El Topo Lógico

Para imitar a un pájaro imitador (Parte 2)

2012-01-27T08:50:00.000-03:00

El pájaro imitador

(Para ver todas las entrada de este tema vayan a la etiqueta “pájaro imitador”)

En este hilo vamos a trabajar con “operadores” (Smullyan, en su libro, los llama “pájaros”). La palabra “operador” se usa habitualmente en muchas ramas de la matemática y designa en general a algún tipo de función. En los contextos donde se usa este término suele haber “operadores” (es decir, funciones) y “objetos” a los que esas funciones se aplican. En nuestro caso los objetos serán las letras que designan a los mismos operadores. Es decir, tendremos operadores sintácticos que se aplicarán a sus propios nombres y que darán como resultado de esa aplicación nuevos operadores.

Notación: Si A1 y A2 son operadores, llamaremos A1A2 al operador que resulta de aplicar A1 al nombre de A2 (o, directamente, a A2).

Como veremos enseguida, en general A1A2 no es lo mismo que A2A1. También veremos que tampoco es cierto en general que A1(A2 A3) sea lo mismo que (A1 A2)A3. [A1(A2 A3) es, desde luego, el resultado de aplicar A1 al operador A2A3, mientras que (A1 A2)A3 es el resultado de aplicar A1A2 al operador A3.]

Observación: A1 = A2 si y sólo si para todo x, A1x = A2x.

Algunas convenciones de escritura:

1) Letras:

a) A, A1 , A2, A3,… designarán siempre operadores genéricos.

b) Usaremos letras minúsculas como x, y, z, x1, x2, x3,… para designar variables (reemplazables a su vez por operadores).

c) Otras letras mayúsculas (excepto X, Y, Z), tales como B, C, D,… designarán operadores específicos, que iremos definiendo a lo largo del hilo.

d) X, Y, Z designarán secuencias arbitrarias de símbolos.

2) Sobre los paréntesis: como A1 (A2 A3) no es lo mismo que (A1 A2) A3 entonces la expresión A1 A2 A3 es, en principio ambigua. Pero, por otra parte, si escribiéramos todos los paréntesis necesarios las expresiones complejas se volverían ilegibles. Adoptaremos entonces la convención de que A1 A2 A3 represente siempre a (A1 A2) A3 (como dice Smullyan: los paréntesis se restituyen a izquierda.) Lo mismo vale para otras expresiones, de este modo:

A1 A2 A3 A4 es ((A1 A2) A3) A4

A1 (A2 A3) A4 es (A1(A2 A3)) A4

Aclaradas estas convenciones, vamos a definir nuestros primeros operadores, que indicaremos como M e I.

Definición: Los operadores M e I se definen de la siguiente manera:

Mx = xx

Ix = x

(Como ya dijimos, la variable x representa un operador genérico o, agrego ahora, también el nombre de un operador genérico.)

La definición de M debe leerse de esta manera: M actúa sobre una letra repitiéndola dos veces.

Tenemos, por ejemplo, que:

MI = II = I

IM = M

M(IM) = MM

MIM = IIM = IM = M

[Smullyan llama “pájaros” a los operadores. Coherentemente con esta designación, al definir los operadores, muchas veces les pone nombres de pájaros existentes. Así, por ejemplo, hay un petirrojo, un cardenal, un colibrí, una paloma, etc. Para Smullyan el operador M es un mockingbird - http://en.wikipedia.org/wiki/Mockingbird- o pájaro imitador, el I es el “pájaro identidad”.]

Continuará…

Crucigrama Numérico

2012-01-10T08:47:00.000-03:00

Debe escribirse una cifra en cada casilla. Ningún número comienza con cero.

Horizontales

1. Producto de las cifras de 7-Horizontal.

5. Número de cuatro cifras.

7. Cuadrado de 4-Vertical.

8. Número de cuatro cifras.

9. Producto de las cifras de 5-Horizontal.

Verticales

2. Múltiplo de siete.

3. Un cubo perfecto.

4. Un número primo.

6. Un múltiplo de trece.

7. Un divisor de 2-Vertical.

Ladradora

2012-01-05T19:13:00.005-03:00

En casa tenemos un perro, más exactamente una perra de raza maltesa de nombre Pupi (esto es completamente real y autobiográfico, no hipotético, la foto aquí al lado es de ella).

Esta misma tarde, hace unos minutos, mirábamos en la computadora un video en el que aparece Pupi ladrando (actividad a la que se dedica con bastante frecuencia). Pupi, que estaba presente, comenzó inmediatamente a ladrarle al sonido de su propio ladrido.

Podemos decir entonces que Pupi es un perro que se ladra a sí mismo (o, más exactamente, que le ladra a su propio ladrido).

Podemos imaginar que algunos perros le ladrarán a su propio ladrido, mientras que otros no lo harán. Si un perro le ladrara a todos los ladridos de los perros que no se ladran a sí mismos ¿le ladraría ese perro a su propio ladrido?

2012

2012-01-01T09:53:00.005-03:00

¡Feliz año nuevo para todos!

Algunas fechas destacadas de este año:

2/1/12

12/12/12

20/12/2012

10/11/12

8/10/12

6/9/12

4/8/12

Para imitar a un pájaro imitador (Parte 1)

2011-12-27T16:00:00.002-03:00

Introducción

(Para ver todas las entrada de este tema vayan ala etiqueta “pájaro imitador”)

Mi intención en la serie de entradas que aquí seinicia es (en la medida de mis posibilidades) explicar, poner en orden y tratarde clarificar algunos de los conceptos que Raymond Smullyan desarrolla en sulibro “Para Imitar a un Pájaro Imitador” (1989, Gedisa, México, hay edicionesmás recientes; el título original, de 1985, es “To mock a mockingbird”. La edición en inglés puede leerse on line aquí http://es.scribd.com/doc/55546137/Smullyan-To-Mock-a-Mockingbird).

En ese libro Smullyan hace una introducción a laLógica Combinatoria que va desde los conceptos básicos de la teoría hasta casiuna demostración del Teorema de Gödel.

¿Por qué es necesario clarificar y poner en ordenlos conceptos de Smullyan? Por una parte, porque en ese trayecto que va desdelos conceptos básicos de la Lógica Combinatoria hasta casi llegar al Teorema deGödel el autor toma muchos desvíos. Hay capítulos enteros que son solamentedigresiones, recopilación de curiosidades, etc., interesantes en sí mismas,pero que desvían la atención del objetivo.

Por otra parte, en lo personal, me resulta muydifícil el lenguaje que usa Smullyan en este libro. No porque sea excesivamenteformal, sino porque mezcla una y otra vez términos formales con otros demasiadofloridos y metafóricos que, hasta el punto de resultar bastante confuso (almenos tal es mi experiencia, que no sé si será compartida por otros lectores–para una opinión simétrica a la mía véase aquí: http://www.lecturalia.com/comunidad/libro-comentado/68525/68371/juegos-para-imitar-a-un-pajaro-imitador).

Para ejemplificar lo dicho más arriba, cito unpasaje típico del libro: “En cierto bosque encantado habitan pájaros parlantes.Dados dos pájaros cualesquiera A y B, si le gritamos al pájaro A el nombre deB, entonces A responderá gritándonos el nombre de otro pájaro. Designamos aeste pájaro como AB. Así, AB es el pájaro nombrado por A después de haber oídoel nombre de B”.

Una de mis intenciones del hilo es, entonces, “traducir”el lenguaje de Smullyan a una versión no tan florida, pero no que por ello dejede ser amable.

Una aclaración necesaria es que no soy unconocedor profundo de la Lógica Combinatoria, buena parte de lo que sé del temalo he ido entresacando a fuerza de intuición de lo que cuenta Smullyan. Por lotanto, tal vez, algunos de los términos que use no sean los “consagrados” en lateoría.

Nota histórica: Según cuenta Smullyan en unapéndice del libro, la Lógica Combinatoria se inició a principios de la décadade 1920 y fueron sus pioneros Shönfinkel, Curry, Fitch, Church, Kleene, Rosser,Turing y otros. Agrego yo que en el marco de esta teoría es que Alonzo Churhdesarrolló su “cálculo lambda” que fue la primera definición rigurosa de laidea de algoritmo (pocos meses después, de manera independiente, Turing presentó,con el mismo objetivo, su “máquina de Turing”).

Continuará…

El Omegón y todo eso... (Parte 19)

2011-12-24T20:24:00.003-03:00

Derivados ad infinitum...

(A la parte previa, A la parte siguiente)

Como decíamos ayer... estamos trabajando solamente con subconjuntos de los números reales. Recordemos, en ese contexto, cuál es la definición (una de las posibles) del concepto de punto de acumulación: un número r es punto de acumulación de un conjunto A si existe una sucesión a(1), a(2), a(3),.... formada por elementos de A, todos diferentes entre sí, tal que el límite de a(n) es r. (El número r puede, o no, pertenecer al conjunto.)

Con esta definición en la mano, observemos el conjunto A = {0}. Si lo miramos fijamente unos segundos no tendremos otro remedio que concluir que A no tiene puntos de acumulación (porque, de hecho, es imposible siquiera encontrar una sucesión formada por elementos de A todos diferentes entre sí).

Recordemos a su vez que Cantor llamó "conjunto derivado de A" (es decir, A') al conjunto formado por todos los puntos de acumulación de A. Luego, {0}' = vacío.

¿Seremos capaces de encontrar un conjunto B tal que B' = {0}? Un tal conjunto B debería contener una sucesión que tienda a 0, a fin de que este número se transforme en punto de acumulación de B. Luego, aunque no es la única opción, podemos tomar como B al conjunto {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4,...}. Luego B' = {0}.

Notemos que, para lograr que el derivado sea el conjunto formado por el 0 le "agregamos" al conjunto {0} una sucesión que converge a ese número.

¿Podremos encontrar un conjunto C tal que C' = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4,...}? Es decir, que 1, 1/2, 1/3,... sean todos puntos de acumulación de C (pregunta para el lector: ¿por qué no necesito mencionar al 0 en esta lista?). Pues bien, procedemos como antes, para obtener el conjunto C tomamos el 1 y agregamos una sucesión que converja a 1, tomamos después el 1/2 y agregamos una sucesión que converja a 1/2, etc.

El conjunto C tendrá entonces la forma siguiente: C = {0, 1, números de una sucesión que converge a 1, 1/2, números de una sucesión que converge a 1/2, 1/3, números de una sucesión que converge a 1/3,...}

De este modo, C' = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4,...}, C" = {0} y C''' = vacío.

Si a su vez quisiéramos hallar un conjunto D tal que D' = C tendríamos que agregarle a C una sucesión que converja a cada término de cada una de las sucesiones que agregamos en el paso anterior.

Y así, como hemos hecho más arriba, agregando sucesiones que convergen a los términos de las sucesiones que convergen a los términos de las sucesiones... Cantor logró encontrar un conjunto P tal que al calcular la secuencia P, P', P'', P''',... los sucesivos conjuntos resultantes estaban cada uno de ellos contenido en el anterior (esto no es sorprendente, siempre P^(n+1) está contenido en P^(n)), pero además tal que ninguno de los conjunto de la secuencia era vacío y tal que, en el límite (cuando el número de derivadas tendía al infinito), se obtenía el conjunto {0}.

Con toda justicia Cantor dijo que P^(infinito) = {0}. Todavía, por unos segundos, podemos imaginar que este infinito es el infinito potencial del límite (el "ocho acostado"). Pero entonces Cantor dio el paso que lo llevó a la imnortalidad: derivó otra vez. Y resulta que: (P^(infinito))' = P^(infinito + 1) = vacío. Y en consecuencia, inevitablemente, infinito + 1 no puede ser igual a infinito (porque P^(infinito + 1) no es igual a P^(infinito)).

Por supuesto, Cantor enseguida comprendió que si infinito + 1 no es igual a infinito entonces infinito + 1 no es igual a infinito + 2, ni a infinito + 3,..., infinito + infinito, etc. Estos infinitos no podían ser "potenciales", no podían ser "los del límite" (porque para el infinito del límite sí es cierto que infinito + 1 = infinito).

Tan revolucionaria era esta idea, que aun el propio Cantor, inicialmente negó la "existencia real" de estos infinitos. Durante casi diez años les negó entidad, hablaba de una "creación dialéctica de símbolos sin significado". Pero a medida que trabajaba con estos símbolos, que descubría su aritmética y su orden terminó finalmente por aceptar que había descubierto una nueva clase de números, a los que llamó números ordinales u ordinales transfinitos.

En la parte siguiente se inicia el estudio de estos números...

(A la parte previa, A la parte siguiente)

Blog del G4G

2011-10-23T20:09:00.003-03:00

Muchas de las charlas del Segundo Encuentro para Celebrar el Ingenio de Martin Gardner y Jaime Poniachik (incluída ésta) pueden leerse en el blog aquí enlazado.

La Paradoja del 21 de octubre de 2011

2011-10-23T10:15:00.006-03:00

(Ésta es la trancripción de mi participación en el Segundo Encuentro para Celebrar el Ingenio de Martin Gardner y Jaime Poniachik.)

Mi charla de hoy se titula "La Paradoja del 21 de octubre de 2011". Obviamente, voy a hablarles de una paradoja, pero antes, si me permiten, haré una pequeña introducción.

Una de las intenciones de este encuentro es recordar a Jaime Poniachik... En lo personal, con Jaime compartíamos el gusto, el disfrute por el personaje de Sherlock Holmes, el detective de ficción creado por Arthur Conan Doyle.

En una época, Jaime tenía, colgados en su casa, cuadritos con frases extraídas de los relatos de Holmes. Frases, por supuesto, todas ellas con alguna vuelta paradójica, ingeniosa o acertijera. Una de esas frases, que recuerdo bien, decía: "¡Bravo, esto se complica!".

Y ese "¡Bravo, esto se complica!" resume una buena parte del espíritu acertijero. Es una exclamación que dice: "Bravo, esto es un desafío", "Bravo, esto me obliga a esforzarme, a buscar, a intentar nuevos métodos". Pero también, el "¡Bravo, esto se complica!" se relaciona con el pensamiento del degustador de paradojas.

La palabra "paradoja" tiene diferentes acepciones (véase en este enlace), pero en cualquiera de ellas una paradoja se relaciona siempre con la idea de ruptura (de hecho, etimológicamente, la palabra "paradoja" viene del griego para doxa, que significa "fuera de la ortodoxia"). En una paradoja, la lógica, el lenguaje o la intuición son llevados a un punto extremo, un punto en el que ya no se sabe qué es verdad o es mentira.

Una paradoja suele ponernos frente a una situación en la que aquello que creíamos que era verdadero parece ser falso, o lo que creíamos falso parece ser verdadero. Pero, lejos de sentirse incómodo ante esta circunstancia, el degustador de paradojas disfruta de la situación y exclama "¡Bravo, esto se complica!".

Por ese motivo, en esta charla no sólo voy a contarles una paradoja, sino que también les plantearé un problema. La paradoja encerrará en sí misma un problema. Y de ese problema, no voy a darles la solución, sino solamente el planteo. Porque no busco que se vayan con la relajación del problema resuelto, sino con la tensión del problema sin resolver, con la sensación del "¡Bravo, esto se complica!".

Pero todavía antes de llegar a la paradoja, necesito hacer una pequeña aclaración técnica. Muchas veces, en Lógica, se estudian los llamados enunciados condicionales, es decir, oraciones que tienen la estructura "Si ... entonces ...". Por ejemplo, "Si Napoleón era inglés entonces la capital de Brasil es Montevideo". A la primera parte de la oración, "Napoleón era inglés", se la llama el antecedente de la afirmación. A la segunda parte, "La capital de Brasil es Montevideo", se llama el consecuente.

Ahora bien, un principio de la Lógica dice que si en una afirmación condicional el antecedente es falso entonces la afirmación completa es verdadera (independientemente de lo que suceda con el consecuente). Por ejemplo, dado que es falso que "Napoleón era inglés" entonces la afirmación completa "Si Napoleón era inglés entonces la capital de Brasil era Montevideo" es verdadera.

Vayamos, ahora sí, a la paradoja. La paradoja se titula "del 21 de octubre de 2011" por un doble motivo. Por una parte, porque la estoy contanado el día de hoy, 21 de octubre de 2011 [día del Encuentro], sino también porque incluye esa fecha en su enunciado.

La paradoja se basa en la oración: "Si el 21 de octubre de 2011 es sábado entonces el 22 de octubre de 2011 es lunes".

La pregunta es: ¿la oración es verdadera o falsa?

Veamos, el 21 de octubre de 2011 es viernes, no sábado. El antecedente de la afirmación es falso, por lo tanto, el principio de la Lógica que antes mencionaba nos dice que la afirmación es verdadera.

Pero, por otra parte, la lógica del calendario nos dice que si "el 21 de octubre de 2011 es sábado" entonces, el 22 de octubre de 2011 (el día siguiente) es domingo, no lunes. Por lo tanto, la lógica del calendario nos dice que la afirmación es falsa.

He ahí la pardoja: tenemos una afirmación que es, al mismo tiempo, verdadera y falsa. Y he ahí también el problema, que consiste en determinar cuál de las dos alternativas es la correcta: ¿la afirmación es verdadera... o es falsa?

Como dije antes, no voy a dar la solución del problema. Los invito solamente a que miren atentamente la afirmación "Si el 21 de octubre de 2011 es sábado entonces el 22 de octubre de 2011 es lunes" y que exclamen conmigo "¡Bravo, esto se complica!".

Muchas gracias.

[La imagen está tomada de http://juegosdeingenio.org/]

Paradoja

2011-10-15T11:25:00.002-03:00

1. Existe un único conjunto vacío.

2. Si dos conjuntos tienen el mismo complemento, entonces son iguales.

3. Llamemos R al conjunto de los números reales. El complemento de R es el conjunto vacío.

4. Llamemos C al conjutno de los números complejos. El complemento de C es el conjunto vacío.

5. De las afirmaciones 3, 4 y 1 se deduce que R y C tienen el mismo complemento.

6. De las afirmaciones 5 y 2 se deduce que R = C.

Conclusión: Existe un número real que elevado al uadrado es -1.

Segundo Encuentro para celebrar el ingenio de Martin Gardner y Jaime Poniachik

2011-10-03T10:50:00.010-03:00

Viernes 21 de octubre, de 19 a 22:30 (empieza puntual), en la Librería Hernández , Av. Corrientes 1436 (al fondo, bajando la escalera), Ciudad de Buenos Aires.

Se recomienda llevar papel y lápiz.

Éste es el Programa de las charlas (duración aproximada: 10 minutos cada una):

Adenda del 28.01.12: En el caso de que existan, y yo los conozca, he agregado enlaces a sitios donde se pueden leer los contenidos de las charlas.

1) Palabras de apertura (Rodolfo Kurchan).

2) Jaime Poniachik Acertijero I (Pablo Coll): Una selección arbitraria, según el gusto del curador, de la producción de acertijos de Jaime en el grupo Los Acertijeros durante la década del '90.

3) ¿Cómo se llama esta charla? (Ariel Arbiser): Éste es el resumen de la charla, que tiene treinta palabras. Para ser un poco más precisos, trataremos sobre frases y fórmulas autorreferentes (como esta misma frase), y paradojas vinculadas.

4) Física y Publicidad (Claudio Sanchez): Enigmas y curiosidades planteados sobre anuncios publicitarios.

5) Estratosfera (Ivan Skvarca): Un solitario de fichas para resolver volando.

Primer intervalo.

6) De viajes en el tiempo e hipercomputadoras (Ariel Futoransky): En un curioso articulo publicado en una prestigiosa revista de psicología social, se da cuenta de algunos experimentos que supuestamente mostrarían evidencia de precognición. Dejando el escepticismo de lado por un rato, exploraremos las ingeniosas posibilidades que nos brinda ese mundo sugerido, construyendo algunas maquinas de extrañas características, resolviendo problemas aparentemente imposibles y hasta curando enfermedades desconocidas.

7) Rebuses (Esteban Grinbank): Indaga, busca y REBUSca, ¿de qué se trata?

8) Las 10 de ultima (Claudio Meller): Un grupo de acertijos variados similares a los que aparecían en la famosa sección de la Revista Juegos.

9) La paradoja del 21 de Octubre (Gustavo Piñeiro): Una paradoja de la lógica y el lenguaje basada en esta pregunta: ¿Qué pasaría si el 21 de octubre de 2011 fuera sábado?

Segundo intervalo.

10) La multiplicación de los chocolates (Pablo Milrud): Un problema sencillo, con una respuesta inesperada… o no tanto.

11) Charla para captar la Batata Macabra (Maia Buligovich/Gabriel Marchesini)

12) Palabras con 0,1 y 5, Cajafuerte y el acertijo del subte (Rodolfo Kurchan): Acertijos de mis reuniones con Jaime Poniachik.

13) Cierre: Intercambio de opiniones sobre las charlas y acertijos. Reunión de 2012.

Se agradece la difusión del encuentro.

¿Raíz cúbica? (conclusión)

2011-09-23T10:45:00.006-03:00

(Viene de 1, 2, 3, 4.)

Sea f(x) una función definida en algún subconjunto de los números reales (cuyas imágenes son también números reales). Si a es un número real que está en el dominio de f(x) y a = b entonces b también está en el dominio de f(x) y además f(a) = f(b).

La afirmación anterior es virtualmente un axioma de uso universal en la Matemática. Empleo aquí la palabra "universal" en el sentido de que el axioma es implícitamente aplicado casi todo el tiempo en todas las ramas de la Matemática. Por citar solamente un ejemplo entre miles, cuando al resolver una ecuación decimos que 2x = 3 implica que x = 3/2 estamos haciendo uso de ese axioma. En ese caso f(x) = (1/2)x, a = 2x, b = 3. [El axioma también vale aunque los conjuntos numéricos involucrados sean otros, diferentes de los reales. Hablé específicamente de los números reales para destacar el hecho de que el tema de esta entrada no involucra a los complejos.]

