Cero elevado a la cero

Un modo perfectamente aceptable de definir los números naturales es decir que son los cardinales (o cantidades de elementos) de los conjuntos finitos. Así por ejemplo:

0 es el cardinal del conjunto vacío (pues el conjunto vacío tiene cero elementos)
1 es el cardinal del conjunto {0} (o de cualquier otro conjunto que tanga tantos elementos como él)
2 es el cardinal del conjunto {0, 1}
3 es el cardinal del conjunto {0, 1, 2}

Y así sucesivamente. (En la definición anterior hay, en aras de un lenguaje más comprensible, algunas imprecisiones, pero los conceptos son esencialmente correctos.)

Definidos de esta manera los números, las operaciones entre ellos pueden definirse apelando a las operaciones existentes entre conjuntos. En particular nos interesa aquí la operación de potenciación. Definamos primero la potenciación entre conjuntos:

Definición: si A y B son dos conjuntos, se define B^A (el símbolo ^ significa “elevado a la”) como el conjunto formado por todas las funciones de A en B.

Precisemos un poco, ¿qué es una función de A en B? Una función de A en B es cualquier conjunto F de pares ordenados (a, b) (con a en A y b en B) que cumpla las dos condiciones siguientes:

1) Si a está en A entonces existe algún b en B tal que (a, b) está en F.
2) Si (a, b) y (a, b’) están en F entonces b = b’.

(Intuitivamente, si interpretamos que el hecho de que (a, b) esté en F como que F(a) = b, entonces la primera condición diría que todo elemento de A tiene una imagen y la segunda que no tiene dos imágenes diferentes.)

Mostremos un pequeño ejemplo; supongamos que A = {0, 1} y que B = {0, 1, 2}. Una función de A en B es, por ejemplo, {(0,1), (1,2)}. Se ve fácilmente que hay exactamente nueve funciones en B^A, y no por casualidad 9 = 3^2.

Definición: si alpha es el cardinal de A y beta es el cardinal de B entonces se define beta^alpha como el cardinal de B^A.

Si alpha y beta son ambos enteros mayores que cero la definición anterior coincide con la definición escolar más conocida y, de hecho, la definición anterior puede extenderse sin cambios a cardinales infinitos.

Pero no nos interesa aquí el infinito, sino todo lo contrario. La pregunta que nos convoca es ¿qué nos dice la definición anterior si alpha = 0, o beta = 0, o ambos?

Supongamos que beta = 0 y alpha no es cero. Eso significa que B es el conjunto vacío y que A no es vacío. ¿Qué conjuntos F de pares ordenados hay en B^A? Si A es no vacío pero B sí lo es entonces la condición 1) de la definición de función falla siempre. No importa qué función intentemos definir la condición 1) nos pide que dado algún a en A exista algún b en B que cumpla algo, pero tal b no puede existir porque B es vacío.

B^A entonces no contiene nada, B^A es en sí mismo el conjunto vacío y por ende beta^alpha = 0. Hemos probado así que 0^alpha = 0 si alpha es mayor que cero.

Supongamos ahora que A es vacío. ¿Qué conjuntos F de pares ordenados hay en B^A? Ahora sí hay un conjunto F que cumple la definición de función: el conjunto vacío. Una implicación cuyo antecedente es falso resulta ser siempre verdadera, por lo tanto si A y F son vacíos ambas condiciones de la definición de función se cumplen. Por otra parte, dado que A es vacío, no hay otras funciones posibles. Nótese que en el caso anterior ni siquiera el vacío servía como función, no había ninguna, pero en esta caso sí hay una (la “función vacía”) y por lo tanto B^A tiene un elemento. Hemos probado que beta^0 = 1.

¿Qué pasa si alpha = 0 y beta = 0? Si se observa la demostración anterior, en ningún momento aparece mencionado el hecho B sea no vacío (en cambio en la demostración de que 0^alpha = 0 sí se usa el hecho de que alpha no es cero). La demostración anterior vale textualmente sin cambios si beta = 0 y por lo tanto ese mismo razonamiento prueba que 0^0 = 1.

Por lo tanto queda probado que 0^0 = 1.

Addenda: por motivos que, confieso, me resultan difíciles de entender existe la idea muy extendida (y en general muy arraigada en quienes la sostienen) de que 0^0 es una operación “prohibida”. Sin embargo, no sólo acabamos de probar que 0^0 = 1 sino que este valor es perfectamente coherente con diversas fórmulas matemáticas, entre ellas la que dice que la sumatoria de a_ix^i (con i entre 0 y n) vale a_0 si x = 0 (esto sólo es posible decirlo si 0^0 = 1).

Addenda 2: es posible dar definiciones diferentes de la potenciación y en ese caso que alpha^beta es el cardinal de A^B deja de ser una definición y pasa a ser un teorema. Bajo estas circunstancias el razonamiento de más arriba demustra que es perfectamente consistente desde el punto de vista lógico e inclusive conveniente y necesario desde el punto de vista de la coherencia matemática que, cualquiera sea la definición que se adopte, sea 0^0 = 1.

