Curva

Trataremos aquí por primera vez un tema topológico. Diremos que una curva cerrada C dibujada en el plano es regular con respecto a un punto P si toda recta que pasa por P corta a C exactamente dos veces.
Dos puntos de C, digamos Q y R, se dirán diametralmente opuestos con respecto a P si los tres puntos Q, P y R están alineados.

El problema consiste en demostrar que si C es regular con respecto a P entonces existen Q y R diametralmente opuestos con respecto a P tales que P equidista de Q y R.

T(n,m) - Problema 3

Otro personaje de tipo T(n,m), con n>0 y m>0, va afirmando:

- Soy de tipo T(1,2).
- Soy de tipo T(1,1).
- Soy de tipo T(1,2).
- Soy de tipo T(1,3).

- Soy de tipo T(1,2).
- Soy de tipo T(1,1).
- Soy de tipo T(1,2).
- Soy de tipo T(1,3).

Y así sucesivamente…

¿A qué tipo pertenece este personaje?

T(n,m) - Problema 2

Un personaje de tipo T(n,m), con n>0 y m>0, va afirmando:

- Soy de tipo T(1,1).
- Soy de tipo T(1,2).
- Soy de tipo T(1,3).
- Soy de tipo T(1,3).
- Soy de tipo T(1,2).
- Soy de tipo T(1,1).

- Soy de tipo T(1,1).
- Soy de tipo T(1,2).
- Soy de tipo T(1,3).
- Soy de tipo T(1,3).
- Soy de tipo T(1,2).
- Soy de tipo T(1,1).

Y así sucesivamente…

¿A qué tipo pertenece este personaje?

T(n,m) - Problema 1

Vamos a iniciar ahora una serie de problemas en los que aparecen personajes que llamaremos de tipo T(n,m).

Un personaje de tipo T(n,m) hace n afirmaciones consecutivas verdaderas, seguidas de m afirmaciones consecutivas falsas, luego n verdaderas y así sucesivamente. Por ejemplo, un T(1,1) dice una verdad, una mentira, una verdad, una mentira, etc.

Cuando uno de estos personajes hace su primera afirmación, no sabemos en quépunto del ciclo se encuentra. Por ejemplo si el personaje es un T(2,3) y su primera afirmación resulta ser verdadera, entonces es posible que ésta seala segunda verdad del ciclo, a la cual seguirán tres mentiras, o también puede que sea la primera verdad del ciclo, a la que seguirán otra verdad y tres mentiras.

Finalmente, a menos que se indique lo contrario, siempre supondremos que n >0 y m > 0 (es decir, para ninguno de los personajes será n = 0 ni m = 0).

Dicho sea de paso, un T(1,0) es un "veraz", un T(0,1) es un "mentiroso", un T(0,0) está condenado a un perpetuo silencio.

Este primer problema dice:

A y B son dos personajes de tipo T(n,m), pero no necesariamente con los mismos valores de n y m. Ambos van hablando alternadamente de la siguientemanera:

A: Soy de tipo T(1,1).
B: Eso es verdad.
A: Soy de tipo T(1,2)
B: Eso es mentira.
A: Soy de tipo T(1,3).
B: Eso es verdad.
A: Soy de tipo T(1,1).
B: Eso es mentira.
A: Soy de tipo T(1,2).
B: Eso es verdad.
etc.

Tanto A como B siguen repitiendo cíclicamente estas afirmaciones.

¿De qué tipo es A? ¿De qué tipo es B?

Serie

¿Cómo está construida esta serie?

no hay, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 3, 2, 3, 0, 1, 0, 3, 2, 3, 0, 1, 0, 3, 2, 9, 0, 5, 6, 3, 4, 9, 0, 1, 0, 9, 4, 3, 6, 5, 0, 9, 2, 3, 0, 1, 0, 3, 2, 15, 0, 5, 12, 3,...

Sistema de frases (II)

Aquí va otro problema sobre sistemas de frases:

1) Ambas frases son equivalentes.
2) El sistema es incompatible.

¿Es compatible el sistema?

Sistema de frases (I)

La frase Esta frase es falsa es en sí misma una paradoja. Si es verdad lo que dice entonces la frase es falsa, si es falso lo que dice entonces la frase es verdadera, por lo que no puede ser, en definitiva, ni verdadera no falsa.

Se han propuesto muchas soluciones para esta paradoja, desde la más sencilla y directa que consiste en decir que se trata en realidad de una pseudo-frase carente de sentido, hasta otras más sofisticadas basadas en lógicas polivalentes o en conceptos exóticos tales como "sistemas paraconsistentes". La idea en esta ocasión es ver a la paradoja desde un nuevo punto de vista.