Consideremos ahora las siguientes afirmaciones, en las que f(x) = (-1)^x. Nótese que la función f(x) está definida, al menos, en el conjunto de los números enteros. La pregunta aquí es si ese dominio puede extenderse de manera consistente a al menos algunos números racionales no enteros.

Afirmación 1: 1/3 = 2/6.

(Pregunta: ¿1/3 y 2/6 son "iguales" o "equivalentes"? Respuesta: Son equivalentes porque son iguales. Es decir, se llaman fracciones equivalentes a aquellas que representan el mismo número real. 1/3 y 2/6 son solamente dos formas de escribir el número real que también puede ser representado como 3/9 o como 0,333...)

Afirmación 2: Supongamos que 1/3 está en el dominio de f(x).

Conclusión 3: De las afirmaciones 1 y 2, y del axioma enunciado más arriba, se deduce que 2/6 está en el dominio de f(x) y que f(1/3) = f(2/6).

Conclusión 4: De 3 se deduciría que -1 = 1, ya que f(1/3) se define como -1 y f(2/6) se define como 1. (Véase aquí la deducción completa y véase aquí por qué no es válido hablar de un "doble signo" para la raíz sexta.)

La conclusión 4 es una contradicción. En consecuencia, una de las premisas que nos llevó a ella debe ser falsa. La única falsedad posible aparece en la afirmación 2. Por lo tanto es absurdo suponer que 1/3 está en el dominio de f(x). Luego, 1/3 no está en el dominio de f(x), es decir...

...es decir que (-1)^(1/3) no existe
(ni tampoco, por supuesto, (-1)^(2/6) o (-1)^0,333....).

Podríamos preguntar ¿acaso (-1)^(1/3) no es la raíz cúbica de -1? (De ahí el título "¿Raíz cúbica?" que llevaban estas entradas). La respuesta es que no, no lo es. La igualdad x^(1/3) = "raíz cúbica de x" solamente vale si x es mayor que 0. La igualdad es falsa si x es negativo, porque en ese caso x^(1/3), simplemente, no existe.

¿Raíz cúbica? (otra vez)

2011-09-03T10:00:00.007-03:00

Digámoslo así... Consideremos estas tres afirmaciones:

Es obvio que las tres no pueden ser simultáneamente verdaderas. La pregunta es... ¿cuál es la afirmación falsa?

(Como en toda esta última serie de entradas, las igualdades se entienden en R.)

Finaliza aquí.

Otro Plagio

2011-09-02T14:02:00.002-03:00

Otro plagio en la revista "Apuntes de Historia de las Matemáticas", de la Universidad de Sonora (para el anterior, véase aquí o aquí). Una vez más, la "firma" es de Fancisco Javier Tapia Moreno, pero esta vez la víctima es Miguel De Guzmán.

En efecto, el artículo sobre Apolonio, publicado en el volumen 1, número 1, del año 2002, de la revista antes mencionada (véase aquí o aquí), es una copia textual del artículo de Miguel de Guzmán, de 1986, que puede leerse on line en este enlace.

¿Raíz cúbica? (comentario lateral)

2011-09-01T22:18:00.003-03:00

Supongamos que admitiéramos un "doble signo" para la raíz sexta. Entonces la raíz sexta de 64 sería 2 y también -2.

Ahora bien, como 1/3 = 2/6, tendríamos que:

2 = raíz cúbica de 8 = 8^(1/3) = 8^(2/6) = raíz sexta de 64 = 2 y -2

Luego, 2 = -2. Absurdo.

Por lo tanto, raíz sexta de 64 es igual (solamente) a 2... o bien la Matemática es inconsistente.

Sigue aquí.

¿Raíz cúbica? (Adenda)

2011-08-31T14:00:00.004-03:00

¿Cuánto vale (-1)^0,333....? Considerando que 0,333... = 2/6 y que 0,333.... = 1/3.

(Adenda a la entrada anterior.)

Sigue aquí.

¿Raíz cúbica?

2011-08-30T21:52:00.006-03:00

Como todos sabemos, 1/3 = 2/6. Por lo tanto, (-1)^(1/3) = (-1)^(2/6), donde el símbolo ^ significa, como siempre, "elevado a la...". Tenemos así que:

-1 = "raíz cúbica de -1" = (-1)^(1/3) = (-1)^(2/6) = "raíz sexta de (-1)^2" = "raíz sexta de 1" = 1

Luego, -1 = 1.

Nota: Todas las igualdades deben entenderse en el contexto de los números reales. En ese contexto, la raíz sexta de un número positivo a se define como el único número positivo b tal que b^6 = a. Por lo tanto, la raíz sexta de (-1)^2, que es la raíz sexta de 1, vale 1.

Sigue aquí.

Razonamiento

2011-08-17T18:28:00.005-03:00

Teorema: Dado cualquier número irracional existe una sucesión de números racionales que converge a él.

Demostración: Tomemos, por ejemplo, el número Pi = 3,141592... Consideremos la sucesión: 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415;... Es claro que se trata de una sucesión de números racionales que converge a Pi. Por otra parte, es obvio también que el mismo procedimiento puede repetirse para cualquier otro número irracional. Por lo tanto el teorema queda probado.

La pregunta es: ¿Es válida esta demostración?

Jueguito

2011-08-03T10:44:00.002-03:00

El día de hoy, 3.8.11, tiene la peculiaridad de que el número del año (sólo sus dos últimas cifras) es la suma del número del día más el número del mes. El último día del siglo en el que esto ocurrirá será el 31 de diciembre de 2043.

Los próximos días del año 2011 en los que esto vuelve a suceder son, por supuesto, el 2 de septiembre y el 1º de octubre, pero no habrá días así en noviembre ni en diciembre (ya que el "cero de noviembre" no existe, ni mucho menos el "menos uno de diciembre"). En el año 2013, en cambio, todos los meses tendrán un día en el que la suma del número del mes y del número del día será el número del año.

Dos preguntas para jugar un rato:

1) ¿Cuál será el último año del siglo que contendrá doce días en los que la suma del número del mes y del número del día sea el número del año?

2) ¿Cuál será el primer año futuro que contendrá solamente un día así?

Nota: Al releer lo escrito caigo en la cuenta de que las preguntas pueden interpretarse de dos maneras diferentes. Puede pensarse "un año" como cualquier período que comienza algún 1º de enero y termina el 31 de diciembre inmediato siguiente (que es la interpretación que tenía en mente cuando escribí las preguntas por primera vez) o puede pensarse "un año" como cualquier período de 365 (¿o 366?) días consecutivos. Elijan ustedes la que prefieran.

Una cita

2011-08-03T10:27:00.006-03:00

Pienso que si queremos aprender algo realmente profundo acerca de una cosa, hemos de estudiarla no en su forma "normal", regular o usual, sino en su estado crítico, febril y apasionado. Si desea usted conocer el cuerpo normal y saludable, estúdielo cuando es anormal, cuando está enfermo. Si quiere usted conocer las funciones, estudie sus singularidades. Si quiere usted conocer los poliedros ordinarios, estudie sus lindes lunáticas. Es así como se puede llevar el análisis matemático al corazón mismo del problema.

Citado de Imre Lakatos (1994); Pruebas y Refutaciones (La lógica del descubrimiento matemático); Alianza Universidad, tercera reimpresión; Madrid; página 40. A su vez, Lakatos parafrasea un artículo de A. Denjoy, de 1919. Cuando habla del "análisis matemático" no se refiere al Cálculo, sino al "estudio de la Matemática". La frase representa el espíritu de muchas de mis intervenciones en este blog.

Solución de "Un curioso problema de sombreros"

2011-07-30T18:27:00.006-03:00

(Viene de este problema.)

La solución es la siguiente: El coordinador se coloca en un extremo de la habitación e indica que 50 personas se coloquen a su derecha y las otras 50 a su izquierda. Luego ordena que se emparejen, cada persona de la derecha con una persona de la izquierda.

La siguiente indicación del coordinador es que cada uno mire el sombrero de su pareja y que al sonar el gong hagan lo siguiente:

a) El miembro de la pareja que estaba inicialmente a la derecha debe decir en voz alta el color que esté viendo (por ejemplo, si su pareja tiene un sombrero blanco entonces dirá "blanco").

b) El miembro de la pareja que estaba inicialmente a la izquierda debe decir en voz alta el color opuesto al que esté viendo (por ejemplo, si su pareja tiene un sombrero blanco entonces dirá "negro").

Comprobemos que este mecanismo asegura que 50 personas dirán su propio color de sombrero. Hay cuatro casos a considerar: que los dos tengan sombreros blancos, que los dos tengan sombreros negros, que el de la derecha tenga blanco y el otro negro, y el opuesto de este último caso.

Si los dos tienen sombreros blancos, al sonar el gong el miembro de la derecha dirá "blanco", su propio color de sombrero. (El otro miembro de la pareja dirá "negro" y fallará.)

Si los dos tienen sombreros negros, al sonar el gong el miembro de la derecha dirá su color de sombrero y el otro miembro fallará.

Es fácil ver que si los colores de sombrero son diferentes entonces el miembro de la izquierda dirá su propio color y el de la derecha se equivocará.

En resumen: al sonar el gong, exactamente un miembro de cada pareja dirá su propio color de sombrero, por lo tanto un total de exactamente 50 personas acertará. Todo esto sin que el coordinador necesite ver un solo sombrero.

Hasta aquí el problema planteado por Adrián Paenza. Demos ahora una vuelta de tuerca.

Supongamos que haya un segundo gong. Una sola indicación adicional puede lograr que al sonar este segundo gong las 100 personas digan correctamente su propio color de sombrero. La indicación sería:

c) Observe qué dijo su compañero al sonar el primer gong. Si su compañero acertó al decir su propio color de sombrero entonces, al sonar el segundo gong, usted cambie lo que dijo la primera vez (por ejemplo, si la primera vez usted dijo "blanco", al sonar el segundo gong dirá "negro"). Si su compañero falló al decir su propio color, entonces, al sonar el segundo gong usted repetirá lo que dijo la primera vez.

De esta forma, con tres simples indicaciones, se logra que, al sonar el segundo gong, las 100 personas digan correctamente su propio color de sombrero.

Sobre la indecidibilidad de la indecidibilidad

2011-06-22T19:46:00.003-03:00

Una pequeña demostración basada en el Segundo Teorema de Gödel

Vamos a demostrar que el problema de determinar si un enunciado P es decidible con respecto a una teoría T no es resoluble algorítmicamente.

Hagamos la demostración por el absurdo. Supongamos que sí hubiera un algoritmo A que resuelve ese problema y lleguemos a una contradicción.

Sea T una teoría "que contiene suficiente aritmética" y CON un enunciado que expresa (en cierto nivel de lectura) que T es consistente. Recordemos que el Segundo Teorema de Gödel dice que si T es consistente entonces CON es indecicible con respecto a T.

Apliquemos el algoritmo A para determinar si CON es decidible con respecto a T. Si la respuesta de A es que CON es decidible, entonces T es inconsistente (por el Segundo Teorema). Si la respuesta de A es que CON es indecidible entonces T es consistente (porque sólo las teorías consistentes admiten enunciados indecidibles).

Por lo tanto, si A existiera tendríamos un algoritmo que permite determinar si una teoría es consistente, o no. Pero una consecuencia del Segundo Teorema de Gödel es que tal algoritmo no puede existir. Llegamos a un absurdo. Por lo tanto A no existe.

Plagio

2011-06-11T19:08:00.004-03:00

En el volumen 2, número 2, de mayo de 2003, de la revista de Historia de la Matemática de la Universidad de Sonora, México, aparece un artículo titulado Historia de los Logaritmos, firmado por Francisco Javier Tapia Moreno (véase aquí o aquí), que es una copia textual del artículo del mismo título que aparece en Axioma Nº 2, del año 1996 (véase aquí). Textual, palabra por palabra, con tablas, gráficos y todo.

Nuestro profundo abucheo para el ¿señor? Francisco Javier Tapia Moreno.

Se ruega difundir esta noticia por todos los medios posibles.

^ (Parte 2 y definitivamente última)

2011-05-09T08:11:00.000-03:00

La extensión no es abuso

Resumen de lo publicado: En el capítulo anterior hemos definido a^n como el producto de a por sí mismo n veces. Esta definición vale para todo a real y siempre n sea un entero estrictamente positivo. En particular, la propiedad que dice que a^n/a^m = a^(n - m) sólo puede ser enunciada y aplicada si n es estrictamente mayor que m, o sea, si n - m es un entero estrictamente mayor que cero, ya que ése es, por ahora, el único conjunto en el que pueden estar nuestros exponentes.

P: ¿Qué pasa con a^0?

R: No sé.

P: Propongo la siguiente demostración: a^0 = a^(1 - 1) = a^1/a^1 = 1, si a no es cero, por supuesto.

R: Me temo que su demostración es errónea. Como está dicho más arriba, la propiedad para a^(n - m) sólo vale si n es mayor que m. No se aplica si n = m, simplemente porque a^0 todavía no está definido.

a^0, a priori, podría definirse de cualquier manera. Podría se 234 o 9. Hasta cierto punto las definiciones matemáticas son arbitrarias, porque la Matemática es, en gran medida, una creación puramente humana. Sin embargo, como dije, las definiciones son arbitrarias "hasta cierto punto". Hay ciertas reglas que deben (o que suelen) cumplirse, tales como el respeto a la consistencia lógica o a la elegancia ("no hay lugar en el mundo para Matemáticas feas", decía Hardy).

En el caso de a^0 la elegancia obliga a que la operación sea definida de modo tal que, en la medida de lo posible, sigan valiendo las propiedades que valían para los exponentes enteros positivos. Por lo tanto la "demostración" de más arriba no es tal, pero sí es una indicación de que el modo razonable de definir a^0 es como 1.

P: Si a no es cero, ya que el razonamiento lo pide explícitamente.
R: De acuerdo. Pero antes de responder a eso le hago una pregunta ¿está de acuerdo en que si a es disitnto de cero entonces 2.a = a.2?
P: Obviamente.

R: Luego, usted diría que es verdad que: "si a no es cero entonces 2.a = a.2".
P: Ya le he dicho que sí.
R: ¿Por lo tanto para a = 0 es falso?
P: Usted sabe que no es así. El hecho de que la afirmación valga para a distinto de cero no nos dice nada acerca de lo que vale, o no vale, para a = 0.

Por lo tanto, que a^0 = 1 para a distinto de cero no nos dice nada acerca de lo que vale, o no vale, para a = 0. De hecho, como ya se ha demmostrado en este blog, no hay inconsistencia en definir 0^0 como 1.

Por lo tanto:

Caso 2: a^0 se define como 1 para todo a real.

P: Pero ésta operación no es ahora la misma que definimos en la entrada anterior, ya que antes sólo admitía exponentes positivos y ahora admite el cero. ¿No es un abuso de notación usar el mismo símbolos para ambas operaciones?
R: La extensión no es abuso. Hemos extendido el dominio de la operación y, por lo tanto, es perfectamente razonable (y de uso en toda la comunidad matemática) el emplear el mismo símbolo para ambas, sin que ello implique ambigüedad o error potencial. De otra forma, deberíamos usar un símbolo para sumar 2 + 2 cuando la suma se hace como números naturales, otro símbolo para sumarlos como enteros, otro para sumarlos como racionales, otro para sumarlos como números en Q(r(2)), otro en Q(r(2),r(3)), otro en... (infinitos casos aquí),... otro como algebraicos, otro como reales, otro como complejos, otro como cuaterniones,... Es más razonable (y razonable es una palabra suave) considerar que todas estas sumas son en realidad la misma operación que se va extendiendo a los sucesivos conjuntos numéricos y usar, en consecuencia, el mismo símbolo en todos los casos.

De la misma forma, la potenciación, la misma potenciación, ha sido extendida aquí de los naturales a los naturales con el cero.

P: ¿Y qué pasa con la función Pot(x,y) = x^y de la que he leído por ahí?
R: Por supuesto, usted tiene derecho a definir todas las funciones que quiera. Pero su función Pot es sólo una entelequia que no juega ningún papel en lo que estamos haciendo aquí. En realidad, la potenciación es una función de una sola variable. Fijado el parámetro a, definimos a^x "ascendiendo" por los sucesivos conjuntos numéricos. Para cada a tenemos una función exponencial diferente (tal como se enuncia en todos los libros de matemáticas que hablan del tema).

No voy a aburrirlos con las definiciones de a^r para r entero negativo o r racional, que se "deducen" de manera similar a como se deduce a^0 (con restricciones para el parámetro a en cada caso). El valor de a^r para r real positivo o negativo (con la restricción de que a debe ser positivo) se define, por ejemplo, aproximando r por una sucesión de racionales (o bien definiendo primero e^r mediante una serie y luego procediendo a partir de allí).

La verdad es que yo mismo estoy aburrido de este tema. Señoras y señores, es perfectamente válido y necesario definir 0^0 como 1. A quien no le guste, o quien, contra todo argumento racional, siga creyendo que no es así, está en todo su derecho a equivocarse. Y si alguien quiere protestar, la protesta será publicada en el blog. Pero ya no tendrá respuestas de mi parte. Ninguna respuesta. Todo lo que tenía que decir (y mucho más) sobre este tema ya lo he dicho. 3, 2, 1... Adiós.

Un curioso problema de sombreros

2011-05-08T18:54:00.003-03:00

Unos días atrás vi, en uno de sus programas de televisión, a Adrián Paenza mientras contaba la solución de un problema de lógica. No llegué a ver el enunciado, pero creo que pude deducirlo con bastante exactitud a partir de la solución. El enunciado del problema (al que me parece que le estoy agregando algún dato adicional) diría más o menos así:

En una habitación (una habitación grande) hay 100 personas. Algunos tienen sombreros blancos y otros tienen sombreros negros. Nadie puede ver su propio color de sombrero, aunque sí puede ver el color de todos los demás. Las personas no saben qué cantidad de sombreros de cada color hay en total (incluso podrían ser todos del mismo color), por lo que inicialmente nadie tiene información suficiente como para deducir su propio color de sombrero. En un momento dado sonará un gong. En ese instante todas las personas dirán a la vez un color (blanco o negro).

Supongamos que, además, hay un coordinador (un individuo adicional, que no tiene sombrero). El coordinador no le puede dar a nadie información acerca del color de sombrero que tiene (más aún, el coordinador podría ser ciego o tener los ojos vendados). De hecho, el coordinador no puede dar ninguna información del tipo que sea. Las personas con sombreros tampoco pueden darse información entre sí. El coordinador tiene permitido dar órdenes o instrucciones a las personas con sombreros, siempre que no impliquen transmisión de información. Las personas con sombreros sólo dirán una palabra en el momento que suene el gong, y nada más. (Por supuesto no hay trampas, como la existencia de espejos, o que se hagan señas, etc.)

El objetivo del coordinador es lograr que, cuando suene el gong, al menos la mitad de las personas presentes diga su propio color de sombrero.

Por supuesto, si todos dicen un color al azar, hay una alta probabilidad de que al menos la mitad acierte con su propio color, pero no queremos eso, queremos la certreza absoluta de que al menos la mitad acertará. La pregunta es: ¿qué instrucciones debe dar el coordinador para asegurase de que al menos la mitad acertará?

Para quienes no hayan visto el programa, les dejaré unos días para que piensen la respuesta. Mi intención no es tanto plantear el problema en sí, como comentar (en la próxima entrada) una curiosa consecuencia de la solución.

La solución puede verse aquí.

Pruebas de elección múltiple

2011-05-05T17:51:00.003-03:00

1. Marque con X las respuestas correctas (podría no haber ninguna):

a) Ninguna respuesta es correcta. ( )

b) Esta respuesta es correcta. ( )

c) Todas las respuestas son correctas. ( )

2. Marque con X las respuestas correctas (podría no haber ninguna):

a) Esta respuesta es correcta. ( )

^ (Parte 1)

2011-03-24T11:27:00.004-03:00

Definición comentada de la operación de potenciación

La intención de esta breve serie de entradas es exponer la definición de la operación de potenciación tal como es aceptada universalmente por la comunidad matemática, agregando algunos comentarios que normalmente son omitidos en los textos. Hago la aclaración de que las limitaciones de Blogger me obligan a indicar la operación con el símbolo "^", aunque todos sabemos que usualmente se indica poniendo el exponente en tamaño pequeño y un poco elevado por sobre la línea de escritura.

El primer punto a tomar en cuenta es que la potenciación es una operación que se define por casos sucesivos, según el conjunto numérico en el que se encuentre el exponente. Iniciaré con un caso muy básico:

Caso 1: a^2 = a.a. (El número a puede ser cualquier número real.)

[René Descartes fue el primero, o al menos uno de los primeros, en usar esta notación.]

Pregunta: ¿Por qué a^2 es a.a? ¿Podría ser a^2 = a + a?

Respuesta: Que a^2 sea igual a a.a es sólo una convención de notación que, evidentemente, fue elegida porque resultaba útil (podemos conjeturar que el producto de un número por sí mismo aparecía muchas veces en los cálculos y eso justificó el uso de una notación específica para esa operación. La respuesta a la segunda pregunta es claramente que sí. Las notaciones matemáticas dependen muchas veces de elecciones arbitrarias que pudieron haber sido muy diferentes.

Pregunta: ¿Es un abuso de notación el usar el mismo símbolo ^ (en realidad, la notación del exponente) para (-2)^2 o para 3^2.

Respuesta: Obviamente, no. En ambos casos hablamos de multiplicar un número por sí mismo así que ¿por qué sería un abuso de notación? Si Ud. le hubiera planteado esa pregunta a Descartes, seguramente le habría tirado un borrador por la cabeza, como un par de siglos después haría otro francés, Galois, con un examinador que le hacía preguntas de ese estilo (claro que aquél borrador no era de madera como los nuestros, sino que era una esponja).

