8.2.10

Un problema de probabilidades

(Esta entrada es la participación de El Topo Lógico en el Carnaval de Matemáticas.)

Imaginemos el siguiente juego de azar: se le presentan a un jugador n cajas cerradas, cada una de las cuales contiene una bola marcada con un número entre 1 a n (cajas diferentes contienen números diferentes). Las cajas son perfectamente iguales y es imposible determinar por su aspecto el contenido de cada una.

El jugador anota en la tapa de cada caja un número de 1 a n. No es obligatorio que anote números diferentes. Puede, por ejemplo, anotar un 1 en todas las cajas.

Una vez hechas las anotaciones, se destapan las cajas. El jugador se anota entonces un punto por cada caja en la que el número anotado en la tapa coincida con el número de la bola contenida.

Por ejemplo, si el jugador anota un 1 en todas las cajas entonces ganará exactamente un punto.

Preguntas:

1) Si n es par y el jugador anota un 1 en la mitad de las cajas y un 2 en la otra mitad ¿cuál es su ganancia esperada?

2) ¿Cuál es la estrategia óptima para el jugador? Es decir ¿cuál es la estrategia para la cual la ganancia esperada del jugador es la máxima posible?

9 comentarios:

elmaquinadeturing dijo...

Creo que tengo el primer apartado, si alguien no quiere verlo que no siga leyendo.

El problema se resuelve por simetría. Si llamamos A y B a las mitades marcadas con el 1 y el 2 respectivamente, cada una de las siguientes configuraciones posibles tiene una probabilidad de aparecer de 1/4:

1a2a 1a2b 1b2a 1b2b

Así, la ganancia esperada es:

1·1/4 + 2·1/4 + 1·1/4 + 0·1/4 = 1

Espero que esté bien, porque acaban de fundirme vilmente en el examen de Cálculo de Probabilidades y me gustaría al menos resarcirme con esto :D

Intentaré la segunda parte.
Saludos y Feliz Carnaval!

Antonio QD dijo...

En el siguiente enlace ofrezco el desarrollo de mi solución para la segunda cuestión, que resumo diciendo que todas las estrategias son equivalente y tienen una ganancia esperada igual a 1.


Mi solución

Agradezco al máquina de Turing el haberme propuesto este problema.

Un Saludo

elmaquinadeturing dijo...

Jeje, El Máquina de Turing es el blog, qué más quisiera serlo yo :D

PG dijo...

Corríjanme si me equivoco, pero yo diría que hay una diferencia sustancial entre estos casos y el que se ha dado como ejemplo. En el caso del ejemplo dado en la entrada la ganancia es cierta, y no esperada o probable como lo es en estos otros casos.

Antonio QD dijo...

Es cierto, si escojo como estrategia marcar todas las cajas con la misma etiqueta tengo una ganancia cierta de 1 punto y una ganancia esperada, también de 1 punto.

Si uso cualquier otra estrategia ya no tengo una ganancia cierta de un punto, pero la ganancia esperada sigue siendo 1n punto. Hay una probabilidad de obtener 0 puntos, una probabilidad de obtener 1 punto, ..., una probabilidad de obtener k puntos; y se puede calcular la ganancia esperada a partir de las distintas ganancias posibles y sus probabilidades, pero esto no nos asegura que obtengamos una puntuación en concreto.

Si realizamos el experimento un número grande de veces, como la media es finita según el Teorema de Khintchine la media de los resultados de todos los posibles experimentos converge casi seguramente a la esperanza matemática de la ganancia.

Un Saludo

elmaquinadeturing dijo...

PG, no sé si te he comprendido bien.
Si lo que quieres decir con "la ganancia es cierta" es que en el problema propuesto el jugador gana con seguridad (con probabilidad 1, vaya), esto no es cierto, te pongo un ejemplo:

Si tenemos 10 cajas y él pone 1 a las 5 primeras y 2 a las 5 restantes, puede ocurrir que la bola marcada con el 1 esté en la 7ª caja y la marcada con el 2 esté en la 3ª, por ejemplo, en cuyo caso la ganancia sería 0 al no coincidir ningún número de ninguna bola con ningún número de ninguna caja.

Hablamos de ganancias esperadas porque no sabemos a priori cuál será el resultado, y sólo podemos especular con las diferentes configuraciones posibles y sus respectivas probabilidades.

Tengo intención de hablar sobre el concepto de valor esperado en mi aportación al Carnaval de Matemáticas, que espero tener lista mañana o pasado, te invito a que lo consultes por si no te ha quedado muy claro.

Un saludo.

Javier.

Antonio QD dijo...

Javier, creo que cuando el compañero habla del ejemplo en el que la ganancia cierta se refiere a la estrategia de anotar todas las cajas con el mismo numero. En este caso se asegura de acertar en una y sólo una de las cajas. Ganancia cierta igual a 1 punto, pero no más, ni menos tampoco.

Un Saludo

elmaquinadeturing dijo...

Tienes razón, Antonio, no lo había "pillao".

Además creo que hemos escrito los dos a la vez y tu comentario ha salido antes que el mío :D

Saludos!

PG dijo...

En efecto, me refería al ejemplo dado en la entrada por Piñeiro. No estaba seguro de haber comprendido el planteo. Lo que ahora diría yo es que si la ganancia esperada, sea cual fuere la combinación que elija, va a ser siempre 1. Entonces la estrategia óptima será la dada como ejemplo en la entrada, ya que es el único caso en que la ganancia de un punto es cierta.