Gödel y Turing (Parte 13)

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El Programa de Hilbert

Según veíamos en la parte anterior, a principios del siglo XX se descubrió que la Teoría de Conjuntos de Cantor era inconsistente. Esto significó una crisis, pues en ese momento la Teoría de Conjuntos se había transformado en la columna vertebral del Cálculo. De hecho, la Teoría de Conjuntos iba en camino de transformarse en el fundamento mismo de toda la Matemática, pues Georg Cantor, Richard Dedekind y Gottlob Frege (1), trabajando independientemente, habían logrado definir a partir de la noción de conjunto el concepto mismo de número.

Esta crisis de los fundamentos generó inicialmente dos reacciones, dos intentos casi diametralmente opuestos de recuperar la solidez de las bases de la Matemática. Una de estas reacciones fue el Programa Logicista, propuesto por Bertrand Russell hacia 1905 y cuya obra fundamental es Principia Mathematica. La otra propuesta fue el Intuicionismo o Cosntructivismo, contemporáneo del Logicismo y cuyo principal ideólogo fue L.E.J. Brouwer.

El Logicismo proponía fundamentar la Matemática en la Lógica y la Teoría de Conjuntos, aunque, para evitar las paradojas, Russell proponía hacer previamente una reestructuración en el lenguaje. Russell sostenía que todas las paradojas, no sólo las de la Teoría de Conjuntos sino en general todas las paradojas lógicas conocidas, provienen de un uso indebido de la autorreferencia, de la existencia de círculos viciosos en los que, metafóricamente, se crean serpientes que se comen a sí mismas desde su propia cola. Así por ejemplo, la “paradoja de Russell”, que vimos en la parte anterior, proviene de considerar conjuntos que son elementos de sí mismos.

Para evitar estas autorreferencias indebidas, Russell propuso establecer en el lenguaje una jerarquía estricta e inviolable, a la que llamó Teoría de los Tipos. En el nivel inferior de esta jerarquía estarían los individuos (por ejemplo, las letras). En el nivel inmediato superior estarían las oraciones de tipo-1, que son las oraciones que se refieren a los individuos. Por ejemplo “La letra a es una consonante” es una oración de tipo-1.

En el nivel inmediato superior están las oraciones de tipo-2, que se refieren a las oraciones de tipo-1. Así por ejemplo, “Es falso que la letra a es una consonante” es de tipo-2.

Luego están las oraciones de tipo-3, que son las que hablan de las oraciones de tipo-2, y así sucesivamente. De este modo toda oración, para ser válida, debería ocupar un lugar en esta jerarquía, en algún tipo-n. Cualquier oración que no se ajustara a esta restricción sería considerada un sin-sentido.

“Esta frase es falsa”, que se refiere a sí misma, es un ejemplo de sin-sentido, es decir, es una concatenación de palabras que parece decir algo, pero que en realidad carece de significado. Las propiedades que definen a los conjuntos, por supuesto, deberán también adaptarse a esta jerarquía de tipos. De tal modo que “El conjunto de todos los conjuntos” es un sin-sentido que, por ende, no define ningún ente matemático.

Esta jerarquía, en efecto, evita todas las paradojas (al menos todas las paradojas conocidas hasta la actualidad). El problema es que cuando tratamos de fundamentar toda la Matemática ateniéndonos a estas restricciones de lenguaje, la situación se vuelve insostenible. Por ejemplo, supongamos que quisiéramos establecer a modo de axioma que “Toda afirmación es verdadera o falsa”. Pues bien, no podríamos hacerlo. En efecto, “Toda afirmación es verdadera o falsa” habla de todas las afirmaciones, en particular habla de sí misma, y por lo tanto es autorreferente y un sin-sentido.

Ante este problema, Bertrand Ruseell introduce el llamado Axioma de Reductibilidad, que dice que toda oración de tipo-n es equivalente a alguna oración de tipo-1. De este modo podemos decir con toda corrección que “Toda afirmación de tipo-1 es verdadera o falsa” y como cualquier otra afirmación es equivalente a una de tipo-1 estaremos diciendo en definitiva que toda afirmación es verdadera o falsa.

Pero si bien se mira el Axioma de Reductibilidad tira por la borda toda la filosofía de la jerarquía del lenguaje. Hemos creado entonces una rígida jerarquía del lenguaje, para decir inmediatamente después que toda la jerarquía se reduce al tipo-1.

El mismo Russell se vio obligado a admitir que este axioma no era para nada evidente y que se vio obligado a introducirlo meramente porque le resultaba indispensable para completar ciertas definiciones o demostraciones que no habría sabido hacer de otro modo. Pero la introducción de un axioma controvertido con la única justificación de que resulta práctico no es una buena idea si es que estamos construyendo una fundamentación indubitable para la Matemática. Por eso mismo las controversias en torno al Axioma de Reductibilidad acabaron por herir de muerte la idea de Russell y, finalmente, hacia 1920 el Logicismo había perdido toda acabado por perder toda influencia.