Caso 1 (ampliado): a^n = a.a....a (Donde a se repite n veces.)

El número a puede ser cualquier número real. El valor de n sólo puede ser un entero estrictamente positivo, es decir: 1, 2, 3, 4,... ya que sólo para esos valores puede hablarse de "cantidad de veces". Puee darse una definición inductiva de este caso, pero es sólo una formalización más elegante de la misma idea.

Propiedades:

Importante: Hasta ahora sólo hemos definido el cálculo de potencias con exponente entero estrictamente positivo y, como consecuencia, las propiedades se refieren sólo a ese caso. En el punto 3 el valor de a debe ser distinto de cero, en los demás puede ser cualquier número real.

1. (a^n).(a^m) = a^(n + m)

2. (a^n)^m = a^(n.m)

3. a^n/a^m = a^(n - m). Esta propiedad vale (por ahora) solamente si n es estrictamente mayor que m, porque de lo contrario en el miembro derecho tendríamos una potencia que todavía no hemos definido. Obviamente a debe ser distinto de cero.

Pregunta: ¿Qué pasa con a^0?

Respuesta: Todavía no lo hemos definido, aparecerá en el caso siguiente.

Continuará...

La autorreferencia en la demostración de Gödel (Parte 9 y última)

2011-03-10T17:10:00.005-03:00

(A la parte 8)

Todo enunciado aritmético verdadero es demostrable

La intención principal de esta serie de entradas fue despejar algunas "preguntas frecuentes" relativas a los teoremas de Gödel. Por ejemplo: ¿Cómo es posible que un sistema axiomático sea consistente con la afirmación que dice que ese sistema no es consistente? ¿Puede ser demostrable un enunciado falso? Etc.

Como vimos, en los teoremas de Gödel hay tres niveles de análisis del lenguaje. Por un lado está el nivel sintáctico, en el que los símbolos del lenguaje se manipulan sin tomar en cuenta su posible significado (en este nivel se enuncian y demuestran los teoremas de Gödel).

Tenemos después el nivel semántico, en el que los enunciados se entienden como referidos a un cierto universo del discurso. Este universo puede ser el de los números naturales u otro universo más amplio. Este es el nivel en el que los matemáticos se mueven en su trabajo diario y es, en general, el nivel en el que nos sentimos más cómodos.

En el tercer nivel (que en el capítulo anterior di en llamar supra-aritmético), gracias a una codificación arbitrariamente definida, algunos enunciados pueden entenderse como referidos a propiedades metamatemáticas de sí mismos o de otros enunciados. Es sólo en este tercer nivel de análisis donde aparece la autorreferencia o la referencia a la consistencia de un sistema de axiomas.

La mayoría de las confusiones relativas a los teoremas de Gödel nacen de mezclar indebidamente conceptos pertenecientes a niveles diferentes. En efecto es un error mezclarlos porque, por ejemplo, tal como vimos en el capítulo anterior, hay enunciados que son equivalentes en un nivel, pero no equivalentes en otro nivel diferente.

Como dije en un capítulo anterior, la autorreferencia no es esencial para la demostración de los teoremas de Gödel. La interpretación de un enunciado como diciendo "Yo no soy demostrable" solamente ayuda a hacer más aceptable, o más creíble, la prueba de Gödel, pero no forma parte esencial de ella. ¿Por qué se hace tanto hincapié en la autorreferencia, entonces? Porque los matemáticos, créase o no, no son frías máquinas de calcular, sino seres humanos, y las demostraciones (especialmente aquellas que el matemático A hace para que el matemático B se convenza de que lo que está diciendo es cierto) no sólo deben ser correctas, sino también convincentes.

No quiero terminar esta serie de entradas sin antes referirme a otro error frecuente en relación al Primer Teorema de Gödel. Este error aparece, por ejemplo, en la novela El Tío Petros y la Conjetura de Goldbach. El Tío Petros, el protagonista de la novela, es un matemático bastante talentoso que, a una edad relativamente temprana, se obsesiona con la idea de demostrar la Conjetura de Goldbach.

Unos años después de iniciar su empresa, Petros se entera de la noticia de la demostración de Gödel y se plantea la duda de si la Conjetura de Goldbach no será una afirmación indecidible. Petros cree tener el talento suficiente como para encontrar una demostración de la Conjetura, si es que esta demostración existe. Pero ante la posibilidad de que tal vez la Conjetura sea verdadera, pero indemostrable, decide abandonar el intento de probarla y, de hecho, abandona toda investigación matemática.

Ahora bien, en los capítulos anteriores hemos hablado siempre de "demostrable con respecto a cierto sistema de axiomas" o "indecidible con respecto a tal sistema de axiomas". Pero ¿existen afirmaciones indecidible en sentido absoluto? ¿Hay verdades indemostrables? ¿Por qué digo "sistema de axiomas" y no "conjunto de axiomas?

Respondo primero a la segunda pregunta. Cuando hablamos de demostraciones, consistencia, etc. no sólo debemos tener en cuenta a los axiomas de la teoría en cuestión, sino que también debemos tener en cuenta la lógica subyacente y las reglas de inferencia. Hablo de "sistema de axiomas" como equivalente a "conjunto de axiomas + lógica subyacente + reglas de inferencia".

La lógica subyacente está formada los enunciados del lenguaje que son "universalmente válidos". Es decir, enunciados que son verdaderos cualquiera sea la interpretación que se dé a los símbolos del lenguaje. Nótese que esta definición es semántica. Un ejemplo es "P o no-P", donde P es un enunciado cualquiera. Se habla de "lógica subyacente" porque estos enunciados pueden formar parte (y, de hecho, forman parte) de cualquier razonamiento.

Si el lenguaje respeta las restricciones que comentamos en un capítulo anterior, entonces es posible dar un sistema recursivo de axiomas que permita deducir todos los enunciados universalmente válidos expresables en ese lenguaje. Este hecho, que fue probado por Gödel en 1929 (sus teoremas de incompletitud son de 1931), nos habilita a dar una definición sintáctica de la noción de "enunciado universalmente válido": son todos aquellos que se deducen, modus ponens mediante, del sistema de axiomas que Gödel dio en 1929 (o de cualquier otro equivalente a él).

Los lenguajes que respetan las restricciones antes indicadas se llaman lenguajes de primer orden. Se dice, entonces, que la lógica de primer orden es formalizable o que es recursivamente axiomatizable. Como la lógica de primer orden es recursivamente axiomatizable entonces existen chances de que una teoría expresada en un lenguaje así pueda cumplir las condiciones del Programa de HIlbert (la Aritmética no las cumple, eso probó Gödel, pero otras teorías sí pueden cumplirlas).

Aumentemos ahora la potencia del lenguaje mediante el artilugio de agregarle variables que se refieran a enunciados o a fórmulas (una fórmula es una expresión en la que hay "variables libres", que pueden ser reemplazadas por números cualesquiera, como por ejemplo "x es par").

Tenemos ahora un lenguaje de segundo orden, o de orden superior. En este tipo de lenguaje podemos decir, por ejemplo (en un lenguaje de primer orden no se puede expresar el enunciado que sigue):

"a = b si y sólo si para toda fórmula P(x), P(a) es equivalente a P(b)"

En los lenguajes de segundo orden tenemos también el concepto de "enunciados universalmente válidos" (y que constituyen la "lógica subyacente" de las teorías expresadas en esos lenguajes). Sin embargo, se puede probar que es imposible dar un conjunto recursivo de axiomas que permita demostrar todos los enunciados universalmente válidos de segundo orden.

En la lógica de segundo orden, entonces, no hay una definición sintáctica para la lógica subyacente y, por ende, el Programa de Hilbert es de plano irrealizable en teorías expresadas en lenguajes de este tipo.

Toda demostración expresada en un lenguaje de segundo orden es no-finitista, en el sentido de que la lógica subyacente no es definible sintácticamente (y no porque tenga una cantidad infinita de pasos). La regla de inferencia que se usa en las lógicas de segundo orden, y que tampoco es finitista, es la siguiente: "Q se deduce de P si para toda interpretación de los símbolos para la cual P es verdadera resulta que Q también es verdadera".

Ahora bien, si al lenguaje que dimos antes para la Aritmética le agregamos variables para los enunciados y fórmulas (y lo transformamos en un lenguaje de segundo orden) entonces es posible dar un conjunto finito de axiomas (concretamente, los Axiomas de Peano) tal que todo enunciado aritmético verdadero es demostrable a partir de ellos.

Insisto, todo enunciado aritmético verdadero es demostrable a partir de los Axiomas de Peano, si admitimos una lógica de segundo orden. (La teoría tiene indecidibles, pero no son enunciados aritméticos). En particular, si la Conjetura de Goldbach es verdadera entonces es demostrable.

Aunque es imposible prever qué tan difícil será encontrar una demostración de ella, ni tampoco será posible dar un algoritmo que verifique su corrección. De modo que el Tío Petros hizo muy mal en abandobar su búsqueda.

Termina aquí esta serie de entradas. Espero haber resuelto algunas dudas, pero, principalmente, espero haber sembrado dudas nuevas, mejores y más resistentes.

Fin

(A la parte 8)

La autorreferencia en la demostración de Gödel (Parte 8)

2011-03-10T08:26:00.009-03:00

(A la parte 7 - A la parte 9)

La Paradoja de Gödel

El Segundo Teorema de Incompletitud de Gödel dice que, si tenemos un sistemas de axiomas como el que les han dado a Kurt y a David, entonces la afirmación de que ese sistema es consistente no puede ser demostrada ni refutada a partir de los axiomas del sistema. Es decir, esa afirmación es indecidible para el sistema.

Una consecuencia de esto es que el sistema de axiomas es consistente con la afirmación que dice ¡que el sistema de axiomas es inconsistente!. Si al sistema le agregamos la afirmación que dice "El sistema es inconsistente" igualmente seguiremos teniendo un sistema que es consistente.. ¿Cómo puede resolverse esta paradoja?

Para comenzar, observemos que nuestro lenguaje solamente permite escribir enunciados aritméticos, entonces ¿cómo puede un enunciado aritmético afirmar que un sistema de axiomas es consistente (o que es inconsistente)?

Un hecho que es fácil de probar en los cursos de Lógica es que si un sistema de axiomas es inconsistente entonces todo enunciado es demostrable a partir de él. Por lo tanto, para decir que un sistema es consistente es suficiente con afirmar que existe algún enunciado que no es demostrable.

Volvamos a la codificación de Kurt. Recordemos que, según ella, los enunciados demostrables (para el sistema de axiomas específico que nos han dado) son exactamente aquellos cuyo código es un número primo que se puede escribir como suma o resta de tres primos consecutivos.

Por lo tanto, según la codificación de Kurt, un modo de afirmar que el sistema es consistente es decir que:

CONS(1): "Existe algún primo que no es suma o resta de tres primos consecutivos."

(El enunciado, como siempre, debe traducirse al lenguaje formal.) Es interesante observar que, según la codificación de David, este enunciado CONS no dice nada acerca de la consistencia o inconsistencia del sistema.

Ahora bien, tomemos un enunciado específico P cualquiera. Si el sistema es inconsistente entonces, por lo dicho más arriba, tanto P como no-P son ambos demostrables. Si el sistema es consistente, en cambio, al menos uno de los dos enunciados (P o su negación) no será demostrable. Es decir, dado el enunciado específico P, el sistema es consistente si y sólo si P o no-P (al menos uno de ambos) no es demostrable.

Supongamos que, según la codificación de Kurt, la negación del enunciado de código 29 sea el enunciado de código 101. Por lo tanto, el siguiente enunciado también nos muestra una forma de afirmar que el sistema es consistente:

CONS(2): "29 o 101, al menos uno de ambos, no puede escribirse como suma o resta de tres primos consecutivos."

Por otra parte, como ya sabemos, el sistema permite demostrar todos los enunciados finitistas verdaderos. En particular, permite demostrar el enunciado "no-(1 + 1 = 1)". Por lo tanto, el sistema es consistente si y sólo si el enunciado "1 + 1 = 1" no es demostrable. Supongamos que a este último enunciado le corresponde, según Kurt, el número 2. Tenemos entonces otra forma de afirmar que el sistema es consistente:

CONS(3): "2 no se puede escribir como suma o resta de tres primos consecutivos."

Tomemos los tres enunciados:

CONS(1): "Existe algún primo que no es suma o resta de tres primos consecutivos."

CONS(2): "29 o 101, al menos uno de ambos, no puede escribirse como suma o resta de tres primos consecutivos."

CONS(3): "2 no se puede escribir como suma o resta de tres primos consecutivos."

¿Estos tres enunciados son equivalentes? Estos quiere decir: ¿tomando a uno cualquiera de ellos como premisa, podemos deducir los otros dos? Sintácticamente, la respuesta es no. El segundo o el tercer enunciado permite deducir el primero, pero del primero no se deduce ninguna de los otos dos. Además, del segundo no se deduce el tercero, ni viceversa.

¿Qué sucede desde el punto de vista semántico? En este caso el universo del discurso debe ser el de los números naturales (ya que estamos pensando en términos de códigos) y es claro que, semánticamente, a nivel aritmético, los enunciados tampoco son equivalentes.

Sin embargo, los tres enunciados equivalen a: "El sistema es consistente" ¡y si los tres equivalen a una misma afirmación entonces son equivalentes entre sí! Vuelvo a preguntar: ¿cómo se resuelve esta paradoja?

La respuesta es la misma que dimos antes al hablar de la autorreferencia. CONS(1), CONS(2) y CONS(3) son enunciados aritméticos. La interpretación de su significado como refiriéndose a la consistencia de un sistema de axiomas es puramente extramatemática (supra-aritmética podríamos decir) y depende de la elección de una codificación específica (elección que es ajena a la Aritmética).

La negación de CONS(1) es (debe traducirse al lenguaje formal): "Todo primo es suma o resta de tres primos consecutivos". El Segundo Teorema de Gödel dice que el sistema de axiomas es consistente con ese enunciado. La consistencia, como ya dijimos, es un concepto sintáctico y la interpretación de no-CONS(1) como "El sistema no es consistente" está en otro nivel de lenguaje (más allá de la Aritmética) por lo que no choca con la noción de consistencia. Ésa es, ni más ni menos, la resolución de la paradoja planteada al principio: la aparente paradoja surge del hecho de mezclar conceptos sintácticos, como la consistencia, con conceptos (permítaseme la palabra) supra-semánticos, como la interpretación de CONS(1) en términos de la consistencia del sistema. (1)

Una pequeña metáfora: usualmente el color rojo significa "peligro" y el verde significa "seguridad". Al mezclarlos obtenemos el color violeta (o algo así). ¿El violeta representa entonces una mezcla entre peligro y seguridad? ¿violeta = seguligro? ¿violeta = peliguro? Es obvio que la pregunta carece de sentido y solamente surge de poner al mismo nivel la mezcla de colores (aspecto físico o sintáctico) con la interpretación que, culturalmente, le damos a esos colores (aspecto supra-cromático). De la misma forma, la paradoja de Gödel surge de mezclar conceptos que están en niveles de análisis muy diferentes.

Continuará...

Nota:

(1) Si nos adentramos en ese nivel supra-semántico y vemos a CONS(1) como la afirmación de que el sistema es consistente, entonces CONS(1) es un enunciado verdadero pero no demostrable en el sistema. Como el sistema permite demostrar todos los enunciados finitistas verdaderos entonces obtenemos la conclusión de que el hecho de que el sistema sea consistente no puede ser verificado mecánicamente en una cantidad finita de pasos. Esto demuestra la imposibilidad de concretar una de las exigencias del Programa de Hilbert: tener un sistema recursivo y completo para la Aritmética cuya consistencia sea verificable algorítmicamente.

(A la parte 7 - A la parte 9)

La autorreferencia en la demostración de Gödel (Parte 7)

2011-03-09T13:33:00.008-03:00

(A la parte 6 - A la parte 8)

¿La afirmación: "La afirmación: "La afirmación: "Esta afirmación no es demostrable" es demostrable" no es demostrable" es demostrable?

Resumen de lo publicado: Kurt y David han elegido sendas codificaciones para los enunciados y para las sucesiones finitas de enunciados escritos en el lenguaje formal. Una vez hecho esto, ambos han recibido un mismo sistema de axiomas aritméticos que es recursivo y consistente y que permite demostrar todos los enunciados finitistas verdaderos. [Como decíamos en el capítulo anterior, vamos a suponer que estamos reproduciendo la demostración de Gödel para un sistema de axiomas específico]

Kurt observa que, para ese sistema de enunciados y según la codificación por él elegida, el conjunto de los códigos de los enunciados demostrables es exactamente el conjunto de todos los primos que se pueden escribir como suma o resta de tres primos consecutivos. [Obviamente, para otros sistemas de axiomas, o para otras codificaciones, la propiedad aritmética que define al conjunto de los códigos de los enunciados demostrables será diferente.]

Finalmente, siguiendo la demostración de Gödel, Kurt ha probado sintácticamente que el enunciado G: "43 es un primo que no se puede escribir como suma o resta de tres primos consecutivos" es indecidible para el sistema de axiomas que le han dado. Es decir, ni G ni su negación son demostrables a partir de esos axiomas.

Tomemos ahora la función g(x) definida de esta manera: g(x) es el x-ésimo número primo. Por ejemplo g(1) = 2, g(2) = 3, g(3) = 5, etc. Admitamos, sin demostración, que la función g(x) es definible mediante el lenguaje formal de la Aritmética. Es decir, que es posible expresar en ese lenguaje formal una propiedad, en función de la variable x, que sólo es cumplida por el x-ésimo primo. Debido a las restricciones del lenguaje formal la construcción de esta definición no es un problema trivial, sin embargo, con algo de ingenio, puede hacerse (1).

El enunciado G de Kurt equivale entonces a:

Ax (no-(43 es primo y 43 = +/- g(x) +/- g(x + 1) +/- g(x + 1 + 1)))

Donde la "A" indica "para todo" y el +/- indica que hay que hacer las ocho combinaciones posibles de sumas y restas entre g(x), g(x + 1) y g(x + 1 + 1).

Llamemos P(x) a la expresión (no-(43 es primo y 43 = +/- g(x) +/- g(x + 1) +/- g(x + 1 + 1))). Entonces, el enunciado G de Kurt tiene la forma AxP(x).

Observemos que P(1) afirma que 43 es un primo que no se puede obtener como suma o resta de los números 2, 3 y 5. Es decir, P(1) es un enunciado finitista verdadero y entonces, por hipótesis, es demostrable a partir del sistema de axiomas dado.

P(1 + 1) afirma que 43 es un primo que no se puede obtener como suma o resta de los números 3, 5 y 7. P(1 + 1) es también un enunciado finitista verdadero y, por lo tanto, es demostrable a partir del sistema dado.

De igual manera, P(1 + 1 + 1), P(1 + 1 + 1 + 1),... son todos demostrables. Sin embargo, G: AxP(x) no es demostrable. Cada instancia individual es demostrable, pero la afirmación general no lo es. En realidad, el enunciado G que construye la demostración de Gödel siempre tiene la forma AxP(x) donde P(1), P(1 + 1),... son todos demostrables, pero AxP(x) no lo es, ni tampoco su negación.

En el caso del enunciado de Kurt. la negación de G dice: "43 no es primo o puede escribirse como suma o resta de tres primos consecutivos" (en realidad la negación de G es una traducción al lenguaje formal de esta afirmación). Ahora bien, como G es indecidible, podemos perfectamente agregar axiomas al sistema original de Kurt de tal modo que el sistema así ampliado, sin dejar de ser recursivo y consistente, permita demostrar no-G. [Una forma simple y directa de lograr esto es agregar como axioma al propio enunciado no-G.]

¡Un momento! Pero no-G es falso... ¿Cómo puede ser demostrable? ¿A la demostración de no-G le corresponde como código un número "no estándar"?

Respondo primero a la segunda pregunta. Como he insistido en decir, la codificación estaba ya definida desde antes de que nos dieran el sistema de axiomas. Esa codificación le asigna a cada sucesión finita de enunciados un número natural "común y corriente". La demostración de no-G a partir del sistema de axiomas ampliado es, en particular, una sucesión finita de enunciados y, como tal, le corresponde como código un número natural. [Si no-G es un axioma, la demostración de no-G consta, como único enunciado, del propio no-G.]

En cuanto a la primera pregunta, ya vimos en un capítulo anterior que el concepto de "demostrable" o "no demostrable" no tiene, en principio, ninguna relación con el de "falso" o "verdadero". No hay contradicción en el hecho de que un enunciado "falso" sea "demostrable" para algún sistema de axiomas, aun siendo éste consistente.

Por otra parte, para calmar la ansiedad semántica, podemos decir que no-G es "falso" solamente si entendemos que se refiere al universo de los números naturales. Según un famoso teorema lógico, si un sistema de axiomas es consistente entonces existe un universo del discurso en el que sus enunciados son "verdaderos". Por lo que no-G es verdadero en algún universo diferente del de los números naturales. [Cuando el sistema dado es el de los axiomas de Peano, a estos universos alternativos se los suele llamar "modelos no estándar" de la Aritmética, de allí la referencia anterior a "números no estándar".] Pero estas son consideraciones semánticas ajenas a la demostración de Gödel. (2)

Continuará...

Notas:

(1) Una restricción importante del lenguaje formal es que no admite "puntos suspensivos". Así por ejemplo, la expresión (la "A" indica "para todo"):

Ax (x = 1 + 1 + ... + 1 (x veces))

no es un enunciado del lenguaje formal. En cambio (la "E" indica "existe"):

Ex (x = 1 + 1 + ... + 1 (10 veces))

aunque, estrictamente hablando, tampoco es un enunciado, sí puede aceptarse como la abreviatura de:

Ex (x = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)

que, definitivamente, sí es un enunciado escrito en el lenguaje formal.