Diremos que un sistema de frases autorreferentes es consistente si es posible designar a las frases como verdaderas y falsas (es decir si es posible asignarles valores de verdad) de modo tal que las frases que hemos designado como verdaderas digan en efecto cosas verdaderas y las frases que hemos designado como falsas sean realmente falsas.

Por ejemplo:

1) La siguiente frase es falsa.
2) Ambas frases son verdaderas.

es un sistema compatible, pues si designamos 1 = V y 2 = F, entonces en efecto la primera frase dice una verdad (la segunda es falsa) y la segunda dice una falsedad (no es cierto que ambas sean verdaderas). La asignación de valores de verdad es además única, por eso diremos que el sistema es determinado.

Desde este punto de vista:

1) Esta frase es falsa.

es simplemente un sistema imcompatible.

Por otra parte:

1) Esta frase es verdadera.

es compatible, pero no determinado.

Ahora un problemita.

Tenemos el siguiente sistema de frases. (Aclaración: equivalentes quiere decir que ambas son verdaderas o ambas son falsas).

1) En algún lugar después de la sexta frase hay tres frases verdaderas consecutivas.
2) La frase anterior es equivalente a la frase 9.
3) Las tres primeras frases son falsas.
4) Entre las cuatro primeras frases hay exactamente una frase verdadera.
5) La frase 7 es falsa.
6) La frase 8 es verdadera.
7) La frase 9 es falsa.
8) La frase 10 es verdadera.
Y así sucesivamente.

¿El sistema es compatible? ¿La frase 1001 es verdadera?

Veraces y mentirosos (I)

A, B y C son, o bien veraces o bien mentirosos. Los veraces sólo hacen afirmaciones verdaderas, los mentirosos sólo hacen afirmaciones falsas. Cada uno sabe la condición de todos los demás. Le hablan a un cuarto personaje:

C: A es mentiroso o B es veraz (o ambas cosas).
B: A y C son ambos mentirosos.
A: Con los datos anteriores Ud. no tiene información suficiente para deducir qué somos.

¿Quién es veraz y quién es mentiroso?

Los Dos Bocas

La acción transcurre en el planeta de los Dos Bocas, en el que los nativos hacen siempre sus afirmaciones de a pares, una afirmación a continuación de la otra.

Como es previsible, los habitantes se dividen en tres grupos: por un lado están los veraces, cuando ellos hablan, sus dos afirmaciones son siempre rigurosamente verdaderas; existen también los mentirosos, sus dos afirmaciones son siempre falsas; el último grupo es el de los Dos Bocas mixtos, cuando ellos hablan siempre una de sus afirmaciones es verdadera y la otra es falsa.

Un viajero espacial, de nombre Spock, aficionado a la lógica, conversaba cierta vez con uno de los nativos de este planeta. Spock le preguntó a qué grupo pertenecía y el nativo respondió: "Soy veraz o soy mixto / Soy veraz o soy mentiroso". (La barra separa las dos afirmaciones del nativo).

Spock le pidió mas información y el nativo agregó: "Hoy es jueves / Hoy es jueves".

El viajero espacial miró la hora (eran las tres de la tarde) y continuó su camino. (Debemos aclarar que los días, horas y semanas se miden en el planeta de los Dos Bocas del mismo modo que aquí en la Tierra.)

¿A qué clase pertenecía el Dos Bocas? ¿Era jueves ese día? ¿Por qué Spock miró la hora?

Tarjetas premiadas

Un jugador recibe, a razón de una por día, n tarjetas elegidas al azar. Cada tarjeta puede tener anotado un 1, un 2, un 3 o una X. Cada vez que el jugador reúne un 1, un 2 y un 3 puede canjear la terna por un premio. La tarjeta X oficia de comodín y puede ser utilizada tanto como un 1, un 2 o un 3. Por ejemplo la terna X 2 3 puede ser canjeada por un premio, lo mismo la terna 1 X 3, o la terna 1 2 X.

Hay dos tipos de jugador: el ansioso y el paciente. El jugador ansioso canjea una terna de tarjetas en el mismo momento en que esto es posible. El jugador paciente, en cambio, espera a recibir las n tarjetas y recién entonces decide qué canjes debe hacer para obtener la mayor cantidad de premios que sea posible.