La segunda propuesta, contemporánea del Logicismo, fue el Intuicionismo o Constructivismo, cuyo principal impulsor fue L.E.J. Brouwer. Los intuicionistas sostenían que las inconsistencias de la Teoría de Conjuntos se debían simplemente al uso del infinito actual, concepto que los intuicionistas consideraban inconsistente en sí mismo. Más allá de este rechazo al uso del infinito actual, el concepto central de la filosofía intuicionista es el concepto de algoritmo.

Para los intuicionistas los números naturales están dados a priori, por una intuición inherente al pensamiento humano. Cualquier otro objeto matemático sólo existe si es posible mostrar un algoritmo que lo construya a partir de los números naturales. Así por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 no existe como número “actual” o “acabado”, pero sí existen (porque se pueden calcular algorítmicamente) números racionales que se acercan tanto como uno quiera a un número positivo que elevado al cuadrado sea igual a 2.

Otro ejemplo del papel de la noción de algoritmo desempeña en el pensamiento intuicionista es éste: para los intuicionistas una propiedad, digamos una propiedad referida a los números naturales, sólo puede considerarse bien definida si existe un algoritmo que, dado un número, nos permita verificar si el número cumple o no la propiedad en cuestión. Usando la terminología que desarrollamos en las partes anteriores, para los intuicionistas las únicas funciones que existen son las funciones recursivas y los únicos conjuntos que existen son los conjuntos recursivos.

El llamado Programa Intuicionista se proponía reconstruir toda la Matemática respetando esta filosofía. Desde luego, esta reconstrucción dejaría fuera de la Matemática a la teoría de Cantor, así como gran parte del Análisis.

Hacia 1920, con la caída del Logicismo, el Intuicionismo comenzaba a transformarse en la filosofía dominante de la Matemática y esto ponía, por decirlo dramáticamente, en riesgo de muerte a la teoría de Cantor.

David Hilbert, uno de los más grandes matemáticos de fines del siglo XIX y principios del XX, había sido desde siempre un gran defensor de las ideas de Cantor y, ante el avance del intuicionismo, decide proponer una filosofía alternativa: el Formalismo.

La idea de Hilbert, que además de ser un gran matemático era un muy hábil político, fue crear un concepto que sedujera a los intuicionistas, es decir que fuera completamente compatible con su forma de ver la Matemática, pero que a la vez permitiera conservar la intacta teoría de Cantor. La idea de Hilbert consistió esencialmente en respetar la exigencia algorítmica que impregnaba el pensamiento intuicionista, pero llevándola a los razonamientos matemáticos en lugar de aplicarla a los objetos matemáticos en sí.

La idea central del Formalismo es la siguiente: toda teoría matemática debe ser axiomática (es decir, debe estar basada en axiomas de los cuales se deducen todos los teoremas), pero la axiomatización debe ser realizada de tal modo que exista un algoritmo que, dada una sucesión de enunciados, nos indique si esa sucesión constituye o no una demostración. Es decir, la exigencia de recursividad ya no se refiere a las propiedades de los objetos matemáticos, sino a las propiedad (referida a sucesiones de afirmaciones) de “ser una demostración”. Una teoría axiomática para la cual exista un algoritmo así es llamada una teoría finitista. Podemos hablar del infinito actual, dice Hilbert, siempre y cuando al hablar de él hagamos razonamientos finitistas.

En concreto, la propuesta de Hilbert era axiomatizar de modo finitista la Teoría de Números y luego demostrar, también de modo finitista, que esa axiomatización es completa y consistente. Donde completa significa que toda verdad pueda deducirse de los axiomas y consistente significa que ninguna falsedad puede ser demostrada. Una vez así axiomatizada la Teoría de Números se tendría un fundamento sólido para el resto de la Matemática (digamos, dadme un punto de apoyo bien fundamentado y fundamentaré a partir de él toda la Matemática).

Tras una década de luchas y polémicas, en septiembre de 1930 los intuicionistas aceptaron finalmente el Programa de Hilbert. Si el programa podía completarse, los intuicionistas aceptarían incluso el infinito actual. Pero fue justo en septiembre de 1930 (2) cuando Gödel expuso públicamente por primera vez sus teoremas de incompletitud.

El primer teorema dice que es imposible dar una axiomatización finitista de la Teoría de Números que sea a la vez completa y consistente. El segundo teorema dice que es imposible demostrar de modo finitista la consistencia de la Teoría de Números. En otras palabras, justo en el mismo momento en que parecía que el programa de Hilbert había triunfado, los teoremas de Gödel demostraron que el ese programa era irrealizable.

En la próxima parte comenzaremos a estudiar la demostración del primer teorema de Gödel.

Notas:

(1) Hay que aclarar que el concepto que tenían Frege y Dedekind de la noción de conjunto difería en algunos puntos esenciales de la noción que tenía Cantor.

(2) Kurt Gódel expuso por primera vez su teorema en septiembre de 1930, en un congreso sobre fundamentos de la Matemática. El artículo que contiene los teoremas se publicó algunos meses después, en 1931.

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