(2) Un pequeño ejemplo: tomemos el enunciado Ex (1 + 1 = (1 + x)(1 - x)). Si consideramos el universo de los números naturales entonces el enunciado es "falso". Pero si a ese universo le agregamos todos los números complejos de la forma a + bi con a y b enteros, entonces, en ese universo así extendido, pasa a ser "verdadero", ya que 2 = (1 + i)(1 - i).

Una idea similar nos ayuda a entender semánticamente por qué puede suceder que P(1), P(2), P(3),... sean todos demostrables sin que AxP(x) lo sea. Puede haber un universo en el que la propiedad P valga para 1, 2, 3, 4,... pero falle en otros números, en números que no se obtienen sumando el 1 sucesivamente.

(A la parte 6 - A la parte 8)

La autorreferencia en la demostración de Gödel (Parte 6)

2011-03-08T18:40:00.004-03:00

(A la parte 5 - A la parte 7)

"Este enunciado no es autorreferente"

- ¿Ahora sí llegamos a la autorreferencia?

- Sí, ahora sí.

Nos han dado un sistema de axiomas que es recursivo y consistente, y que permite demostrar todos los enunciados aritméticos finitistas verdaderos (1). Debemos probar que existe un enunciado G tal que ni él, ni su negación, son demostrables a partir de esos axiomas. [Como decía en el capítulo anterior, vamos a suponer que estamos reproduciendo la demostración de Gödel para un sistema de axiomas específico.]

Recordemos que, inclusive antes de que nos dieran los axiomas, ya habíamos establecido una codificación, es decir una función que que a a cada enunciado y a cada sucesión de enunciados le asigna un número natural. (Ésa fue la primera parte de la demostración de Gödel.)

Con fines didácticos, vamos a imaginar que hay dos matemáticos, a los que llamaremos Kurt y David, que están estudiando la demostración de Gödel. Kurt ha elegido la misma codificación que nosotros (cuyos detalles técnicos no hemos dado), mientras que David, de puro testarudo, ha elegido una codificación completamente diferente.

Vamos a suponer que en la codificación de Kurt (que es también la nuestra) a los enunciados les corresponden siempre números primos (2). Más exactamente, supondremos que para la codificación de Kurt vale que "n es el código de un enunciado si y sólo si n es primo". Para la codificación de David la situación es completamente diferente y en ella ningún enunciado tiene como código un número primo (esto último sucede, por ejemplo, en la codificación original de Gödel).

Una vez que tenemos los axiomas, queda perfectamente establecido cuál es el conjunto de los enunciados que son demostrables a partir de ellos (y que incluye, entre otros, a los propios axiomas). También queda perfectamente establecido cuál es el conjunto de los códigos de esos enunciados demostrables (que es, por supuesto, un conjunto de números naturales).

Observemos que tanto para Kurt como para David el conjunto de los enunciados demostrables es exactamente el mismo. En cambio, ambos disienten en cuál es el conjunto de los códigos que corresponden a esos enunciados, ya que difieren en cuanto a qué número se le asigna a cada enunciado.

La segunda parte de la demostración de Gödel consiste en probar que, no importa cuál sea la codificación elegida, ni cuál sea el sistema de axiomas dado (siempre que se cumplan las hipótesis mencionadas en el capítulo anterior), existe una propiedad aritmética específica, expresable en el lenguaje formal, que define al conjunto formado por los códigos de los enunciados demostrables.

Por supuesto, Kurt y David diferirán en cuál es la propiedad que define a sus respectivos conjuntos de códigos (ya que ambos "ven" conjuntos de códigos diferentes), pero ambos serán capaces de describirlos en términos de propiedades aritméticas específicas (3).

Normalmente esa propiedad aritmética es terriblemente compleja de expresar, yo diría que en realidad es "humanamente imposible" de expresar con todo detalle. Por ese motivo, las exposiciones de la demostración de Gödel suelen decir que la propiedad en cuestión es, simplemente, la de "Ser el código de un enunciado demostrable" (o, más brevemente, la de "Ser demostrable").

Pero son precisamente esas "abreviaturas" la que suelen llevar a las confusiones que aquí tratamos de disipar. De modo que haremos uso, una vez más, de nuestra imaginación y supondremos que para Kurt el conjunto de de los códigos de los enunciados demostrables es exactamente el conjunto de todos los primos que se pueden escribir como suma o resta de tres primos consecutivos (4). [Queda como tarea para el lector interesado el verificar que esta propiedad puede expresarse en el lenguaje formal.]

Por ejemplo, 3 - 5 + 7 = 5, por lo que el número 5 es (para Kurt) el código de un enunciado demostrable; lo mismo sucede con el 13, que es -5 + 7 + 11. El 2, en cambio, no puede escribirse como suma o resta de tres primos consecutivos, por lo que 2 es el código de un enunciado que no es demostrable (siempre entendemos "demostrable a partir de los axiomas dados").

La tercera parte de la demostración del Primer Teorema de Gödel consiste en probar que existe un número n tal que el enunciado "n es un primo que no se puede escribir como suma o resta de tres primos consecutivos" (en alguna de las posibles traducciones al lenguaje formal) tiene como código, precisamente, al número n. Imaginemos que ese número n es el 43 (que, ene efecto, según creo, no se puede escribir como suma o resta de tres primos consecutivos).

En resumen, Kurt encuentra que el enunciado (en una de sus traducciones al lenguaje formal): "43 es primo y no se puede escribir como suma o resta de tres primos consecutivos" tiene código 43. Éste es el famoso enunciado indecidible G que construye la demostración de Gödel.

(Observemos que, por su parte, David ha encontrado un enunciado G completamente diferente. Cada codificación genera un enunciado indecidible diferente.)

¿El enunciado G: "43 es primo y no se puede escribir como suma o resta de tres primos consecutivos" es autorreferente?

Desde el punto de vista de Kurt, "43 es primo y no se puede escribir como suma o resta de tres primos consecutivos" equivale (¡semánticamente!) a la afirmación "43 es el código de un enunciado que no es demostrable". Y como a ese enunciado le corresponde el código 43 entonces equivale a: "Mi código no es el de un enunciado demostrable" o, como suele decirse, "Yo no coy demostrable". Para Kurt, sí es autorreferente.

¿Cómo ve David la situación? Para él, "43 es primo y no se puede escribir como suma o resta de tres primos consecutivos" no es autorreferente, porque su código (sea cual fuere) seguro que no es el número 43. El enunciado no habla de su código, dino de un número cualquiera. Más aún, 43, para David, ni siquiera es el código de un enunciado y "Ser la suma o resta de tres primos" es una propiedad aritmética que carece de toda relevancia metamatemática.

Para Kurt, su enunciado G es autorreferente, pero para David no lo es. en realidad, ningún enunciado aritmético es esencialmente autorreferente, todo depende de la codificación que se elija.

La cuarta, y última parte, de la demostración del Primer Teorema de Gödel consiste en probar que ni G ni su negación son demostrables a partir de los axiomas dados. Pero, ¡un momento! ¿esta demostración no depende de la autorreferencia de G? ¿Kurt puede demostrar solamente la indecidibilidad de "su" enunciado, y David solamente la del suyo? No, y no. La demostración de la indecidibilidad de G no depende de su supuesta autorreferencia. Esa demostración se basa puramente en conceptos sintácticos. Kurt demostrará que "su" G es indecidible y David podrá entender perfectamente esa demostración. De la misma manera, Kurt podrá entender perfectamente el razonamiento que haga David para probar que "su" enunciado es indecidible (para los axiomas dados).

Más aún, ni David ni Kurt necesitan siquiera saber que sus enunciados pueden ser interpretados como autorreferentes. La demostración no necesita de ese concepto.

¿Por qué se menciona tanto, entonces, la autorreferencia? Porque a nosotros, humanos, nos resulta muy incómodo manejarnos con conceptos puramente sintácticos y cuando tratamos con ellos necesitamos constantemente del uso de "muletas semánticas". La intepretación de G como "Yo no soy demostrable" se usa (como una de esas "muletas") para ayudarnos en la construcción del enunciado G. También, por qué no decirlo, se usa para que la demostración resulte más convincente (porque una demostración no sólo debe ser correcta, sino que también debe parecerlo).

La idea de la autorreferencia, con su sí-es-no-es de paradójica, suele robarse el protagonismo del teorema a la vez que oculta la naturaleza puramente sintáctica de su demostración. Insisto: el enunciado G en sí mismo no es autorreferente (sólo toma ese color cuando se lo ve a través del cristal de una determinada codificación) y la demostración de su indecidibilidad no necesita de esa supuesta autorreferencia.

Continuará...

Notas:

(1) Debido a su naturaleza metamatemática, los teoremas de Gödel se enuncian y se demuestran apelando a conceptos sintácticos. ¿Cómo es posible entonces que hablemos de "enunciados finitistas verdaderos", siendo que la noción de "verdad" es un concepto semántico. La explicación es que estamos tratando con un concepto restringido de "verdad": sólo hablamos de enunciados cuya verdad es verificable (y, de hecho, definible) mediante procedimientos sintácticos (léase algorítmicos). Tal vez sería preferible hablar de enunciados finitistas correctos.

(2) Es perfectamente posible definir una codificación que cumpla con esta condición, pero sería poco práctica si uno quisiera desarrollar con todo detalle la demostración de Gödel.

(3) No voy a desarrollar aquí los detalles técnicos de la demostración, que pueden verse en cualquiera de los libros mencionados en el capítulo anterior. También pueden verse esos detalles en el hilo de este foro titulado "El Teorema de Gödel" (de los centenares de comentarios, hay que desbrozar los que contienen los detalles de la demostración).

(4) Para que todo el ejemplo tenga sentido se deben cumplir tres condiciones: a) Debe haber infinitos primos que se puedan escribir como suma o resta de tres primos consecutivos; b) Debe haber infinitos primos que no se puedan escribir como suma o resta de tres primos consecutivos; c) El número 43 no se debe poder escribir como suma o resta de tres primos consecutivos. Conjeturo que las tres afirmaciones con verdaderas. Si resultaran ser falsas, esto no invalidaría los conceptos expuestos, sino que solamente obligaría a buscar un ejemplo diferente, o bien a imaginar que las afirmaciones son verdaderas.

(A la parte 5 - A la parte 7)

La autorreferencia en la demostración de Gödel (Parte 5)

2011-03-05T15:33:00.003-03:00

(A la parte 4 - A la parte 6)

La codificación de Gödel

Vamos a comenzar la demostración del Primer Teorema de Incompletitud de Gödel. Imaginemos que van a darnos un sistema de axiomas para la Aritmética que es recursivo y consistente, y que además permite demostrar todos los enunciados finitistas verdaderos. Tendremos que demostrar que existe un enunciado P tal que tanto él como su negación no son demostrables a partir de esos axiomas. [Por razones didácticas no vamos a suponer que trabajamos con un sistema de axiomas general, sino que nos han dado un sistema específico y que vamos a reproducir en él la demostración de Gödel.]

Hablo en futuro y digo "van a darnos un sistema de axiomas" porque el primer paso de la demostración de Gödel (y esto es importante destacarlo) no depende del sistema de axiomas que vayan a darnos.

Este primer paso consiste en asignarle a cada enunciado y a cada sucesión finita de enunciados un número natural, al que llamaremos el código de ese enunciado o de esa sucesión finita de enunciados. Hay muchas formas de definir esta asignación, pero, no importa el modo que elijamos para hacerlo, se deben cumplir siempre las siguientes condiciones:

1. A cada objeto (ya sea un enunciado, ya sea una sucesión de enunciados) le debe corresponder un número natural diferente.

2. Debe existir un algoritmo que, dado un enunciado o una sucesión de enunciados, nos permita calcular qué número le corresponde.

3. Debe existir un algoritmo que, dado un número natural, nos permita determinar si este número es. o no es, el código de un enunciado o de una sucesión, y que, en caso de que sí lo sea, determine exactamente a qué objeto corresponde. (1)

Cuando hablamos de "algoritmo" estamos hablando de un procedimiento sintáctico, por lo tanto los códigos se asignan a los enunciados o a las sucesiones de enunciados siempre que estos objetos estén escritos en el lenguaje formal.

Como decía antes, hay muchas maneras de asignar los códigos. Raymond Smullyan, en su libro Gödel's Incompleteness Theorems, trabaja con un lenguaje de 13 símbolos (incluyendo un símbolo especial para separar los enunciados que forman parte de una sucesión) y, traduciendo cada símbolo a un "dígito", convierte a cada enunciado (o sucesión de enunciados) en un número natural escrito en base 13. En Gödel para Todos se procede de manera similar, pero usando secuencias de dígitos binarios. El propio Gödel en su demostración original usa productos de potencias de primos (2). Aquí evitaremos dar detalles de cómo se hace la asignación, asumiremos simplemente que la asignación ha sido definida.

En algunas charlas (y tal vez también en alguna entrada de este mismo blog) he dicho que, por ejemplo, al enunciado "2 es par" se le asigna un número natural. Sin embargo, esta forma de hablar, que tiene la virtud de la simplicidad, encierra el germen de un error: el de confundir los conceptos sintácticos con los conceptos semánticos.

Como dije antes, la asignación de códigos es un procedimiento puramente sintáctico. ¿Cómo traducimos "2 es par" al lenguaje formal? En realidad hay muchas formas diferentes de hacerlo, por ejemplo (en lo que sigue usamos la "E" para inidcar "existe"):

Ex((1 + 1) = (1 + 1).x)

Ex((1 + 1).x = (1 + 1))

Ey((1 + 1) = (1 + 1).y)

Ex((1 + 1).y = (1 + 1))

...y muchos más.

Sintácticamente los cuatro enunciados escritos más arriba son diferentes y, por lo tanto, a cada uno de ellos le corresponde un código diferente. No existe un código para "2 es par", existen diferentes códigos para cada una de las infinitas formas en que puede ser traducido al lenguaje formal. Por lo tanto, no debemos pensar a los códigos como asignados a frases escritas en castellano, sino a objetos sintácticos llamados "enunciados" o "sucesiones de enunciados".

La observación anterior puede parecer trivial, pero no lo es. Los conceptos semánticos nos resultan más familiares que los sintácticos y por eso tendemos a pensar, a hablar, a explicar e, inclusive, a escribir libros de Lógica convirtiendo lo sintáctico en semántico (para que sea más "digerible"), pero esta conversión puede llevarnos a confusión.

Veamos otro ejemplo en el que se ve claramente la diferencia entre conceptos semánticos y sintácticos (entre conceptos matemáticos y metamatemáticos). Supongamos que tomamos como axiomas los enunciados A1,.., An (que, me apresuro a aclarar, no cumplen las hipótesis del Teorema de Gödel) y que nos dicen que el enunciado "1 + 1 = 1" es demostrable a partir de esos axiomas. ¿Debemos concluir que A1,...,An es un sistema inconsistente? La respuesta es que no. Los axiomas podrían formar un sistema consistente. (Recordemos que consistente significa que P y no-P nunca son al mismo tiempo demostrables.)

¿Cómo es posible que "1 + 1 = 1" sea demostrable, pero que el sistema sea consistente? Si uno se hace esa pregunta es que está confundiendo "demostrable" con "verdadero" (sintaxis con semántica).

¿Qué quiere decir que A1,.., An permitan demostrar el enunciado "1 + 1 = 1"? Respuesta: significa que existe una sucesión finita de enunciados cuyo enunciado final es "1 + 1 = 1" y en la que cada uno de ellos es, o bien uno de los A1,.., An, o bien se deduce de enunciados anteriores por aplicación del modus ponens. Notemos que esta respuesta está basada en conceptos sintácticos y que en ella no tiene cabida el concepto de "verdad" (o de "falsedad"). Notemos además que esa demostración de "1 + 1 = 1", como toda sucesión finita de enunciados, tiene asignada (a manera de código) un número natural.

Si los axiomas cumplieran la hipótesis de que todo enunciado finitista verdadero es demostrable, entonces sí formarían un sistema inconsistente. En efecto, "-(1 + 1 = 1)" (el signo "-" indica negación) es un enunciado finitista verdadero y, si se cumpliera la hipótesis, entonces ese enunciado sería demostrable. Como también "1 + 1 = 1" es demostrable entonces el sistema sería inconsistente.

Sin embargo, es posible que A1,.., An (que, dijimos, no cumple las hipótesis de Gödel) no admita una demostración para el enunciado "-(1 + 1 = 1)" y que, por lo tanto, sea un sistema consistente.

Continuará...

Notas:

(1) Dos aclaraciones de lenguaje: A los efectos de esta serie de entradas, los números naturales son 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. y por algoritmo entendemos un procedimiento mecánico que se completa en una cantidad finita de pasos.

(2) Gödel le asigna a cada símbolo del lenguaje un número impar. Si un enunciado E está formado por lo símbolos s1, s2, s3,... entonces le corresponde el número 2^c(s1).3^c(s2).5^c(s3).7^c(s4).... conde c() es el código de cada símbolo. A la sucesión de enunciados E1, E2, E3,... le corresponde el código 2^c(E1).3^c(E2)....

(A la parte 4 - A la parte 6)

La autorreferencia en la demostración de Gödel (Parte 4)

2011-03-02T08:25:00.007-03:00

(A la parte 3 - A la parte 5)

La dialéctica Verdadero / Demostrable

La escuela intuicionista, aquella a la Hilbert se oponía, sostiene, como ya dijimos, que los objetos matemáticos son construidos por los humanos y que no son preexistentes a esta construcción. Para ellos, la Matemática se crea, no se descubre y así, por ejemplo, un número que nunca haya sido calculado simplemente no existe. Por lo tanto los intuicionistas niegan sentido a toda afirmación que hable de totalidades infnitas, ya que necesariamente habla de objetos inexistentes.

Hilbert, en su programa, propone un enfoque más moderado. Por una parte Hilbert habla de afirmaciones finitistas (o finitarias, según algunas traducciones), que son aquellas cuya verdad o falsedad puede ser verficada mecánicamente en una cantidad finita de pasos (por ejemplo, "12 + 3 = 15" o "22 no es primo"). De estas afirmaciones puede decirse, sin problemas, que son verdaderas o falsas, según sea el caso [los propios intuicionistas estarían de acuerdo con esto].

Hilbert admite, por otro lado, que las afirmaciones que se refieren a totalidades infinitas son problemáticas y que no es sencillo atribuirles un valor de verdad. Pero, a diferencia de los intuicionistas, afirma que esa atribución debe hacerse. "Entender el infinito", dice Hilbert, "es un reto al espíritu humano", un reto que debemos afrontar y vencer.

Hilbert hace la siguiente comparación: en Matemáticas, tenemos por un lado las sumas de una cantidad finita de números, que pueden ser calculadas sin problema. Pero, por otro lado, tenemos también las series, que son sumas infinitas. Las series pueden llegar a ser muy problemáticas, sin embargo, gracias a la noción de límite, el Análisis ha podido darles un sentido claro y preciso. De la misma manera, dice Hilbert, la Lógica tiene el desafío de darle un sentido claro y preciso a las afirmaciones no finitistas.

Este sentido se daría a través de la noción de demostrabilidad. Dado un sistema de axiomas, diremos que un enunciado P es demostrable a partir de ellos si existe una demostración (basada en ese sistema de axiomas) cuyo último enunciado es P. [Es decir, si hay una demostración que termina con el enunciado P. La definición metamatemática de demostración la hemos visto en el capítulo anterior.]

El Programa de Hilbert propone, entonces, dar axiomas para la Aritmética de tal modo que, para empezar, todo enunciado finitista verdadero sea demostrable (es lo menos que podemos pedir) y tal que, además, para cualquier otro enunciado P, o bien P, o bien su negación sea demostrable.

Cada enunciado "demostrable" será "verdadero". Es decir, el programa de Hilbert buscaba una síntesis entre los conceptos de demostrabilidad y verdad. Dado que el concepto de demostrabilidad es sintáctico (verificable mecánicamente en una cantidad finita de pasos), obtendríamos una noción de verdad "segura" y libre de posibles paradojas.

Lamentablemente para Hilbert, el primer teorema de Gödel prueba que esto es imposible: en la Aritmética "verdad" y "demostrabilidad" no son equivalentes. Cualesquiera sean los axiomas que se elijan (siempre que cumplan las condiciones metamatemáticas de Hilbert) siempre habrá algún enunciado P tal que tanto él como su negación no son demosrables (por lo que P quedaría fuera de esta definición sintáctica de "verdad").

En su libro La Nueva Mente del Emperador, Roger Penrose dice que no entiende el "menosprecio" que los seguidores de Hilbert sienten por la noción de verdad Matemática, ya que admiten, según Penrose, la posibilidad de que haya enunciados que no son verdaderos ni falsos.

En realidad, Penrose se equivoca al hacer este comentario. Es cierto que si la afirmación P no es demostrable, y tampoco es demostrable su negación, entonces para el Programa de Hilbert P no sería verdadera ni falsa. Pero, en realidad, la idea de Hilbert era dar axiomas de tal modo que esta situación nunca sucediera. Todo enunciado, a través de la definición metamatemática de demostrabilidad, debía ser, en última instancia, verdadero o falso. Fue Gödel quien le aguó la fiesta al probar que siempre habría enunciados indecidibles.

Antes de terminar recapitulemos un poco lo que hemos visto hasta aquí. El Programa de Hilbert proponía dar un sistema de axiomas para la Aritmética que cumpliera estas condiciones:

1. El sistema debía ser recursivo (se debía poder verificar mecánicamente en una cantidad finita de pasos si un enunciado es, o no, un axioma).

2. El sistema debía ser consistente (no debía haber un enunciado P tal que él y su negación fueran simultáneamente demostrables, la regla de inferencia es el modus ponens).

3. Todo enunciado finitista verdadero debía ser demostrable (esta es la condición que a veces se enuncia como "Contiene suficiente Aritmética").