Por ejemplo, supongamos que n = 6 y que las tarjetas que recibe el jugador sean, en ese orden, 1 2 X 3 2 3. Si el jugador es ansioso, al tercer día canjeará 1 2 X por un premio y al sexto día tendrá 3 2 3. Como esto no le permite hacer un segundo canje, ganó solamente un premio. El jugador paciente, en cambio, esperará a tener las seis tarjetas, formará con ellas las ternas 1 2 3 por un lado y X 2 3 por el otro, y ganará así dos premios.

a) Supongamos ahora que n = 9, ¿es posible dar una distribución de tarjetas de tal modo que el jugador ansioso gane 2 premios y el paciente gane 3? La respuesta es sí, ¿cómo se logra?

b) Si n = 9, encuentren una secuencia de tarjetas para la cual el jugador ansioso gane solamente un premio y el paciente gane 3.

c) Si n = 12, ¿es posible dar una distribución de tarjetas de modo que el jugador paciente gane 4 premios y el ansioso gane sólo uno?

d) Si n = 3k, ¿es siempre posible dar una distribución de tarjetas de modo que el paciente gane k premios y el ansioso gane sólo uno?

e) Si n = 3k, ¿es siempre posible dar una distribución de tarjetas de modo que el paciente gane k premios y el ansioso gane 2? ¿y que el ansioso gane 3? ¿4? ¿etc.?

Nota final: Tenía en mente introducir un tercer tipo de jugador, al que había bautizado jugador humilde. Como el paciente, el humilde esperará a recibir las n figuritas antes de decidir qué canjes hacer, pero su objetivo, contrariamente al paciente, será obtener la menor cantidad posible de premios (canjearía todas las ternas que lograra formar, pero elegiría esas ternas de tal modo que su cantidad sea mínima). Omití este tercer tipo de jugador porque creo que en el fondo es casi equivalente al ansioso.

Raíz pandigital

Usando todos los dígitos del 0 al 9 una vez cada uno, sin repetir, hay que formar dos números, digamos A y B, de modo tal que la raíz cuadrada de A esté tan cerca de B como se pueda. Un ejemplo:

A = 7,01
B = 2,645893

Como la raíz de A es 2,64764045897... entonces la diferencia es de 0,00174... Esta solución puede mejorarse (es decir, se pueden encontrar números A y B tales que la diferencia sea menor).

Sombreros (III)

Recordemos el esquema que hemos dado en llamar El sombrerero loco:

En una habitación hay cierto número de personajes. Cada uno de ellos tiene un sombrero, que puede ser blanco o negro. Inicialmente ninguno sabe de qué color es propio su sombrero, aunque todos pueden ver los sombreros de los demás. Se supone que los que tienen sombreros blancos deben comportarse como veraces (sólo pueden hacer afirmaciones verdaderas) y los que tienen sombreros negros deben comportarse como mentirosos (sólo pueden hacer afirmaciones falsas).

Inicialmente nadie sabe cuál es su propio color de sombrero, entonces al comenzar cada personaje adopta provisionalmente una actitud. Es decir, cada uno decide ser inicialmente veraz o ser mentiroso (esta decisión es aleatoria y no es conocida por los demás). Mientras el personaje no pueda deducir el color de su sombrero sigue comportándose tal como decidió inicialmente.

En el momento en que deduce cuál es realmente su color, inmediatamente comienza comportarse de acuerdo a lo que su sombrero indica. Esto puede significar, o no, un cambio de actitud. Por ejemplo, si el personaje inicialmente se comportaba como veraz y deduce que su sombrero es blanco entonces simplemente sigue comportándose como veraz. Un personaje puede decirle a otro "No deberías decir eso", esto significa o bien "Dijiste una verdad y tu sombrero es negro" o bien "Dijiste una mentira y tu sombrero es blanco". Claro está que quien dice esto puede estar mintiendo. Otra afirmación posible es "Bien dicho", esto significa "Te has comportado tal como indica tu sombrero". (Todas estas declaraciones se refieren siempre a la afirmación inmediatamente anterior). Todos los personajes oyen lo que dicen los demás y tienen la capacidad de deducir inmediatamente todas las consecuencias lógicas de los hechos que conocen.

Tenemos en esta ocasión cuatro personajes, A, B, C y D.

A le dice a B: Tu sombrero es blanco.
C le dice a A: No deberías decir eso.
D le dice a C: No deberías decir eso.
C le dice a B: Tu sombrero es negro.
B le dice a A: Si me dices mi color de sombrero, podré deducir qué color de sombrero tengo.
D le dice a B: No deberías decir eso.
C le dice a D: No deberías decir eso.
B dice: Aún no puedo deducir mi color de sombrero.

¿De qué color es el sombrero de cada uno? ¿Qué actitudes tomaron al comenzar?

Sombreros de colores

En una habitación tenemos tres personajes, a los que llamaremos A, B y C. Algunos de ellos (tal vez todos) son veraces: todas sus afirmaciones son rigurosamente verdaderas. Algunos de ellos (tal vez todos) son mentirosos: cada una de sus afirmaciones es falsa. Cada uno de los tres tiene además un sombrero. Uno de los sombreros es rojo, el otro es verde y el otro es azul. Pero no sabemos quién lleva cada sombrero.

