13.2.06

La paradoja del segundo número

Pensemos en el siguiente juego. Hay muchos participantes, cuantos más mejor. Cada uno anota en secreto un número entero mayor que cero (es decir 1, 2, 3, 4,...) y luego todos muestran a la vez sus números. Gana el que haya anotado el segundo menor número no repetido.

Por ejemplo, si los números anotados son 4-5-5-5-6-6-10-12-19-19 gana el jugador que anotó el 10. (Si todos los números se repiten o sólo uno no se repite, no gana nadie).

¿Cuál es la mejor jugada posible? Veamos:

No sirve jugar el 1, pues éste número no puede ganar (nunca será el sgundo menor). El 1 queda descartado como jugada posible. Si el 1 queda descartado entonces el 2 entonces nunca ganará. El 2 queda entonces descartado. El 3 nunca ganará, pues para ello alguien debería jugar el 1 o el 2. Luego el 3 queda también descartado. De la misma manera se descartan todos los demás números. La única jugada "racional" consiste entonces en negarse a jugar.

3 comentarios:

ivanuzz dijo...

He pasado más de media valiosa hora razonando el problema y sólo he podido llegar a dos cuestiones:

-Tendrá algo que ver con con las expectativas?

-El planteamiento que lleva a la paradoja surge por la forma abordada de comenzar por descartar el 1?

Muy buen problema, ¿De quién es invención?

Dani dijo...

Según el enunciado, "Gana el que haya anotado el segundo menor número no repetido", por lo que perfectamente el primer jugador podría anotar el segundo mejor número y la premisa utilizada para la resolución es incorrecta.

Leonardo dijo...

Como siempre, debemos suponer que los jugadores son razonadores perfectos, ya que en la vida real, jugando esto con un grupo de incautos legos, uno probablemente podría ganar, pensando previamente como podrán razonar cada uno de los contrincantes.

Por ejemplo, uno puede suponer que nadie pondrá 1, ya que es simple saber que 1 no puede ganar, pero alguno podría, pensando que hay un participante lo suficientemente tonto o distraído como para poner 1, poner 2.
Es probable que tampoco gane, pero ya habrá puesto un 2.

Luego será cuestión de imaginar cuántos harán este razonamiento y poner un número por encima de esos.

Por ejemplo, si tres personas pensaron esto, pondrán 3, esperando que alguno pusiera 2. Luego, si no quedan más participantes, poniendo 4 ganamos.

No es seguro, pero se puede ganar.

Por otro lado, la estrategia, para mí, es simplemente poner algún número. Se podría hacer este juego varias veces y estudiar la tendencia de la gente al elegir números para este juego y llegar a un número que maximice las probabilidades de ganar.

Más allá del razonamiento que anula el juego, la pregunta sería: ¿Qué número pondrías si te apuntaran con un arma y te amenazan con matarte si no elegís un número?

Es base a las respuestas a esa pregunta, se puede elaborar la estadística.

Saludos.