4. Para todo enunciado P, o bien P, o bien su negación debía ser demostrable.

5. Debía poder verificarse mecánicamente en una cantidad finita de pasos que el sistema es consistente.

Como ya dijimos, los teoremas de Gödel prueban que si se cumplen las tres primeras condiciones entonces las dos últimas fallan. A partir del próximo capítulo comentaremos la demostración de estos teoremas y llegaremos, finalmente, a la discusión sobre la autorreferencia.

(A la parte 3 - A la parte 5)

La autorreferencia en la demostración de Gödel (Parte 3)

2011-02-26T16:31:00.006-03:00

(A la parte 2 - A la parte 4)

Demostraciones

- Profesor, ¿cuándo llegamos a la autorreferencia?

- Paciencia, ya falta poco.

En el capítulo anterior dijimos que el Programa de Hilbert proponía dar axiomas para la Aritmética y que estos axiomas (así como las reglas de inferencia, que son las que nos dicen qué conclusiones podemos obtener a partir de ciertas hipótesis) debían ser elegidos de modo tal que la corrección de cualquier demostración basada en ellos pudiera ser verificada (desde el nivel de la Metamatemática) mecánicamente en una cantidad finita de pasos (es decir, debía ser posible programar una computadora para que verificara si una demostración es válida o no).

En concreto, las demostraciones que contemplaba el Programa de Hilbert como válidas debían ser traducibles a una sucesión finita de enunciados tales que cada uno de estos, o bien era un axioma, o bien podía deducirse de enunciados previamente ubicados en la sucesión por aplicación de ciertas reglas de inferencia específicas. (1)

Esta idea impone tres características a la formalización de la Aritmética. La primera es que sus enunciados deben poder traducirse a un lenguaje con símbolos bien definidos (requisito necesario para que haya un algoritmo que trabaje sobre esos enunciados -a nivel metamatemático-).

A los efectos de esta serie de entradas, el lenguaje que usaremos constará de los símbolos "+" y ".", la constante 1, a los que agregaremos paréntesis y símbolos para las operaciones lógicas. El lenguaje tendrá también variables, x, y, z,... que sólo podrán representar números naturales (nunca expresarán funciones, conjuntos u otros objetos (2)).

Observemos que la Metamatemática trabaja solamente a nivel sintáctico, por lo que la expresión:

(1 + 1).(1 + 1) = 1 + 1 + 1 + 1

será, a nivel metamatemático, diferente de la expresión:

1 + 1 + 1 + 1 = (1 + 1).(1 + 1)

porque, aunque ambas tienen los mismos símbolos, estos están escritos en diferente orden.

Asumamos que, para su tratamiento metamatemático, todos los enunciados han sido traducidos a este lenguaje formal. Asumamos también que tenemos una secuencia de enunciados y que queremos escribir un programa que verifique si esa secuencia es, o no, una demostración válida. El programa "tomará" entonces un enunciado de la secuencia y deberá verificar si se trata, o no, de un axioma.

La segunda característica es, entonces, que exista un algoritmo que verifique en una cantidad finita de pasos si un enunciado es, o no, un axioma.

Continuando con el proceso que debería seguir ese programa, si un enunciado no es un axioma, el programa debe se capaz de verificar si el enunciado puede deducirse de enunciados anteriores en la sucesión. La tercera característica es, entonces, que la relación "Q se deduce de las hipótesis H1, H2, H3,..." debe ser verificable algorítmicamente.

En realidad, podemos reducirnos a tomar una única regla de inferencia: la llamada Regla del Modus Ponens, que dice que de P y de P ---> Q se deduce Q. (La regla debe ser entendida a nivel sintáctico, sin apelación a posible significados.)

Diremos que una propiedad es recursiva si es verificable algorítmicamente. Podemos decir entonces que el sistema de axiomas y sus reglas de inferencia deben ser ambos recursivos.

Continuará...

Notas:

(1) Éste es el proceso de verificación metamatemática de las demostraciopnes que proponía el Programa de Hilbert. Desde luego, no es el proceso por el que los matemáticos encuentran esas demostraciones.

(2) Toda teoría tiene dos tipos de axiomas: sus axiomas específicos y también los axiomas lógicos, que son generales y comunes a todas las teorías. Estos últimos son enunciados que valen cualquiera sea el universo del discurso considerado (como por ejemplo, "Para todo x, x = x"). Si respetamos las restricciones para el uso de variables entonces es posible dar un sistema de axiomas que respeta las condiciones de Hilbert y que permite deducir todas esas afirmaciones universalmente válidas (esto fue probado por Gödel en 1929). Si admitiéramos variables que representaran funciones, conjuntos, etc. entonces el Programa de Hilbert sería irrealizable al nivel mismo de esta lógica subyacente.

(A la parte 2 - A la parte 4)

La autorreferencia en la demostración de Gödel (Parte 2)

2011-02-25T15:10:00.004-03:00

(A la parte 1 - A la parte 3)

La dialéctica Sintaxis /Semántica

Los teoremas de Gödel, publicados en 1931, forman parte de una larga polémica sobre los Fundamentos de la Matemática que había comenzado en 1872 con el descubrimiento, por parte de Cantor, de los transfinitos, y que se había potenciado a partir de 1902 con el descubrimiento de la Paradoja de Russell.

El campo de batalla de la polémica era nada menos que el infinito. La escuela constructivista, encabezada por L.E.J. Brouwer, sostenía que la introducción del infinito actual en Matemáticas era absurda e injustificada y que la teoría de los transfinitos de Cantor era solamente un juego de palabras sin sentido. Los únicos objetos matemáticos válidos, sostenía esta escuela, son aquellos que se pueden construir mecánicamente en una cantidad finita de pasos. Por ejemplo, para ellos no podía hablarse de la totalidad de los números naturales, sino de una cantidad siempre finita y creciente de números que son calculados uno por uno. Los enunciados que hablan de totalidades infinitas, para los constructivistas carecían de significado.

Hacia 1920 interviene en la polémica David Hilbert quien, en una serie de papers publicados a lo largo de unos diez años, propone el que hoy es conocido como el Programa de Hilbert y que, en esencia, llevaba la exigencia de finitud y de constructividad de los objetos matemáticos a los razonamientos matemáticos.

Con más precisión, Hilbert proponía la creación de una nueva ciencia a la que él llamaba Metamatemática. Esta ciencia tendría como objetivo el verificar la validez de los razonamientos matemáticos. Para evitar polémicas (y para asegurarse de que no surgieran paradojas) esta ciencia sería puramente finitista: la Metamatemática trataría a los enunciados y a los razonamientos matemáticos como si fueran simples secuencias de símbolos sin significado a los que manipularía mecánicamente en una cantidad finita de pasos.

Se ha dicho en algunos textos de divulgación que el Programa de Hilbert proponía reducir la Matemática a un juego de símbolos carente de significado, se ha dicho también que para Hilbert el concepto de "verdad matemática" no existía. Nada más falso. Hilbert, comprendamos, era ante todo un investigador matemático (el mejor de su tiempo) por lo que es imposible, inimaginable, que pudiera pensar así. Esas características las atribuía Hilbert, no a la Matemática, sino a la Metamatemática.

La Matemática trabaja a un nivel semántico, lleno de significados. El matemático, en el día a día, siempre trabaja, crea, conjetura, demuestra y sufre, como si lo que tuviera entre manos fueran objetos reales.

La Metamatemática, según la idea de Hilbert, que trabaja a nivel sintáctico, provee los métodos para verificar si los razonamientos, que el matemático ha obtenido como fruto final de su trabajo creador, son correctos. Para hacer esta verificación los razonamientos serían cargados en una computadora que verificaría si el razonamiento es válido, o no. Hilbert, desde luego, no hablaba de computadoras, pero lo que he dicho en la oración anterior refleja la idea esencial de Hilbert: la validez del razonamiento es verificada mediante manipulaciones mecánicas de símbolos realizadas en una cantidad finita de pasos (la verificación del razonamiento, no su obtención).

En concreto, el Programa de Hilbert proponía dar un conjunto de axiomas para la Aritmética (1) que cumpliera estas cuatro condiciones:

1. El sistema debía ser consistente (es decir, no debía existir un enunciado P tal que P y su negación fueran simultáneamente demostrables).

2. La validez de cualquier demostración debía ser verificable por manipulaciones mecánicas (sintácticas) en una cantidad finita de pasos.

3. Dado cualquier enunciado P, o bien él o bien su negación debía ser demostrable.

4. La consistencia de los axiomas debía ser verificable mecánicamente en una cantidad fnita de pasos.

Nótese que estas condiciones no son matemáticas sino metamatemáticas. Si estas cuatro condiciones pudieran cumplirse entonces la noción de "demostrabilidad" (sintáctica) y de "verdad" (semántica) podrían considerarse equivalentes. Pero los teoremas de Gödel demostraron precisamente que esas cuatro condiciones no se pueden cumplirse a la vez. Si se cumplen 1 y 2 entonces 3 es falsa y 4, si el sistema es razonablemente potente, es irrealizable.

En el próximo capítulo precisaremos qué quiere decir "razonablemente potente" y comenzaremos a analizar la demostración de Gödel.

Continuará...

(1) Nota: La Aritmética es la teoría que habla de la suma y el producto de los números naturales. Hilbert consideraba que era ésta la teoría fundamental de la Matemática (y no la Teoría de Conjuntos).

(A la parte 1 - A la parte 3)

La autorreferencia en la demostración de Gödel (Parte 1)

2011-02-23T12:00:00.007-03:00

(A la parte 2)

¿Qué decimos cuando decimos "Esta oración no es demostrable"?

En estos últimos años, por diversos motivos y en diferentes ámbitos, me ha tocado discutir extensamente la demostración de los teoremas de Gödel. En esas ocasiones he notado que hay ciertas dudas que aparecen recurrentemente en el público y que, tal vez, sean compartidas por algunos de los lectores de este blog.

La intención de esta serie de entradas es tratar de despejar esas dudas. No intentaré desarrollar en detalle las demostraciones de los teoremas de Gödel, sino que haré un bosquejo general poniendo énfasis especial en dos puntos:

1. El llamado Primer Teorema de Incompletitud de Gödel dice que, dado un sistema axiomático para la Aritmética que cumpla ciertas condiciones (que recordaremos más adelante), siempre es posible encontrar una afirmación aritmética que no puede ser demostrada ni refutada a partir de esos axiomas.

Suele decirse (yo mismo lo he dicho en más de una ocasión) que la demostración de este teorema consiste en construir una afirmación aritmética que dice: "Esta oración no es demostrable".

Pero ¿es realmente así? ¿Habla realmente la afirmación de su propia no-demostrabilidad? La respuesta es que la afirmación no habla de sí misma. Más exactamente, veremos que la afirmación puede llegar a considerarse autorreferente solamente si se aceptan ciertas convenciones arbitrarias que son externas al sistema de axiomas.

El segundo punto que trataremos es éste:

2. Tomemos, a modo de ejemplo, los axiomas de Peano (que son axiomas de la Aritmética). Aceptemos que esos axiomas forman un sistema consistente (como, de hecho, suele aceptarse). Del llamado Segundo Teorema de Incompletitud de Gödel se deduce que la afirmación "Los axiomas de Peano son consistentes" no puede demostrarse ni refutarse a partir de esos axiomas.

Ahora bien, si una afirmación P no puede demostrarse ni refutarse a partir de un sistema de axiomas (llamémoslo A) entonces tanto la afirmación P como su negación pueden ser agregadas al sistema A y en ambos casos se obtendrá un sistema consistente. (El ejemplo histórico clásico es tomar A como los primeros cuatro postulados de Euclides y como P, el postulado de las paralelas.)

En particular, esto quiere decir que la afirmación "Los axiomas de Peano no son consistentes" puede agregarse a los axiomas de Peano de modo que el sistema resultante ¡sea consistente!. Ahora... ¿no es raro? ¿Cómo puede ser consistente con los axiomas de Peano la afirmación que niega (falsamente) que esos axiomas sean consistentes? Como veremos, la paradoja es sólo aparente y resulta de una mala interprertación de lo que realmente dice el enunciado aritmético "Los axiomas de Peano no son consistentes".

La tarea está planteada. Sólo falta arremangarse y llevarla a cabo.

Continuará...

(A la parte 2)

500 x 1

2011-02-15T20:38:00.000-03:00

Cambio 500 respuestas excelentes por una buena pregunta.

Próximamente...

2011-02-15T20:30:00.002-03:00

Próximamente en este blog...

1. Más capítulos de El Omegón y todo eso... (serie que, como no podía ser de otra manera, amenaza con volverse infinita).

2. La definición de la potenciación (muy debatida últimamente).

3. Algunos comentarios sobre la demostración de Gödel (inspirados en ciertas dudas recurrentemente planteadas en un blog vecino).

4. Los números surreales (recomenzando una serie que empezó con el pie izquierdo).

5. De Euclides a Hilbert (un paseo geométrico).

6. Etc.

Diálogo (2º parte)

2011-02-09T21:00:00.000-03:00

(Viene del diálogo anterior.)

F: ¿Y dónde queda entonces su analogía con la cuadratura del círculo?

G: Cuando planteé en esta entrada la analogía entre el movimiento del alfil y la cuadratura del círculo, imaginaba un único alfil en un tablero de ajedrez, sin otras piezas presentes. Bajo ésas condiciones, si el alfil es movido según las reglas del ajedrez, nunca podrá pasar de una casilla blanca a una negra.

F: ¿Y eso demuestra que la cuadratura del círculo es imposible?

G: No, definitivamente no lo demuestra. Es sólo una imagen que sirve para ejemplificar la idea de imposibilidad absoluta en Matemática. Es tan imposible lograr la cuadratura del círculo como lo es lograr que el alfil pase de una casilla blanca a una negra (bajo las condiciones que antes describí).

F: Pero sí es posible lograr que el alfil pase de una casilla blanca a una negra en una partida de verdad. ¿No invalida esto su analogía?

G: Al contrario. La cuadratura del círculo pide, dado un círculo, construir un cuadrado que tenga exactamente la misma área, usando solamente una regla no graduada y un compás. Bajo esas condiciones la construcción es absolutamente imposible. Pero sí es posible hacer la construcción si admitimos otros recursos; de la misma forma que el alfil sí puede cambiar de color si agregamos otras complejidades a la situación.

F: ¿Cómo?

G: Por ejemplo, dado el círculo, coloque un hilo alrededor de su borde de modo que ambos, borde e hilo, coincidan perfectamente. Estire luego el hilo de modo que quede como un segmento. Trace el segmento determinado por el hilo. Si el diámetro del círculo mide uno, el segmento medirá pi y a partir de él es muy fácil trazar el cuadrado pedido.

F: Entonces ¿es posible o es imposible lograr la cuadratura del círculo?

G: Es imposible si nos limitamos a usar los recursos que exige el problema clásico (regla no graduada y compás). Pero es posible si admitimos el uso de otros elementos. Por eso, sus extraños ejemplos de partidas en las que el alfil cambia de color, lejos de refutar la analogía, la hacen más completa.

F: Pero usted dice que la analogía no demuestra que la cuadratura es imposible.

G: No, claro que no. La demostración se basa en tres hechos:

1. Partiendo de un segmento unidad sólo se pueden construir (usando regla no graduada y compás) segmentos cuya longitud sea un número algebraico. [No se pueden obtener todos los números algebraicos, pero eso no es importante ahora.]

2. La cuadratura de círculo es posible si y sólo si se puede construir un segmento de longitud pi.

3. Pi no es algebraico.

La combinación de los tres hechos da como resultado ineludible... bueno, lo que ya sabemos: la cuadratura del círculo es imposible.

F: ¿Las demostraciones de esos tres hechos son fáciles de entender?

G: La demostración del hecho (1) no es difícil, sólo requiere saber un poco de geometría elemental. la demostración del hecho (2) es un poco más difícil. La del hecho (3) es bastante más complicada.

F: ¿Y si hubiera un error en la demostración del hecho (3)? (Digo ésa porque es la más difícil.)

G: La demostración ha sido revisada, una y otra vez, por generaciones de matemáticos quienes han ratificado unánimemente su validez.

F: ¿Y si, a pesar de todo, hubiera un error? ¿Un error que se le hubiera pasado por alto a todos los miles de matemáticos que revisaron la demostración?

G: ¿Usted estuvo alguna vez en París?

F: Dígamelo usted, ya que fue usted quien me creó.

G: Bueno. Usted nunca estuvo en París, como yo tampoco.

F: Ya veo, va a preguntarme cómo sé que la Torre Eiffel realmente existe.

G: Exacto. ¿Cómo lo sabe? ¿Cómo sabe que no hay una conspiración universal para hacernos creer (a quienes nunca estuvimos en París) que existe algo llamado "Torre Eiffel"? ¿Cómo sabe si en realidad en ese lugar de París no hay nada? ¿Cómo sabe si lo que sucede es que cada supuesto visitante de la torre es reclutado para formar parte de esa conspiración y propagar la mentira? ¿Cómo sabe si todas las supuestas fotos de la torre son trucadas? Etcétera, etcétera...

F: No puedo saberlo con certeza.

G: Exacto. En realidad ni siquiera podría saberlo aunque estuviera de pie frente a la torre misma, porque sus sentidos podrían estar siendo engañados. Pero la suposición infinitamente más razonable es que la Torre Eiffel sí existe y que todas las fotografías que la muestran (bueno, digamos que casi todas) representan un objeto real.

F: Supongo que tiene razón.

G: De la misma manera, exactamente de la misma manera, la suposición infinitamente más razonable es que realmente la cuadratura del círculo es imposible, porque generaciones de matemáticos así lo han comprobado. Lo más razonable, lo único razonable, es abandonar todo intento de resolver el problema (usando los método clásicos).

F: Entonces ¿por qué hay gente que lo sigue intentado?

G: No tengo idea.

F: ¿Me permite una última pregunta?

G: Por supuesto.

F: Siguiendo sus palabras...¿De la misma manera, de exactamente la misma manera, la suposición más razonable para mí es aceptar que estoy conversando con usted?

G: Sí, claro.

F: Y sin embargo, yo no existo. Como dije antes, usted me creó. ¿Dónde nos deja eso?

G: Yo le preguntaría qué clase de afirmación es "yo no existo". ¿Quién es el "yo" que afirma que no existe?

¿Fin?

Una película ¿sobre Gödel?

2011-02-01T21:21:00.003-03:00

Gödel from Igor Kramer on Vimeo.

Para seguirla, hay que saber un poquito de inglés.

Un problemita muy matemático

2011-01-29T14:05:00.003-03:00

1) Halle todas las funciones continuas g:(0, + infinito) --> R tales que g(x^y) = g(x)^g(y) para todo x, y.

2) Muestre una función discontinua g:(0, + infinito) --> R tal que g(x^y) = g(x)^g(y) para todo x, y.

("^", como siempre, significa "elevado a la").

[Dado que los comentarios a esta entrada se han apartado del tema inicial y se han adentrado en la discusión sobre 0^0, he decidido agregar a la entrada la etiqueta Irrefutable pero resistida, con la que designo a las entradas donde se habla de la afirmación "0^0 = 1". Hago, además, la observación de que, al momento de escribir estas líneas, 15.02.11, la segunda parte del problema sigue sin tener resolución.]

Concurso de Cuentos y Concurso de Ensayos

2011-01-18T19:01:00.006-03:00

En mayo de 2011 se cumplen 50 años de la puesta en marcha de la primera computadora científica de la Argentina, Clementina, una Mercury de Ferranti.

Para conmemorarlo, el Departamento de Computación de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires organiza una serie de actividades que incluyen los siguientes concursos:

Concurso de cuentos

Tema: "Clementina, la primera computadora."

El disparador del cuento es la llegada de la primera computadora a una universidad argentina.

Las obras serán recibidas entre el 10 de febrero y el 15 de Abril.
El jurado, integrado por Liliana Heker, Guillemo Martínez y Juan Sabia, se expedirá el 15 de mayo.

Bases en http://www.dc.uba.ar/events/cincuenta/Bases_cuentos.pdf

Para consultas sobre el concurso escribir a conc_lit_clementina@dc.uba.ar

Concurso de ensayos

Concurso de ensayos de investigación histórica sobre 50 años de computación en Argentina.

Las obras serán recibidas entre el 15 de Abril y el 16 de mayo de 2011. El jurado, integrado por Jorge Aguirre, Dora Barrancos y Pablo Jacovkis, se expedirá el 21 de junio de 2011.

Bases en http://www.dc.uba.ar/events/cincuenta/Bases_ensayos.pdf

Para consultas escribir a ensayo_clementina@dc.uba.ar

Más información...

Más información sobre el evento de conmemoración de los cincuenta años de Clementina en http://www.dc.uba.ar/events/cincuenta

Departamento de Computación

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Buenos Aires
Pabellón I, Ciudad Universitaria
Buenos Aires
http://www.dc.uba.ar

Un diálogo

2011-01-17T11:35:00.007-03:00

Fabián: Hola.

G.P.: Hola.

Fabián: ¿Puedo hacerle una pregunta?

G.P.: Sip.

Fabián: En esta entrada de su blog usted hace una comparación entre el problema de la cuadratura del círculo y el ajedrez.

G.P.: Sip.

Fabián: Usted dice en esa entrada que resolver el problema de la cuadratura del círculo es tan imposible como lograr que un alfil pase de una casilla negra a una blanca sin violar las reglas del ajedrez. ¿Entendí bien?

G.P.: Ajá...

Fabián: Sin embargo sí es posible, sin violar las reglas del ajedrez, que un alfil pase de una casilla negra a una blanca (o al revés).

G.P.: Eso es imposible.

Fabián: No, no lo es.