A le dice a B: "Tu sombrero es verde"
Luego de decirlo, A y B intercambian sus sombreros.

B le dice a C: "Tu sombrero es rojo"
Luego B y C intercambian sombreros.

C le dice a A: "Tu sombrero es azul"
Luego A y C intercambian sombreros.

A le dice a B: "Tu sombrero es rojo"
Luego A y B intercambian. Finalmente:

B le dice a C: "Tu sombrero es rojo"

¿Quién es veraz? ¿Quién es mentiroso? ¿De qué color era el sombrero de cada uno al comenzar?

Sombreros (II)

Con el mismo esquema de antes. Tenemos ahora tres personajes:

C dice: Nuestros tres sombreros son iguales.
A le dice a B: Tu sombrero es negro.
B le dice a A: No deberías decir eso.
A les dice a B y a C: Sus dos sombreros son iguales.

¿De qué color es el sombrero de cada uno? ¿Qué actitud adoptaron al comenzar?

Sombreros (I)

Le doy al siguiente esquema el nombre de "El sombrerero loco":

En una habitación hay cierto número de personajes. Cada uno de ellos tiene un sombrero, que puede ser blanco o negro. Inicialmente ninguno sabe de qué color es propio su sombrero, aunque todos pueden ver los sombreros de los demás.

Se supone que los que tienen sombreros blancos deben comportarse como veraces (sólo pueden hacer afirmaciones verdaderas) y los que tienen sombreros negros deben comportarse como mentirosos (sólo pueden hacer afirmaciones falsas). Pero inicialmente nadie sabe cuál es su propio color de sombrero, entonces al comenzar cada personaje adopta provisionalmente una actitud. Es decir, cada uno decide ser inicialmente veraz o ser mentiroso (esta decisión es aleatoria y no es conocida por los demás).

Mientras el personaje no pueda deducir el color de su sombrero sigue comportándose tal como decidió inicialmente. Pero en el momento en que deduce cuál es realmente su color, inmediatamente comienza comportarse de acuerdo a lo que su sombrero indica. Esto puede significar, o no, un cambio de actitud. Por ejemplo, si el personaje inicialmente se comportaba como veraz y deduce que su sombrero es blanco entonces simplemente sigue comportándose como veraz.

Un personaje puede decirle a otro "No deberías decir eso", esto significa o bien "Dijiste una verdad y tu sombrero es negro" o bien "Dijiste una mentira y tu sombrero es blanco". Claro está que quien dice esto puede estar mintiendo. Otra afirmación posible es "Bien dicho", esto significa "Te has comportado tal como indica tu sombrero". (Todas estas declaraciones se refieren siempre a la afirmación inmediatamente anterior).

Todos los personajes oyen lo que dicen los demás y tienen la capacidad de deducir inmediatamente todas las consecuencias lógicas de los hechos que conocen.

Sobre este esquema se pueden plantear muchos problemas. Aquí va uno:

Tenemos dos personajes: A y B.

A dice: Mi sombrero es blanco.
B dice: No deberías decir eso.
A dice: No deberías decir eso.
B dice: Ya dedujiste el color de tu sombrero.
A dice: No, todavía no pude.
B dice: Tu sombrero es negro.

a) ¿De qué color es el sombrero de cada uno? ¿Qué actitud había adoptado inicialmente cada uno de ellos?

b) Demostrar que la solución hallada en a) es contradictoria.

c) Demostrar que el problema no tiene solución o que, en todo caso, no responde correctamente al esquema planteado inicialmente.

La paradoja 30/9

Consideremos la frase "Si el 30 de septiembre de 2005 es lunes entonces el 1º de octubre de 2005 es jueves". Parece claro que se trata de una frase falsa, pues si el 30/9 es lunes entonces el 1/10 es martes, no jueves.

Pero por otra parte, es bien sabido que si P es una afirmación falsa entonces la frase "Si P entonces Q" resulta ser verdadera, independientemente de cuál sea la veracidad Q. Tomando como P la afirmación "El 30 de septiembre de 2005 es lunes", la cual es falsa, y como Q que "El 1º de octubre de 2005 es jueves", resulta que "Si P entonces Q" es verdadera.

En consecuencia, según este segundo razonamiento, "Si el 30 de septiembre de 2005 es lunes entonces el 1º de octubre de 2005 es jueves" resulta ser verdadera.

"Si el 30 de septiembre de 2005 es lunes entonces el 1º de octubre de 2005 es jueves", ¿es verdadera o es falsa?

Número

¿Cuál es el menor número entero que, si se divide por 2 es un cuadrado, si se divide por 3 es un cubo, si se divide por 5 es una quinta potencia?