial: "el número más grande escrito hasta hace un mínuto como poco".

Leonardo dijo...

Lo que no me queda claro es como definir a los numeros inefables, es decir, al conjunto de todos ellos.

Cómo hago para saber, al tener frente a mi un número, si es definible o inefable?

Por otro lado, los inefables son todos irracionales? Algebraicos? Trascendentes? O qué?

Hay algún entero o racional inefable?

Saludos.

Gustavo Piñeiro dijo...

Todos los inefables son trascendentes. Cualquier entero es definible, por lo tanto cualquier racional es definible y cada algebraico es definibles a partir del polinomio del cual es raíz.

Leonardo dijo...

No me queda claro el tema de la cantidad de números que se pueden definir...

No estoy del todo de acuerdo con la afirmación de que el conjunto de todas las definiciones posibles es infinito numerable.

El tema es que no hay infinitas palabras, ni infinitos símbolos.

Supongamos que quiero contar cuántas definiciones se pueden escribir utilizando 10 "palabras" que pueden ser símbolos, letras, palabras, etc.

Como no tengo infinitas para elegir, no tengo infinitas combinaciones.

Supongamos que entre letras, signos de puntuación, símbolos, etc, logro un total de 1000 objetos distintos para elegir 10 y establecer la definición de un número.

Luego, es fácil calcular la cantidad de definiciones que puedo hacer. Es una cantidad, que no es infinito.

Por supuesto que alguien me puede decir, "pero por qué de 10 signos la definición" entonces respondo:

Ok, permitamos que las definiciones sean de cualquier longitud, pero no infinitas.

Luego, tendremos una cantidad finita para definiciones de un sólo símbolo.
Otra cantidad finita de definiciones de 2 símbolos.

ETC.

¿Es cierto que esa cantidad total, la suma de todas esas, es infinito?

Tengo mis dudas.

Supongamos que ponemos un límite para las definiciones: el máximo de símbolos que puede usarse para una definición es 2 millones de símbolos.

Me parece suficiente.

Si aceptamos eso, entonces no se pueden definir TODOS los naturales.

Para poder definir todos los naturales tenemos que aceptar definiciones de infinitos símbolos, cosa que no tiene sentido.

De hecho, con una definición de infinitos símbolos puedo definir cualquier real.

Por ejemplo, quiero definir un número trascendente que empieza 2,45368... entonces digo "es un dos, luego una coma, le sigue un cuatro, luego un cinco y después un tres. A continuación ponga un seis seguido de un ocho... "

DE OTRA FORMA:

EL conjunto de definiciones que se pueden hacer es el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto de palabras y símbolos.

Ese conjunto, el de palabras y símbolos, es finito.

El conjuntos de partes de un conjunto finito, es finito.

Luego el conjunto de definiciones es finito.

Luego los naturales no son todos definibles.

Saludos.

Francisco Javier dijo...

La nueva aplicación Números TIP muestra el texto, en español, de los números cardinales, ordinales, fraccionarios y multiplicativos. También convierte de romano a decimal y viceversa. Admite varios formatos numéricos. Tiene ejemplos y notas aclaratorias.
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Un cordial saludo.
Text & Information Processing