G.P.: Sí, sí lo es. Enunciémoslo así: En el transcurso de una partida de ajedrez en la que se respeten las reglas del juego un alfil que inicialmente estaba en una casilla negra nunca pasará a una casilla negra, o viceversa. Inclusive puedo demostrárselo matemáticamente, por inducción en la cantidad de movimientos del alfil.

Fabián: Todo muy bonito, pero imaginemos una partida en la que a las blancas le han capturado el alfil que inicialmente estaba en la casilla c1 (casilla negra), pero no le han capturado el otro alfil. Imaginemos también que, más delante en el mismo juego, el blanco corona un peón en una casilla blanca y que pide un alfil. Obviamente el rival le dará la misma pieza que antes le había capturado, así que el alfil, la misma pieza, que inicialmente estaba en c1 (casilla negra) pasa ahora a estar en una casilla blanca sin que las reglas del ajedrez se hayan violado.

G.P.: Pero no es el mismo alfil...

Fabián: ¿Cómo que no es el mismo? Claro que sí lo es, es el mismo objeto, la misma pieza que ha pasado desde c2 hasta una casilla blanca, en el transcurso de la misma partida y sin violentar las reglas de juego. Claro, pudo sufrir algún desgaste por el roce con las manos, perder algunas moléculas, pero si ése no es el mismo alfil, ninguna pieza es igual a sí misma.

G.P.: Okey. No me refería a eso. Admito que se trata de la misma pieza, del mismo objeto, pero...

Fabián: ¿Pero?

G.P.: (Piensa un rato.) De acuerdo. Digámoslo así: En el transcurso de una partida de ajedrez en la que se respeten las reglas del juego, y en la que ninguno de los dos jugadores corone un alfil (es decir, pida un alfil al coronar un peón), en esa partida, digo, un alfil que inicialmente estaba en una casilla negra nunca pasará a una casilla negra, o viceversa.

Fabián: Sí, pero...

G.P.: ¿Pero?

Fabián: Muchas veces, en un match entre dos jugadores profesionales, una partida se suspende y se continúa más adelante, por ejemplo al día siguiente.

G.P.: ¿Hum?

Fabián: La posición se desarma y el juez el match la rearma al día siguiente, o cunado sea la reanudación, usando las mismas piezas.

G.P.: Ya veo a dónde quiere llegar, pero...

Fabián: Pero nada. Es posible que al rearmar la posición el alfil que estaba en una casilla negra sea colocado en una casilla blanca y/o viceversa.

G.P.: Pero no es la misma partida...

Fabián: Sí que lo es.

G.P.: (Piensa otra vez.) En el transcurso de una partida de ajedrez, cuyo desarrollo no es suspendido para ser continuado en un momento posterior, en la que se respeten las reglas del juego, y en la que ninguno de los dos jugadores corone un alfil (es decir, pida un alfil al coronar un peón), en esa partida, digo, un alfil que inicialmente estaba en una casilla negra nunca pasará a una casilla negra, o viceversa. ¿Está de acuerdo ahora?

Fabián: Hummm.

G.P.: ¿?

Fabián: Supongo que se refiere a las reglas actuales del ajedrez, porque quizás en el siglo XXII se agregue un movimiento especial, digamos un "alfil al paso" que permita...

G.P.: ¡Okey! En el transcurso de una partida de ajedrez, cuyo desarrollo no es suspendido para ser continuado en un momento posterior, en la que se respeten las reglas actuales del juego, y en la que ninguno de los dos jugadores corone un alfil (es decir, pida un alfil al coronar un peón), en esa partida, digo, un alfil que inicialmente estaba en una casilla negra nunca pasará a una casilla negra, o viceversa. ¿Y ahora?

Fabián: Imagino dos amigos (no profesionales) que juegan para divertirse. En un momento dado uno de ellos le pide al otro si le permite intercambiar los alfiles (pasar el alfil que en está en la casilla A a la casilla B, y viceversa). No como una jugada, claro, sino como un mero reacomodamiento de piezas. Si sólo lo hace una vez, y su intención no es distraer al rival, el adversario podría aceptar y en ese caso el alfil en casilla blanca habrá pasado a...

G.P.: ¿Y por qué querría hacer eso?

Fabián: No sé, podría ser un capricho...

G.P.: ¿Permiten eso las reglas?

Fabián: "Nadie será obligado a lo que la ley no mande, ni privado de lo que ella no prohíba." La reglas, al menos las reglas que usan los amigos para jugar entre sí, no prohíben ese intercambio de piezas (si el rival está de acuerdo). Y si la reglas no prohíben, entonces lo permiten.

G.P.: Me parece que está exagerando.

Fabián: Las reglas lo permiten...

G.P.: Yo no lo permitiría.

Fabián: Recuérdeme no jugar al ajedrez contra usted...

G.P.: (Piensa un poco más.) En el transcurso de una partida de ajedrez, cuyo desarrollo no es suspendido para ser continuado en un momento posterior, en la que se respeten las reglas actuales del juego, en la que ninguno de los dos jugadores corone un alfil (es decir, pida un alfil al coronar un peón) y en la que ninguno de los dos jugadores pide permiso para reacomodar las piezas, en esa partida, digo, un alfil que inicialmente estaba en una casilla negra nunca pasará a una casilla negra, o viceversa. ¿Y ahora?

Fabián: ¿Y si las reacomoda sin permiso?

G.P.: Estaría violando la reglas; aunque más no sea las reglas no escritas de cortesía.

Fabián: Okey.

G.P.: ¿Está conforme?

Fabián: Por ahora sí, pero...

G.P.: ¿Pero...?

Fabián: ¿Cómo queda entonces su analogía con la cuadratura del círculo?

Continuará...

El Sombrerero Loco

2011-01-16T15:31:00.002-03:00

Descripción

Llamo a este esquema El Sombrerero Loco: En una habitación hay cierto número de personajes; cada uno tiene un sombrero, que puede ser de color blanco o de color negro. Todos los personajes ven el sombrero que tienen los demás, pero nadie conoce ni puede ver el propio.

Se supone que los que tienen sombreros blancos deben hacer siempre afirmaciones verdaderas y que los que tienen sombreros negros deben hacer siempre afirmaciones falsas. Ahora bien, como al principio nadie sabe cuál es realmente su color de sombrero, cada personaje adopta al comenzar una postura cualquiera. Es decir, cada uno decide (independientemente de cuál sea su sombrero) hacer siempre afirmaciones falsas o hacer siempre afirmaciones verdaderas.

Cuando un personaje hace una afirmación, otro personaje puede advertirle que no se está comportando correctamente. Es decir, le puede decir que está haciendo una afirmación falsa cuando su sombrero en realidad es blanco, o que está haciendo una afirmación verdadera mientras que su sombrero es negro. La advertencia es así: No deberías decir eso. La advertencia opuesta es: Bien dicho. Claro está que quien hace esta advertencia podría, a su vez, estar mintiendo.

Cuando, a partir de lo que ve y de lo que oye, un personaje logra deducir cuál es su propio color de sombrero, entonces (sin ninguna advertencia) comienza a comportarse tal como este color indique. Si deduce que su color es negro, a partir de ese momento hará afirmaciones falsas; si deduce que es blanco, hará afirmaciones verdaderas (esto puede significar, o no, un cambio en el comportamiento que venía teniendo).

Observemos finalmente que todos oyen lo que dicen los demás y que todos son lógicos perfectos, es decir, conocen inmediatamente todas las consecuencias lógicas de lo que se dice.

El problema

Tenemos cuatro personajes, a los que llamaremos Abel, Benito, Carlos y Darío.

Abel le dice a Benito: Tu sombrero es negro.

Carlos le dice a Abel: No deberías decir eso.

Darío le dice a Carlos: Bien dicho.

Benito le dice a Abel: Tu sombrero es blanco.

Darío le dice a Benito: No deberías decir eso.

Darío le dice a Abel: Tu sombrero es blanco.

Benito le dice a Darío: No deberías decir eso.

Abel le dice a Darío: Nuestros sombreros son del mismo color.

¿De qué color es el sombrero de cada uno? ¿Qué postura adoptó cada uno inicialmente?

El Omegón y todo eso... (Parte 18)

2011-01-11T08:55:00.008-03:00

A la parte 17 - A la parte 19

Adenda sobre los puntos de acumulación

En esta entrada quiero ampliar la explicación del papel que jugó, en el desarrollo de la teoría de los ordinales, el concepto de "punto de acumulación". Fue mencionado en capítulos anteriores, pero ahora voy a profundizar en conceptos antes mencionados un poco al pasar.

Decíamos algunos capítulos atrás que, a principios de la década de 1870, Georg Cantor comenzó a trabajar en la Universidad de Halle. Allí Eduard Heine, su director, le planteó el siguiente problema: tenemos una función periódica f(x) que hemos desarrollado en serie de Fourier, si en cada período la cantidad de puntos singulares de f(x) (es decir, los puntos de discontinuidad de f(x) o puntos donde la serie es divergente) es infinita ¿podemos asegurar entonces que esa escritura en serie de Fourier de f(x) es la única posible (o, por el contrario, podrá haber otra serie diferente que converja a la misma función)?

Recordemos que Heine ya había resuelto afirmativamente la cuestión para una cantidad finita de punto singulares, Cantor se enfrentaba ahora al "caso infinito".

Dijimos también que, pocos meses después de planteado el problema, Cantor tenía ya una primera respuesta: puede asegurarse que la escritura es única siempre y cuando los puntos singulares estén distribuidos en la recta de una manera determinada. Pero Cantor, en primera instancia, no supo encontrar una manera clara y directa de describir cuáles eran las condiciones que debía cumplir esa distribución. Después de un tiempo logró obtener esa descripción clara y simple, y para ello creó el concepto de "punto de acumulación".

¿Qué es un punto de acumulación? Voy a dar la definición que dio Cantor, que él refería específicamente al caso de los números reales (posteriormente el concepto se llevó a contextos mucho más generales). Necesitamos previamente recordar qué significa que una sucesión de números converge a un límite L.

Una sucesión a(1), a(2), a(3),... converge a L si, fijada cualquier distancia épsilon, existe un número natural n (que depende de épsilon) tal que si m > n entonces la distancia entre a(m) y L se hace menor que épsilon. Traducido a un castellano más impreciso pero tal vez menos árido: a(1), a(2), a(3),... converge a L si, tomando n suficientemente grande, todos términos de la sucesión a partir de a(n) se acercan a L tanto como se quiera.

El ejemplo clásico es la sucesión a(n) = 1/n, cuyos términos son 1, 1/2, 1/3, 1/4,... y que converge a 0.

Definición: Si P es un subconjunto de los números reales, decimos que b es punto de acumulación de P si existe una sucesión a(n) no constante y formada totalmente por elementos de P, tal que a(n) converge a b.

Por ejemplo, si P = (0,1), entonces 0 es punto de acumulación de P. Por ejemplo, una sucesión formada por elementos de P y que converge a 0 es a(n) = 1/(n + 1) (siempre tomaremos n = 1, 2, 3, 4,...). En realidad, es fácil ver que el conjunto de todos los puntos de acumulación de P es [0,1].

Ejercicio para el lector: Demuestre, a partir de la definición dada más arriba, que si P es finito entonces no tiene puntos de acumulación.

Definición: Llamaremos P', el derivado de P, al conjunto de todos los puntos de acumulación de P.

Por lo tanto, para P = (0,1), tenemos P' = [0,1].

Pasemos a otro ejemplo. Tomemos ahora P = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...}. Es decir, P está formado por el 0 y por todos los números de la forma 1/n con n = 1, 2, 3, 4,... Es evidente que 0 es punto de acumulación de P. ¿Qué pasa con los demás números?

Veamos, el 1 no es punto de acumulación de P. Si lo fuera, debería haber otros elementos de P tan cercanos al 1 como se desee (esos elementos serían los términos de la sucesión a(n) de los que habla la definición). Pero esto no sucede, ya que no hay otros puntos de P a manos de 1/2 de distancia del 1. Es decir, en todo el intervalo (1 - 1/2, 1 + 1/2) no hay elementos de P diferentes del 1 mismo. Por lo tanto, el 1 es un punto aislado de P y no es punto de acumulación.

Lo mismo sucede con el 1/2, ya que no hay puntos de P a distancia menor que 1/6 de él. Y también sucede con el 1/3, el 1/4, etc. Todos los puntos de la forma 1/n son puntos aislados de P. Por otra parte, es fácil ver que los puntos que no pertenecen a P tampoco son puntos de acumulación. Por lo tanto, para P = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...} vale que P' = {0}.

Por supuesto, podemos también definir el derivado del derivado e P que es (P')' = P". Y el derivado de éste: (P")' = P''', etc. A los que llamaremos derivado segundo, derivado tercero, etc.

Observemos que si P = (0,1) entonces P' = [0,1], P" = [0,1], P''' = [0,1], etc.

Por otra parte, si P = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...}, entonces P' = {0} y P" es el conjunto vacío (el derivado de {0}, como para todo conjunto finito, es el vacío). Tenemos así que el derivado segundo de P es el conjunto vacío.

¿Será posible hallar un conjunto P tal que su derivado tercero sea el vacío (pero ninguno de los anteriores)? La respuesta es afirmativa, pero la estudiaremos en el próximo capítulo...

A la parte 17 - A la parte 19

Agradecimiento y saludo

2010-12-31T16:44:00.003-03:00

Tarde, pero seguro, un caluroso agradecimiento a Alejo Prudkin por su reseña en educ.ar (véase aquí)... ¡Y un muy buen comienzo de año para todos!

Viaje al planeta Biplantar

2010-12-27T20:04:00.005-03:00

Cierta vez Spock, el viajero espacial estudioso de la Lógica, llegó al planeta Biplantar. En este planeta, como en tantos otros visitados por Spock, la población entera está dividida en dos grupos: el de los veraces y el de los mentirosos. Los veraces sólo hace afirmaciones rigurosamente verdaderas mientras que los mentirosos sólo hacen afirmaciones falsas.

En este planeta, además, todas las casas tienen dos plantas, a las que, en un alarde de imaginación, llamaremos inferior y superior. En una de las plantas (puede ser la inferior o puede ser la superior, eso depende de cada casa) viven solamente veraces, en la otra planta, obviamente, viven solamente mentirosos. Esto no quiere decir que cada uno de ellos esté confinado a una planta específica, cual si de prisioneros se tratara. Por el contrario, quienes viven en una planta pueden visitar libremente la otra, pero "viven" (moran, pernoctan, residen) sólo en una las dos.

En los pueblos o en las ciudades pequeñas las casas son de estructura sencilla y cualquier visitante sabe en todo momento en qué planta de la casa se encuentra. En las grandes ciudades, en cambio, las casas pueden tener una estructura muy compleja, laberíntica diríamos, con escaleras falsas que parecen conducir a plantas inexistentes, ventanas con falsos paisajes (creados por jardines elevados artificialmente o por juegos de espejos), puertas falsas y otras trampas para la percepción de tal modo que, después de un tiempo de transitar por sus habitaciones, el visitante puede perder la noción de si se encuentra en la planta inferior o en la superior (aunque el residente nunca se extravía y siempre sabe perfectamente dónde se encuentra).

En su primer día en el planeta Biplantar, Spock se encontraba en una casa en un pueblo pequeño. Había llegado hacía una o dos horas, pero todavía no tenía idea de quiénes vivían en cada planta. En ese momento vio a un residente (que vivía en esa casa, aunque no necesariamente en la planta donde ambos se encontraban) y después de saludarlo, Spock le preguntó a qué grupo pertenecía (es decir, si era veraz o mentiroso). El nativo respondió:

Si yo dijera: "Si hay una planta sobre nosotros entonces yo vivo en ella", entonces usted podría deducir a qué grupo pertenezco.

De esta información Spock dedujo enseguida en qué planta vivían los veraces y en qué planta, los mentirosos. Tal vez dedujo otras cosas, tal vez no. (Pero nótese que el hecho de que Spock tenga la información suficiente como para hacer una determinada deducción no significa necesariamente que la tengamos también nosotros.)

Las preguntas son: ¿El nativo que habló con Spock era veraz o mentiroso? ¿En qué planta de la casa estaban los dos, la inferior o la superior? ¿En cuál de las dos plantas vivían los veraces?

Para cada pregunta el desafío es, o bien responderla, o bien demostrar que la información que se tiene es insuficiente para dar una respuesta certera.

Que se diviertan...

Un teorema sobre 0^0

2010-12-21T08:40:00.003-03:00

Teorema: Sea T una teoría que hable de los enteros no negativos y sus operaciones, si en esa teoría se define 0^0 como 1 entonces no se produce contradicción alguna.

Demostración: Si definimos a los números enteros no negativos en el contexto de la teoría F de los conjuntos finitos (los definimos como los cardinales de esos mismos conjuntos) entonces la afirmación 0^0 = 1 puede demostrarse como teorema (véase aquí). Por lo tanto, la afirmación es consistente con la teoría F, es decir, F U {0^0 = 1} es consistente.

Por ende, T U {0^0 = 1} es consistente también (cualquiera sea T consistente y que defina a los enteros no negativos), porque, de no ser así, la misma contradicción que surgiera en T U {0^0 = 1} existiría también en F U {0^0 = 1}, pero esa supuesta contradicción, ya vimos, en realidad no existe.

...todo lo demás es prejuicio irracional.

Acertijo en 6 por 6

2010-12-18T14:56:00.008-03:00

El protagonista de este problema es un tablero de 6x6...

...y el objetivo es completarlo de acuerdo con las siguientes reglas:

1. Cada una de las casillas con un círculo debe contener un número, que sólo puede ser, en cada caso, un 1 o un 4. En las demás casillas no habrá números.

2. Al terminar, debe haber al menos un 1 y al menos un 4.

3. Algunas de las casillas restantes contendrán minas (a modo de ayuda, una ya está colocada), otras, eventualmente, pueden quedar vacías.

4. Las casillas con círculos no contienen minas, ni pueden quedar vacías.

5. Como en el Buscaminas de Windows, cada número debe indicar cuántas minas hay en las casillas que están alrededor de él.

Que se diviertan....

Raro (pero verdadero)

2010-11-25T09:46:00.001-03:00

0,999.... (con infinitos nueves) es un número entero.

El Omegón y todo eso... (Parte 17 ¿y final?)

2010-11-21T10:47:00.001-03:00

(A la parte 16 - A la parte 18)

El comienzo y el fin

Decíamos en el capítulo anterior que, a principios de la década de 1870, Georg Cantor llegó a Halle. Cantor comenzó a trabajar bajo la dirección de Eduard Heine quien le propuso el siguiente problema: ¿es única la descomposición en serie de Fourier de una función periódica, aun cuando ésta tenga, en cada período, una cantidad infinita de puntos singulares? (Heine había probado que la respuesta es positiva cuando la cantidad de puntos singulares es finita.)

Pocos meses después, hacia 1872, Cantor obtuvo una primera respuesta: la descomposición es única siempre y cuando los puntos singulares de la función estén distribuidos en la recta real de una determinada manera. Pero Cantor no encontró, en principio, un modo claro y preciso de exponer qué condiciones debía cumplir esa distribución.

Como un teorema no sólo debe ser demostrado, sino que esa demostración deben estar escrita de modo que sea comprensible [las demostraciones las escriben y las leen seres humanos], Cantor se dedicó al problema, esencialmente lingüístico, de hallar un modo de exponer claramente cuáles eran las hipótesis que debía cumplir el conjunto de puntos singulares para que la descomposición en serie de Fourier fuese única. Y fue en el transcurso de la resolución de ese problema que Cantor creó un concepto que más tarde haría carrera en la Matemática: el concepto de punto de acumulación.

No es necesario dar aquí una definición precisa de este concepto (en este enlace hay una muy breve explicación - en esta entrada se amplía). Baste decir que, dado un conjunto P de números reales, se puede definir (la terminología y notación son de Cantor) un conjunto P', que es llamado el conjunto derivado de P, y que contiene a todos los puntos de acumulación de P. Este conjunto P' puede ser igual a P, o puede contener a P, o puede ser el conjunto vacío, etc. Por ejemplo, si P = [0,1], entonces P' resulta ser el mismo conjunto [0,1].

Pero también podemos calcular el derivado del derivado, P". Y el derivado del derivado del derivado, P''', etc. En el caso de P = [0,1] todos estos derivados sucesivos siguen siendo el [0,1], pero en otros casos se obtienen conjuntos diferentes. Por ejemplo, si P = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4,...} entonces P' = {0} y P" es el conjunto vacío.

Cantor observó que en algunos casos estas derivaciones sucesivas terminaban en el conjunto vacío (como en el segundo ejemplo), mientras que en otros casos esto nunca sucedía (como en el caso del [0,1]). Cantor llamó conjuntos de primer tipo a los primeros y de segundo tipo a los segundos. Y enunció su teorema así: si los puntos singulares de una función periódica forman un conjunto de primer tipo entones su escritura en serie de Fourier es única. Dado que los conjuntos finitos resultan ser de primer tipo, el resultado de Cantor incluía como caso particular al de Heine.

Pero Cantor no se quedó conforme con este resultado y siguió pensando. Observó que este en este proceso de derivadas sucesivas podía definirse una especie de "derivada infinita": el límite de P(n) (derivado n-ésimo de P) con n tendiendo al infinito. Sien embargo, hasta aquí, todavía, no estaba haciendo un uso "peligroso" del infinito, aún estaba en el terreno familiar del infinito potencial, el infinito del límite. Sin embargo, estaba al borde de su gran descubrimiento, el cual se produjo cuando, en un momento dado, encontró un ejemplo de un conjunto P tal que P(infinito) = {0}... y por lo tanto, (P(infinito))' = P(infinito + 1) = {0}' = vacío.

¿Qué era este "infinito + 1"? Ya no era el infinito potencial, el del límite, porque para el límite tanto "infinito" como "infinito + 1" son lo mismo. Pero en este caso no era así, ya que P(infinito) y P(infinito + 1) eran conjuntos diferentes. Se trataba entonces de un concepto diferente del infinito.