Addenda 3: otra definición posible para ^ (con exponente entero no negativo) es decir que a^0 = 1 para todo a (incluyendo, claro está, a = 0) y que a^(n + 1) = a*a^n (donde * es la multiplicación). Nótese que según esta definición 0^0 = 1, como debe ser, y que si n>0, n = k + 1, entonces 0^n = 0^1*0^k = 0*0^k = 0, como también debe ser. En particular: 0^1 = 0*0^0 = 0*1 = 0. Esta definición resulta así totalmente equivalente a la que hemos dado en el cuerpo principal de la entrada.

Addenda 4: Al comentario del 23 de mayo de 2009, cito de "Introducción a la Teoría de Conjuntos", Lía Oubiña, Eudeba, 4º edición (1969). En la página 135, exactamente donde la página termina, dice: "nótese, en particular, que 0^0 = 1".


Addenda 5: Véase aquí.
Addenda 6: Véase aquí.

El Omegón y todo eso... (Parte 9)

(A la parte 8 – A la parte 10)

Buena ordenación de los ordinales

Recordemos que si A y B son conjuntos bien ordenados entonces decimos que $A < B$ si A es equivalente a un segmento inicial de B. En la parte anterior hemos probado (siguiendo a Cantor) que si A y B son dos conjuntos bien ordenados entonces siempre vale que $A < B$, o bien $B < A$ o bien A es equivalente a B (una y sólo una de las tres alternativas).

Por otra parte, por definición, el ordinal $\alpha $ es menor que el ordinal $\beta $ si $A < B$ donde A es cualquier conjunto cuyo ordinal sea $\alpha $ y B es cualquier conjunto cuyo ordinal sea $\beta $.

Si $\alpha $ y $\beta $ son dos ordinales, entonces siempre sucede que $\alpha < \beta $, o $\beta < \alpha $ o $\alpha = \beta $ (una y sólo una de las tres alternativas).

La pregunta es ahora: ¿es posible hallar una familia infinita de conjuntos bien ordenados $A_1$, $A_2$, $A_3$,... tal que $A_1 > A_2 > A_3 >\dots $? Es decir ¿existe una cadena descendente infinita de conjuntos bien ordenados?

Veamos, si $A_1 > A_2$ entonces $A_2$ es equivalente a un segmento inicial de $A_1$. Podemos asumir, para simplificar la escritura, que $A_2$ es un segmento inicial de $A_1$. Digamos que $A_2$ es el conjunto de todos los elementos menores que algún $a_2\in A_1$. Del mismo modo si $A_2 > A_3$ entonces $A_3$ es el conjunto de todos los elementos de $A_1$ que son menores que algún $a_3\in A_2\subset A_1$. Del mismo modo, como $A_4$ es un segmento inicial de $A_3$ entonces hay un $a_4$ tal que $a_2 > a_3 > a_4$, todos ellos elementos de $A_1$

Así siguiendo, concluimos que existen en $A_1$ infinitos elementos tales que $a_2 > a_3 > a_4 > a_5 > a_6 >\dots $, pero entonces $\{ a_1, a_2, a_3,\dots \} $ es un subconjunto de $A_1$ que no tiene primer elemento; esto contradice que $A_1$ sea bien ordenado. Por lo tanto no puede existir una cadena infinita descendente de conjuntos bien ordenados.

De lo que acabamos de probar se deduce inmediatamente que no puede existir una cadena descendente infinita de ordinales y una consecuencia de ello, de gran importancia como ya veremos, es que los ordinales están bien ordenados. Es decir, toda familia no vacía de ordinales tiene un primer elemento.

Demostremos esta última afirmación. Si la afirmación fuera falsa, habría una familia de ordinales sin primer elemento. Sea $\alpha_1$ un elemento cualquiera de esa familia; como $\alpha_1$ no es su primer elemento, existe entonces un $\alpha_2$ tal que $\alpha_1 > \alpha_2$. Como $\alpha_2$ tampoco es el primer elemento de la familia, existe un $\alpha_3$ tal que $\alpha_1 > \alpha_2 > \alpha_3$. Así siguiendo habría entonces una cadena infinita descendente de ordinales, lo cual es imposible. Por lo tanto no puede haber una familia de ordinales que no tenga primer elemento. Los ordinales están bien ordenados.

Veremos en las partes siguientes las consecuencias de la buena ordenación de los ordinales, consecuencias que, como dijimos más arriba, son de gran importancia. Para que el lector vaya entrando en tema planteemos la siguiente pregunta: a todo conjunto bien ordenado le corresponde un ordinal, entonces ¿qué tan grande es el ordinal que le corresponde a la familia de todos los ordinales?

(A la parte 8 – A la parte 10)