Debió ser muy traumático para Cantor el encontrarse cara a cara con el por tantos siglos prohibido y temido infinito potencial. Tanto es así que tardó diez años aceptar que lo que tenía entre manos era nada más, ni nada menos, que un modo de contar más allá del infinito. Y cuando finalmente lo aceptó, en 1883, publicó un artículo titulado Fudamentos para una Teoría General de Conjuntos, donde Cantor incluye su tan citada frase: "fui llevado por la lógica de mis investigaciones a romper con tradiciones que me habían enseñado a respetar" [algunas traducciones dicen "venerar"]. En ese trabajo, además, cambió el símbolo habitual del infinito (el "ocho acostado") por la letra griega omega, para resaltar así que "su" infinito no era el del límite. En ese trabajo, además, bautizó como "ordinales" a estos nuevos "números infinito" y dio comienzo la historia que aquí hemos narrado.

Y aquí termina la historia, o quizás comienza, porque las paradojas de la teoría de Cantor llevaron a la Crisis de los Fundamentos, al Programa de Hilbert, al Teorema de Gödel, a las Máquinas de Turing, a los trabajos de Frege, al Intuicionismo de Brouwer,... Queda en la voluntad del lector el internarse en ese laberinto, un laberinto del que aquí hemos mostrado solamente la entrada y que, por suerte, no tiene salida.

¿Fin? - parece que no...

(A la parte 16 - A la parte 18)

El Omegón y todo eso... (Parte 16)

2010-11-20T19:20:00.001-03:00

(A la parte 15, A la parte 17)

El comienzo: Cantor y Heine

Georg Cantor nació en San Petersburgo (ex Leningrado, ex San Petersburgo) en 1845. Cuando todavía era un niño su familia se trasladó a Alemania y Cantor estudió, creció y vivió toda su vida en ese país. Más exactamente, Georg estudió Matemáticas en la Universidad de Berlín (una de las mejores del mundo para estudiar Matemáticas en aquella época) y hacia 1870 publicó sus primeras investigaciones, dirigidas por Leopold Kronecker, en el campo de la Teoría de Números.

Dicen que, aunque correctos, esos primeros trabajos no presagiaban la existencia un pensamiento particularmente creativo u original. Tanto es así que, poco tiempo después, Cantor se trasladó a la Universidad de Halle, de menor categoría que Berlín, al menos en aquella época, donde comenzó a trabajar bajo la dirección de Eduard Heine.

¿Quién era Eduard Heine? Para responder a esta pregunta, hagamos un pequeño paréntesis:

Cuando, a fines del siglo XVII, Newton y Leibniz crearon el Cálculo Diferencial, ninguno de los dos pudo dar (a pesar de que lo intentaron) una explicación lógica, convincente, clara y concreta que justificara la validez de los métodos que presentaban (tal vez porque se adelantaron a su propia época y las Matemáticas de su tiempo no estaban suficientemente maduras como para sustentar esa explicación). Durante décadas la única justificación para el uso de los métodos del Cálculo fue puramente pragmática: en la práctica, a la hora de calcular áreas o rectas tangentes, estos métodos funcionaban maravillosamente y resolvían problemas que ningún otro podía resolver.

Ahora bien, con el transcurrir del siglo XVIII los métodos del Cálculo empezaron a volverse cada vez más complejos, a la vez que (y precisamente por ese motivo) se volvían más dudosos en su validez. Por ejemplo, a mediados de ese siglo, Leonhard Euler, el mago de las sumas infinitas, dedujo la expresión de la serie que permite calcular el coseno de cualquier número mediante un razonamiento en el transcurso del cual se afirmaba que el producto de un número infinitamente grande por un número infinitamente pequeño da como resultado un número cualquiera "de tamaño finito".

A principios del siglo XIX la situación se había vuelto insostenible. Nadie sabía por qué, cuándo o cómo los métodos que se usaban en el Cálculo eran realmente válidos. D'Alembert, por ejemplo, consolaba a sus alumnos diciéndoles que si perseveraban lo suficiente tarde o temprano "la fe les llegaría".

Es así que, a lo largo del siglo XIX surge lo que posteriormente se dio en llamar el Movimiento Crítico de la Matemática, una corriente de investigaciones dirigidas a resolver el problema de los fundamentos del Cálculo. Matemáticos que formaron parte de este movimiento fueron Cauchy, Bolzano, Riemann, Weierstrass, Dedekind, Abel, ...un largo etcétera..., Heine y Cantor.

En los años previos a la llegada de Cantor a Halle, Heine había estado lidiando con el siguiente problema: ¿es única su descomposición en Serie de Fourier de una función periódica? Una función periódica representa una onda que se repite periódicamente. A principios del siglo XIX Joseph Fourier (matemático francés, ministro de Napoleón) descubrió un método que consiste en descomponer esa onda en una suma infinita (una serie) de ondas fundamentales (representadas por senos y cosenos). La pregunta de Heine era si esa descomposición es única o si, por el contrario, existirá alguna onda que admite dos o más descomposiciones diferentes.

Heine llamó "puntos singulares" de la función periódica a aquellos puntos donde la onda tiene saltos (puntos de discontinuidad de la función) o a aquellos donde la serie de Fourier da una suma infinita (es divergente) y probó que si, en cada período, hay una cantidad finita de puntos singulares entonces, en efecto, su descomposición en serie de Fourier es única.

Cuando, a principios de la década de 1870, Cantor llegó a Halle ansioso, imaginamos, por tener un problema para trabajar en él, Heine le propuso lo siguiente: que investigara si la descomposición en serie de Fourier seguía siendo única aun cuando la cantidad de puntos singulares en cada período fuera infinita. Cantor comenzó a trabajar en ese problema y pocos meses después tenía una primera respuesta...

(Continuará.)

(A la parte 15, A la parte 17)

El Omegón y todo eso... (Parte 15)

2010-11-19T17:04:00.008-03:00

(A la parte 14 – A la parte 16)

Los ordinales, hoy (y la paradoja de Burali-Forti)

Recordemos que la mal llamada Paradoja de Burali-Forti ("mal llamada" porque en verdad fue descubierta por el mismo Cantor) surge al considerar las dos afirmaciones siguientes:

a) Todo ordinal tiene un sucesor.

b) El conjunto de todos los ordinales, que también es un ordinal, es el mayor de todos los ordinales y, por ende, no tiene sucesor.

En las afirmaciones anteriores la palabra "conjunto" se usa en el sentido que se le da en la teoría de Cantor, también llamada teoría intuitiva de conjuntos, y en la que, hablando informalmente, a cada propiedad se le asocia el conjunto de todos los objetos que cumplen esa propiedad (entendiendo la palabra "objeto" en el sentido más amplio posible).

Como decíamos en los dos capítulos anteriores, en las modernas teorías de conjuntos (todas aquellas que surgieron en las primeras décadas del siglo XX para subsanar las contradicciones de la teoría de Cantor) se hace una distinción entre "clase" y "conjunto". A cada propiedad se le asocia la clase de todos los objetos que cumplen esa propiedad y se reserva la palabra conjunto para designar a una clase que es elemento de alguna clase más grande. Las clases que no son elementos de una clase mayor se denominan clases propias. (Todas estas teorías incluyen, además, algún axioma que impide que una clase sea elemento de sí misma.)

Vimos en el capítulo anterior cómo esta simple distinción entre clases propias y conjuntos evitaba la Paradoja de Russell. Veamos ahora cómo evita la Paradoja de Burali Forti. La solución para esta paradoja resulta ser casi decepcionantemente simple y consiste en observar que, a partir de la definición de ordinal que que se da en el contexto de las modernas teorías de conjuntos, puede probarse que:

a) Todo ordinal, si es un conjunto, tiene un sucesor.

b) La clase de todos los ordinales es una clase propia y no tiene un sucesor. (De hecho, si se "calcula" el sucesor de esta clase se obtiene la clase universal, que no es un ordinal.)

c) El único ordinal que es una clase propia es la clase de todos los ordinales.

Y la paradoja, así de simple, desapareció... De este modo, sin traicionar el espíritu de la idea original de Cantor, se obtiene una teoría para los ordinales que está libre de paradojas... O, mejor dicho, que está libre de paradojas hasta donde se sabe. Porque nada impide que, quizás en este mismo momento, un Bertrand Russell del siglo XXI esté descubriendo la paradoja que tendrá a mal traer a los matemáticos del futuro...

(A la parte 14 – A la parte 16)

Cuento Corto

2010-10-12T15:13:00.004-03:00

Espero me disculpen por incluir una entrada no relacionada con los temas habituales de este blog, pero si se sumergen en este enlace encontrarán un cuentito (nunca mejor utilizado el diminutivo) escrito por un servidor y publicado por la revista Axxón.

Gaussianos y 0^0 = 1

2010-10-08T16:41:00.003-03:00

Haciendo clic en este enlace se arribará a una discusión en el excelente blog Gaussianos en torno al tema de que 0^0 = 1.

Charla

2010-08-23T22:31:00.004-03:00

En el Instituto Nacional Superior del Profesorado Técnico (INSPT), Triunvirato 3174, Buenos Aires...

El Omegón y todo eso... (Parte 14)

2010-08-19T13:51:00.002-03:00

(A la parte 13 – A la parte 15)

Los ordinales, hoy (continuación)

Queremos recuperar en el contexto de la teoría de Morse-Kelley la construcción de los ordinales de Cantor, y además hacerlo de tal modo que se eviten las paradojas. La idea básica es que, mientras Cantor concebía a los ordinales como números que permitían contar "más allá del infinito", la teoría de Morse-Kelley concibe a los ordinales como conjuntos, y la relación "menor que" de Cantor se reemplaza por la relación "pertenece a". Veamos cómo se hace esto:

Como dijimos en la parte anterior, en la teoría de conjuntos de Morse-Kelley el número 0 se identifica con la clase vacía. Los axiomas de la teoría permiten probar que 0 es, de hecho, un conjunto. Por lo tanto podemos decir que 0 es el conjunto vacío. Además, 0 es el primer ordinal.

El ordinal siguiente al 0 es el 1, que se define como

1 = {0}

Puede probarse que 1 es un conjunto, el conjunto cuyo único elemento es el 0. Por lo tanto 0 pertenece a 1. Observemos también que 0 es un subconjunto de 1.

Los ordinales finitos siguientes 2, 3, 4, 5, 6,... son también todos conjuntos y se definen como:

2 = {0, 1}

3 = {0, 1, 2}

4 = {0, 1, 2, 3}

5 = {0, 1, 2, 3, 4}

6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Y así para todos los ordinales finitos. Notemos que 1 pertenece a 2 (y también pertenece a 3, 4, 5,...). También 1 = {0} es un subconjunto de 2, 3, 4, 5,...

El ordinal 2 pertenece y es subconjunto de 3, 4, 5, 6,...

El ordinal 3 pertenece y es subconjunto de 4, 5, 6, 7,...

Y así sucesivamente.

Observemos también que:

El sucesor de 0 es 0 U {0} = {0} = 1.

El sucesor de 1 es 1 U {1} = {0} U {1} = {0, 1} = 2.

El sucesor de 2 es 2 U {2} = {0, 1} U {2} = {0, 1, 2} = 3.

Etc.

El primer ordinal infinito, omega, se define como la clase (puede probarse que, de hecho, es un conjunto) cuyos elementos son todos los ordinales finitos:

omega = {0, 1, 2, 3, 4,...}

Su sucesor es omega + 1 = omega U {omega} = {0, 1, 2, 3, 4,..., omega}, donde los puntos suspensivos abarcan todos los números naturales desde 5 en adelante. Todos los ordinales finitos son elementos y subconjuntos de omega, que a su vez es elemento y subconjunto de omega + 1.

Recordemos que una de las reglas de construcción de ordinales establecida por Cantor nos decía que a continuación de una secuencia creciente de ordinales consecutivos se "hacía aparecer" un nuevo ordinal. En la teoría de conjuntos ese nuevo ordinal es la clase cuyos elementos son todos los ordinales anteriores.

Pero ¿cómo se define el concepto de ordinal? Para comenzar definimos la noción de clase completa.

Definición: una clase x es completa si todo elemento de x es también un subconjunto de x.

Para entender esta definición debemos recordar primero que en esta teoría todos los objetos considerados son clases y que no existe la distinción habitual entre elementos individuales y clases (o conjuntos).

En segundo lugar observemos que si x = {1}, entonces 1 es elemento de x, pero 1 no es subconjunto de x, porque 1 = {0} y 0 no es elemento de x. Por lo tanto {1} no es completo. Todos los ordinales mostrados más arriba, en cambio, sí son completos.

Definición: una ordinal es una clase completa que está bien ordenada por la relación de pertenencia.

Es decir, si x es un ordinal y consideramos la relación de pertenencia, definida entre los elementos de x, entonces x resulta ser bien ordenado por esa relación. Veamos cómo esta definición nos permite ir obteniendo, uno tras otro, los sucesivos ordinales 0, 1, 2, 3,...:

Supongamos que x es un ordinal. Si x es 0 entonces está al comienzo de la secuencia. Veamos que si no es 0 entonces es mayor o igual que 1 (es decir, o es igual a 1 o el 1 es elemento de x, recordemos que aquí "menor" equivale a "pertenece").

Supongamos que x es no vacío, como es bien ordenado por la relación de pertenencia entonces tiene un mínimo. Sea y esa mínimo. Como x es completo e y es un elemento de x entonces y es un subconjunto de x.

Supongamos que y fuera no vacío, existiría en consecuencia algún z tal que z pertenece a y.

Entonces: z pertenece a x (porque pertenece a y, que es subconjunto de x), pero también pertenece a y, es decir "es menor que y", pero y el mínimo de x (no puede haber elementos menores que él). Esto es un absurdo, luego z no puede existir. Es decir, y = 0.

En resumen, si x es un ordinal no vacío entonces 0 pertenece a x. En otras palabras, x es mayor que 0 y {0} = 1 es un subconjunto de x.

Ahora bien, x podría ser el 1, o no. Si x es 1, entonces sigue al 0 en la secuencia de ordinales.

Si x no es 1 tomamos el mínimo de x - {0} y un razonamiento similar al anterior nos permitirá probar que, en ese caso, si x es mayor o igual que 2. Ahora bien, si x no es 2, un razonamiento similar nos permitirá probar que es mayor o igual que 3. Etc.

En la próxima parte veremos cómo esta definición conjuntista de los ordinales nos permite evitar la paradoja de Burali-Forti.

(A la parte 13 – A la parte 15)

Los Números Surreales (Cap. 3)

2010-08-14T08:25:00.001-03:00

Algunas observaciones sobre la suma

y el segundo paso

En el capítulo anterior decíamos que se puede probar, por inducción, que la suma de números surreales es una operación asociativa y conmutativa. Esto es verdad, sin embargo la prueba, cuando uno quiere escribirla con todo detalle, presenta una o dos complicaciones inesperadas. De todos modos, no es mi intención internarme aquí en detalles técnicos, sino comentar solamente algunas de las ideas más importantes relativas a los números surreales, por lo que, en adelante, omitiré las demostraciones cuando éstas sean complicadas.

Por otra parte, previamente a la prueba de la asociatividad y la conmutatividad de la suma, habría que probar el hecho de que la suma es una operación válida. Es decir, que si x e y son números surreales (ambos cumplen las condiciones indicadas en la regla 1), entonces x + y también cumple esas mismas restricciones. Como en el caso de la asociatividad y de la conmutatividad de la suma, aceptaremos este hecho sin adentrarnos en su demostración.

Vayamos ahora al segundo paso. En el primer paso obtuvimos el número surreal que hemos llamado 0 (dado que es el neutro de la suma). En el segundo paso podemos formar dos nuevos números que, por el momento, llamaremos alfa y beta:

alfa = ({0},{})

beta = ({},{0})

Notemos que la construcción ({0},{0}) no define un número porque en ella el elemento del conjunto de la izquierda es mayor o igual que el elemento del conjunto de la derecha (y en consecuencia se viola la restricción de la regla 1).

Recordemos que, según la regla 2, un número es menor o igual que otro si y sólo si ningún elemento del conjunto izquierdo del primer número es mayor o igual que el segundo número y ningún elemento del conjunto derecho del segundo número es menor o igual que el primer número.

Tenemos entonces que beta = ({},{0}) es menor o igual que 0 = ({},{}) y que 0 = ({},{}) es menor o igual que alfa = ({0},{}).

En cambio 0 = ({},{}) no es menor o igual que beta = ({},{0}) ya que el elemento del conjunto derecho del segundo número es mayor o igual que el primer número. Por la misma razón alfa no es menor o igual que 0. Podemos decir entonces que: alfa > 0 > beta.

Recordemos también que si x = (A,B) e y = (C,D) entonces x + y es el número surreal cuyos dos conjuntos se definen de la siguiente manera: en el conjunto izquierdo de la suma aparecen todas las sumas de la forma a + y y también todas las sumas de la forma c + x. En el conjunto derecho de la suma aparecen todas las sumas de la forma b + y y también todas las sumas de la forma d + x. (Indicamos como a un elemento genérico del conjunto A, lo mismo para B, C, D.)

Según esta definición, alfa + beta = ({beta},{alfa}).

Aquí se ve una de las dificultades que aparecen al hacer demostraciones sobre la suma: aunque alfa y beta son números creados en el paso 1, su suma, en cambio, es un número que sólo puede ser definido en el paso 2 (este detalle complica las demostraciones por inducción en las que uno necesita basarse en lo que sucede en los pasos previos).

Para determinar quién es alfa + beta debemos apelar a un teorema que se demuestra en el libro de Knuth, y que es fundamental para todo lo que haremos en adelante.

Teorema: si x = (A,B) entonces x es estrictamente mayor que todos los números de A y estrictamente menor que todos los números de B. Más aún, x es el número más antiguo que cumple esa condición (donde "más antiguo" quiere decir "el que es creado en el paso de menor número posible").

Este teorema no dice que, dado que alfa > 0 > beta, entonces ({beta},{alfa}) = 0. Es decir, ({beta},{alfa}) es otra representación del número 0, de la misma forma que en la aritmética usual 7/14 es otra representación del número 1/2.

Podemos decir entonces que -beta = alfa y que, en general, para todo número positivo x vale que ({-x},{x}) = 0. En el próximo capítulo identificaremos exactamente quién es alfa.

(Continuará...)

El Omegón y todo eso... (Parte 13)

2010-08-09T12:48:00.001-03:00

(A la parte 12 – A la parte 14)

Los ordinales, hoy

Como decíamos ayer, la teoría de conjuntos (en particular, la teoría de los ordinales), tal como fue planteada por Georg Cantor , resultó ser inconsistente (1). Esto quedó demostrado por la existencia de la paradoja del mayor ordinal posible (la mal llamada Paradoja de Burali-Forti, discutida en el capítulo anterior) y también por la paradoja de Russell del conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos.

Cantor intentó solucionar estos problemas mediante un argumento filosófico-teológico según el cual existen dos niveles de infinitud: el nivel transfinito y el nivel de la infinitud absoluta. El primero, según Cantor, es el único accesible a la mente humana. Cantor aseguraba que toda su teoría de ordinales y cardinales se enmarcaba en este nivel.

Por el contrario, decía Cantor, la comprensión del nivel absoluto estaba sólo reservada a Dios y era inaccesible al ser humano. En este nivel se encontraban conceptos tales como "el conjunto de todos los conjuntos" y "el mayor de todos los ordinales". Las paradojas que se derivan de estos conceptos, siempre según Cantor, sólo son aparentes y resultan ser el fruto de nuestras propias limitaciones (2).

Esta "explicación", además, calmaba los escrúpulos religiosos de Cantor. Como ya dijimos antes, hasta el siglo XIX muchos teólogos consideraban que el infinito era un concepto esencialmente divino y que pretender comprenderlo constituía una herejía. Cantor, quien era profundamente religioso, estuvo durante mucho tiempo muy incómodo con la idea de ser un hereje. La concepción de que, después de todo, habría un parte del infinito inaccesible a la mente humana lo reconciliaba de alguna manera consigo mismo.

La verdad es que esta explicación filosófico-teológica no convenció a ningún matemático, ni siquiera a los dos más grandes defensores de Cantor, David Hilbert y Richard Dedekind, y es así como los problemas de la teoría de Cantor quedaron sin resolver durante varios años (en la década de 1920 David Hilbert todavía planteaba la comprensión del infinito como uno de los mayores desafíos para el honor de espíritu humano).

En los primeros años del siglo XX Bertrand Russell intentó una solución mediante una reformulación de las reglas del lenguaje lógico-matemático que, de ser aplicadas, se suponía, eliminarían todas las paradojas conocidas hasta ese momento. Lamentablemente, por razones demasiado extensas para explicarlas aquí, la idea de Russell falló.

La solución (al menos la solución hasta ahora aceptada) provino del enfoque axiomático y consistió específicamente en el planteo de una teoría axiomática de conjuntos. En realidad, decir "una" teoría de conjuntos es inexacto. Aunque la teoría más "popular" entre los matemáticos es la llamada teoría de Zermelo-Fraenkel, se han propuesto muchas teorías de conjuntos, no todas equivalentes entre sí.

Mi intención es desarrollar a continuación algunos de los puntos principales de la llamada teoría de conjuntos de Morse-Kelley, haciendo especial hincapié en la definición de los ordinales y en cómo se eliminan las paradojas que aparecen en la teoría de Cantor. (Al hablar de los ordinales, me basaré en la exposición que se hace en el apéndice del libro de John L. Kelley, Topología General, Eudeba, Buenos Aires, 1975.) Aunque hablaré de la teoría de Morse-Kelley, casi todo lo que diré (tal vez todo) es común a casi todas (tal vez a todas) las teorías de conjuntos existentes actualmente.

Para comenzar, digamos que todas las teorías de conjuntos actuales eliminan las paradojas (por ejemplo la de Russell o la de Burali-Forti) mediante un truco de lenguaje que (curiosamente, o no) tiene reminiscencias de la explicación filosófico-teológica de Cantor. El truco consiste esencialmente en hacer una distinción entre clases y conjuntos.

A toda propiedad (entendamos la palabra "propiedad" en su sentido intuitivo) le corresponde una clase: la clase de todos los objetos que cumplen esa propiedad. Ahora bien, antes de continuar es importante decir que en casi todas las teorías de conjuntos actuales todos los objetos de la teoría son clases. Es decir, la distinción "tradicional" entre clases y elementos no existe. Insisto, todas son clases, sólo que algunas clases son elementos de otras clases más grandes.

Por ejemplo, en la teoría de Morse-Kelley el número 0 se define como la clase vacía (que es la clase definida por la propiedad "x es distinto de x"). Observemos que 0 no se define como el cardinal de la clase vacía (como habría hecho Cantor), sino que es esa clase. 0 es un nombre para la clase vacía.

¿Qué es un conjunto? Un conjunto es un caso particular de clase. Una clase es un conjunto si pertenece a una clase más grande. Tenemos entonces que las clases se dividen en dos tipos, por una lado están los conjuntos, que son clases que son miembros (o elementos) de clases más grandes y por otro lado están las clases propias, que no son miembros de clases más grandes. (Cantor, probablemente, hubiera identificado a las primeras con "lo transfinito" y a las segundas con "lo absoluto".) Por ejemplo, la clase universal (la clase que contiene a todo, definida por la propiedad "x = x") es una clase propia.

Dijimos antes que a cada propiedad P le corresponde una clase C. La definición dice que:

"x pertenece a C si y sólo si (x cumple P y x es un conjunto)"

¿Cómo sirve esta distinción para evitar, por ejemplo, la paradoja de Russell? En la teoría intuitiva de conjuntos (nombre que actualmente se la da a la teoría de conjuntos de Cantor) a cada propiedad simplemente le corresponde un conjunto. Si a la propiedad P le correspondiera el conjunto C diríamos que:

"x pertenece a C si y sólo si x cumple P"

Tomemos, como hizo Russell, la propiedad "x no pertenece a x" y llamemos R al conjunto que le corresponde. Luego:

"x pertenece a R si y sólo si x no pertenece a x"

La teoría intuitiva nos dice que la afirmación anterior es verdadera cualquiera sea el valor que le asignemos a x. Tomemos, por ejemplo, x = R. Tenemos así que la teoría nos dice que es verdad que:

"R pertenece a R si y sólo si R no pertenece a R"

Pero la lógica elemental nos dice que esta afirmación es ipso facto falsa. La teoría intuitiva de conjuntos nos conduce entonces a una falsedad y es, por lo tanto, contradictoria.

Ahora bien ¿qué diría ante esta situación una teoría moderna de conjuntos? ¿Cómo elude la paradoja? Tomemos la misma propiedad de antes, "x no pertenece a x" y sea R la clase que le corresponde. La definición que da una teoría de conjuntos actual nos dice que, cualquiera sea x, vale que:

"x pertenece a R si y sólo si ((x no pertenece a x) y (x es un conjunto))"

Como antes, tomemos x = R. Es verdad entonces que:

"R pertenece a R si y sólo si ((R no pertenece a R) y (R es un conjunto))"

Y no hay paradoja porque esta afirmación no es contradictoria en sí misma. Más aún, del hecho de que esta afirmación es verdad se deduce que R no pertenece a sí misma y que R no es un conjunto. Es decir, R es una clase propia.

Vemos así como las modernas teorías de conjuntos evitan (mediante un truco de lenguaje) la paradoja de Russell. Veremos en la próxima cómo definen los ordinales y cómo evitan (de manera similar) la paradoja de Burali-Forti.

Notas:

(1) En su libro Comprendiendo el Infinito (Fondo de Cultura Económica, México DF, 2005), Shaughan Levine sostiene la tesis de que la teoría de Cantor era consistente y que las contradicciones que se achacan aparecen solamente si se aplica la teoría a situaciones que Cantor no contemplaba (es decir, la teoría es consistente si nos limitamos a lo que Cantor llamaba "lo transfinito"). Sin embargo, creo que Levine se equivoca. La teoría de Cantor es inconsistente. Por supuesto, si ante cada incosistencia nos limitamos a decir "ese caso no lo tomo en cuenta" entonces cualquier teoría (aun la más absurda) puede ser defendida como consistente.

(2) En 1904 Cantor le escribió una carta a Bertrand Russell usando este argumento como intento de refutación de su paradoja del conjunto de los conjuntos que no pertenecen a sí mismos. No sabemos si Russell le respondió. (La carta de Cantor está reproducida en el libro citado en la nota anterior.)

(A la parte 12 – A la parte 14)

Revista Axioma

2010-08-05T10:39:00.005-03:00

En este enlace están ya disponibles los números 0 al 6 de Axioma, revista para profesores y estudiantes de matemática. Próximamente estarán también disponibles los números del 7 al 19, que completan la colección de números publicados.

Los Números Surreales (Cap. 2)

2010-08-02T14:12:00.003-03:00

El primer paso y la suma

Para comenzar recordemos las dos reglas de construcción de los números surreales:

Regla 1: cada número surreal corresponde a dos conjuntos de números preexistentes tales que ningún elemento del conjunto izquierdo es mayor o igual que algún elemento del conjunto derecho.

Regla 2: un número es menor o igual que otro si y sólo si ningún elemento del conjunto izquierdo del primer número es mayor o igual que el segundo número y ningún elemento del conjunto derecho del segundo número es menor o igual que el primer número.

Como dijimos en el capítulo anterior, los números surreales se van construyendo en pasos sucesivos. Cada número surreal, como dice la regla 1, se define como un par de conjuntos cuyos elementos son, a su vez, números surreales creados en pasos previos.

Vayamos ahora al primero de estos pasos. Al enfrentarnos al primer paso todavía no tenemos números construidos por lo que el único conjunto que podemos tomar es el conjunto vacío, que indicaremos como {}. En el primer paso, entonces, sólo podemos definir el número surreal ({},{}), que, provisionalmente, llamaremos ?:

? = ({},{})

La regla 1 dice que ningún miembro del conjunto izquierdo puede ser mayor o igual que algún miembro del conjunto derecho. En efecto, ({},{}) cumple esta condición ya que no hay modo de hallar un elemento del conjunto izquierdo que sea mayor o igual que alguno del derecho. Un razonamiento similar nos permite probar (a partir de la regla 2) que ? es mayor o igual que sí mismo.

Para identificar a ? con un poco más de precisión necesitamos definir la operación de suma entre números surreales.

Suma: Si x = (A,B) e y = (C,D) entonces x + y es el número surreal z cuyos dos conjuntos se definen de la siguiente manera (indicamos como a un elemento genérico del conjunto A, lo mismo para B, C, D):

En el conjunto izquierdo de z aparecen todas las sumas de la forma a + y (es decir, todos los resultados que se obtiene al sumarle y a los elementos de A) y también todas las sumas de la forma c + x. (Se le suma x a los elementos izquierdos de y, y se le suma y a los elementos izquierdos de x.)

En el conjunto derecho de z aparecen todas las sumas de la forma b + y y también todas las sumas de la forma d + x.

Por inducción en el número de paso en que cada número ha sido creado, puede probarse que esta suma es (como toda suma debe ser) una operación asociativa y conmutativa.

Observemos también que si, por ejemplo, A es vacío entonces los elementos de la forma a + y simplemente no existen. Con esta consideración en mente es fácil ver que ? + ? = ?. Más aún, si x es un número surreal cualquiera puede probarse (nuevamente, por inducción en el número de paso en que x ha sido creado) que x + ? = x. Es decir, ? es el neutro de la suma y esto justifica que identifiquemos a ? con el símbolo 0:

0 = ({},{})

({},{}) es el número surreal 0 ¿Qué relación existe entre este número surreal 0 y el número real 0? Exploraremos esta pregunta más adelante.

(Continuará...)

Mala lógica futbolística

2010-07-28T17:38:00.002-03:00

(Del diario Clarín de Buenos Aires, miércoles 21 de julio de 2010.)

Si Boca gana todos los partidos, más que candidato será campeón...

Los Números Surreales (Cap. 1)

2010-07-25T21:30:00.002-03:00

Los Números Surreales fueron creados (¿o descubiertos?) por John H. Conway a principios de la década de 1970. Mi intención es iniciar con esta entrada una exposición de la definición de estos números, así como de sus operaciones y propiedades. Finalmente, quiero tomarlos como base para algunas reflexiones relativas a otras áreas de la Matemática, como por ejemplo el Análisis Matemático.

En palabras de Donald Knuth, que describió el sistema de Conway en un libro titulado, precisamente, Números Surreales (Editorial Reverté, España, 1979), estos números se construyen siguiendo dos reglas:

Regla 1: cada número surreal corresponde a dos conjuntos de números preexistentes tales que ningún elemento del conjunto izquierdo es mayor o igual que algún elemento del conjunto derecho.

Regla 2: un número es menor o igual que otro si y sólo si ningún elemento del conjunto izquierdo del primer número es mayor o igual que el segundo número y ningún elemento del conjunto derecho del segundo número es menor o igual que el primer número.

Es decir, los números surreales se van construyendo en pasos sucesivos. Un número surreal se define como un par de conjuntos, cada uno de ellos formado por números surreales construidos en pasos previos. Es decir, si x es un número surreal entonces x = (A,B), donde A y B son conjuntos de números creados previamente, con la condición de que ningún elemento de A sea mayor o igual que algún elemento de B.

La segunda regla nos dice cómo comparar números surreales. Si x = (A,B) e y = (C,D) entonces x es menor o igual que y si y sólo si se cumple:

Ningún elemento de A es mayor o igual que y.

Ningún elemento de D es menor o igual que x.

Desde luego, no hay ningún círculo vicioso en esta regla, ya que la comparación entre x e y se define a partir de la comparación de estos dos números con con otros que fueron creados previamente. Se trata entonces de una definición por inducción en el número de paso en que cada número fue creado.

(Continuará...)

La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 7 y último)

2010-07-24T12:03:00.004-03:00

(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)

La duplicación de la esfera

Todas las piezas de la demostración del Teorema de Banach-Tarski ya han sido mostradas. Sólo falta ensamblarlas convenientemente para comprender la idea (sólo hablaré de la idea, no de los detalles técnicos).

Como decíamos ayer, es posible cortar un cuadrado en partes que, reorganizadas convenientemente, nos permitan armar dos cuadrados iguales al original. La partición que hemos hecho requiere una cantidad infinita de partes (cada parte es, en realidad, un solo punto).

Como también dijimos, el que un conjunto de puntos constituya una parte no depende tanto de los puntos en sí como de los movimientos que les apliquemos al rearmar la nueva figura. Una parte es un conjunto de puntos a los cuales les aplicamos simultáneamente los mismos movimientos. Así pensada, como también vimos, una parte puede ser disconexa. De hecho, una parte puede consistir simplemente en una "nube de puntos".

Si en la duplicación del cuadrado hubiera, pongamos por caso, 100.000 puntos a los cuales se les aplicaran simultáneamente los mismos movimientos, esos 100.000 puntos formarían una parte. Inclusive, tal vez, aplicando el suficiente ingenio, podríamos lograr reunir a los puntos en una cantidad finita de partes, cada una de ellas con la forma de una nube de puntos.

En el caso del cuadrado este último objetivo (el de reunir los puntos en una cantidad finita de partes) es irrealizable, pero sí es alcanzable en el caso de la esfera.

Así como hay tantos puntos en un cuadrado como en dos cuadrados iguales a él, de la misma forma hay tantos puntos en una esfera como en dos esferas iguales a ella. Esto ya lo sabía Cantor en 1880 y Cantor podría haber duplicado la esfera de la misma forma que antes nosotros duplicamos el cuadrado o el cubo (tomado cada parte como un punto). El ingenio de Banach y Tarski en su demostración de 1920 es haber logrado reunir a los puntos de la esfera en una cantidad finita de grupos (a cada uno de los cuales se les aplica "en bloque" exzactamente los mismos movimientos). Estas partes, entonces. no deben pensarse como los bloques de un puzzle, sino más bien como nubes formadas por puntos que se mueven al unísono.

¿Por qué no puede realizarse la partición con una esfera verdadera (digamos, una esfera de oro)? La respuesta ya fue comentada y puede resumirse así: una esfera de oro no es una esfera matemática. En la partición de una esfera matemática (que a la que se refiere el teorema del que estamos hablando) interviene cada uno de los puntos de su interior (que son infinitos y no numerables). Una esfera de oro, en cambio, está formada por una cantidad finita de átomos y su interior es principalmente espacio vacío.

Para finalizar, les dejo un problema que (hasta donde conozco) fue planteado por primera vez por Iván Skvarca hace ya algunos años. El problema dice así: ¿es posible cortar un triángulo equilátero en cinco partes iguales? Donde, que dos partes sean "iguales" quiere decir que es posible mover una de ellas hasta superponerla exactamente con la otra. Como vimos en el capítulo 1, un problema de este tipo puede pensarse física o matemáticamente. Les dejo, para pensar, ambos aspectos del problema.

Gracias por la amable atención. Un saludo para todos...

Conferencia de divulgación

2010-03-22T16:08:00.004-03:00

La Ciencia en el País de las Maravillas

Curiosidades científicas en la obra de Lewis Carroll

Conferencia de Claudio Sánchez

Lunes 5 de abril a las 19:00

Entrada libre y gratuita

Librería Eterna Cadencia

Honduras 5582, entre Fitz Roy y Humboldt

Buenos Aires

La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 6)

2010-03-10T11:25:00.004-03:00

(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)

La duplicación del cubo

Vamos a comenzar este capítulo recordando, y ampliando, algunos conceptos que ya vimos en el capítulo 2. Lo haremos a través de la solución del siguiente problema.

Problema: Cortar, en una cantidad finita de partes, una franja de longitud infinita de modo tal que las partes resultantes permitan armar la misma franja y además un cuadrado. (Por una franja de longitud infinita entendemos la región del plano comprendida entre dos rectas paralelas, incluidas las dos rectas).

Para resolver el problema, fijamos un cuadrado cualquiera dentro la franja. A la derecha de este cuadrado fijamos un segundo cuadrado. A la derecha de este último, a la misma distancia, fijamos un tercer cuadrado. Y así sucesivamente. De este modo, habremos fijado una sucesión infinita de cuadrados, cada uno equidistante con sus dos vecinos (excepto el primero, por supuesto, que no tiene vecino a la izquierda).
Dividimos la franja de la siguiente manera:

1. Una parte está formada por el primer cuadrado.
2. Otra parte está formada por todos los demás cuadrados de la sucesión.
3. Una tercera parte está formada por todos los demás puntos de la franja.

La figura siguinete nos muestra cómo reorganizar estas partes de modo de obtener la franja más un cuadrado.

El primer cuadrado es desplazado fuera de la franja. Todos los demás son desplazados una misma distancia hacia la izquierda. De este modo, obtenemos la misma franja más un cuadrado-

Como vimos en el segundo capítulo, un conjunto de puntos forma una "parte" si a todos los puntos en cuestión se les aplica simultáneamnete los mismos movimientos (rotaciones, traslaciones, simetrías). Por lo tanto, es válido considerar a todos los cuadrados (excepto el primero) conjuntamente como una sola parte.

Como he dicho unos párrafos más arriba, esta idea ya la vimos en el capítulo 2. Me interesa destacar aquí que el hecho de que la cantidad de partes sea finita o infinita depende, en algunos casos, de nuestro ingenio a la hora de definir esas partes. Por ejemplo, en el caso de la franja, si los cuadrados hubieran sido elegidos a distancias crecientes (así como en el problema del cap. 2, los "segmentos rojos" estaban colocados a distancias decrecientes) entonces cada cuadrado habría sido una parte diferente y la cantidad total de partes habría sido infinita.

Hay casos, sin embargo, en los que, no importa cuánto ingenio depleguemos, la cantidad de partes no puede ser finita, veremos algún ejemplo más adelante.

Con esta idea en mente, revisemos otra vez al problema del capítulo anterior:

Problema: Cortar un cuadrado en partes de modo de obtener dos cuadrados iguales al original.

En el capítulo anterior, para dividir el cuadrado elegimos un lado cualquiera de él y lo cortamos en segmentos perpendiculares a ese lado. Ahora bien ¿cada segmento constituye una parte diferente? En realidad, según la idea que acabamos de ver, no tenemos suficiente información como para responder esa pregunta. Necesitamos saber exactamente qué movimientos se les aplica a los segmentos.

Por ejemplo, si hubiera todo un grupo de segmentos a los que se les aplicaran simultáneamente los mismos movimientos, entonces en conjunto, esos segmentos formarían una sola parte. En principio al menos, es concebible que, inclusive, la cantidad total de partes pudiera llegar a ser finita (tal como en el ejemplo de la franja).

Para saber si, en el problema del cuadrado, la cantidad de partes es finita, o no, debemos volver a resolver el problema, pero ahora indicando de manera explícita los movimientos involucrados.

Recordemos que la solución se basó en el hecho de que hay tantos puntos en un segmento como en dos segmentos de la misma longitud que él. Esto significa que es posible emparejar los puntos de un segmento con los puntos de dos segmentos de la misma longitud. Mostrmos explícitamente cómo se puede hacer este emparejamiento. Lo haremos en cuatro pasos sucesivos.

Paso 1: Hay tantos puntos en un segmento como en en un segmento del doble de longitud que él.

Queremos ver cómo es posible emparejar cada punto de un segmento A con un punto de un segmento B (del doble de longitud que A) de modo que ningún punto quede sin pareja, ni que haya dos o más puntos que queden emparejados con un mismo punto (ni solteros, ni polígamos, como decíamos en el capítulo anterior). El siguiente dibujo muestra cómo emparejar los puntos de un segmento con otro del doble de longitud:

De paso, este dibujo resuelve el siguiente problema: cortar un segmento en partes que, reordenadas, nos den un segmento del doble de longitud. Cada parte, en este caso, es un punto y las líneas azules nos dicen cómo debemos desplazarlos (cada punto sufre un desplazamiento diferente, por lo que debe ser considerado una parte diferente).

Paso 2: Hay tantos puntos en un segmento como en un segmento de la misma longitud al que le hemos quitado uno de los extremos. (La falta del extremo se indica con un "circulito blanco". Como ya dijimos en otras ocasiones, se trata solamente de una convención gráfica para indicar una situación matemática irreproducible en la realidad física.)

Es obvio que hay un emparejamiento uno-a-uno entre dos segmentos de la misma longitud: cada punto de un segmento lo emparejamos con el punto correspondiente del otro. ¿Pero qué pasa si a uno de los segmentos le falta uno de los extremos? El dibujo siguiente nos muestra qué podemos hacer en ese caso (en el fondo, es la misma idea que la empleada más arriba para la franja infinita o, en el cap. 2 para los "segmentos rojos").

Tomamos uno de los extremos del segmento que está "completo" y lo emparejamos con el punto medio del otro segmento. Al punto medio del primer segmento lo emparejamos con el punto que marca un cuarto de la longitud. Al que marca un cuarto de la longitud con el de un octavo, y así sucesivamente. Todos los demás puntos se asocian con su pareja "natural" (la que le correspondería si no hubiera faltado ningún punto).

Paso 3: Veamos este dibujo.

En la figura, tomamos un segmento y lo partimos en dos. Una de las partes contiene el punto medio del segmento original, la otra no lo contiene. La parte que no contiene el punto medio es emparejada con una de la misma longitud que sí tiene los mismos extremos.

Paso 4: A cada uno de los dos segmentos obtenimos en el paso anterior le aplicamos el procedimiento indicado en el paso 1. La combinación de todos estos emparejamientos (la "composición" de los movimientos, se diría en leguaje matemático) nos da como resultado una manera de emparejar los puntos de un segmento con los de dos segmentos de la misma longitud que él.

Para duplicar el cuadrado, tal como ya dijimos en el capítulo anterior, aplicamos estos cuatro pasos a uno de los lados de la figura y hacemos que cada punto "arrastre" al segmento contenido en el cuadrado y que es perpendicular al lado elegido.

De este modo, una vez más, hemos logrado la duplicación del cuadrado. Una observación cuidadosa de los movimientos empleados nos permite concluir (ahora sí) que la cantidad de partes usadas es infinita, ya que, en efecto, cada segmento es una parte diferente (dado que a cada segmento se le aplica una traslación diferente).

Ahora bien, los cuatro pasos que vimos antes nos permiten duplicar el segmento. La duplicación del cuadrado puede verse como la "consecuencia plana" de esa duplicación lineal. Podemos ir un paso más allá y usar la duplicación del cuadrado para duplicar el cubo.

En efecto, pensemos al cuadrado superior del dibujo anterior como la base de un cubo. Cada segmento de los que antes usamos para duplicar ese cuadrado nos servirá ahora como "guía" para hacer un corte perpendicular en el cubo. El cubo queda así cortado en lonjas cuadradas unidimensionales. Si hacemos que cada segmento arrastre la lonja correspondiente, las lonjas formarán dos cubos iguales al original.

Es decir, hemos resuelto el siguiente problema: cortar un cubo en partes que permitan armar dos cubos iguales al original.

La duplicación del cubo se basa, en definitiva, en el hecho de que hay una correspondiencia uno-a-uno entre los puntos de un segmento y los putnos de dos segmentos de la misma longitud que él. Pero este hecho ya era conocido por Georg Cantor hacia 1875. Es decir, Cantor, aunque (que yo sepa) nunca lo publicó, ya sabía que era posible duplicar un cubo. El Teorema de Banach-Tarski se publicó en 1926, casi 50 años después ¿cuál es, entonces, el mérito de Banach y Tarski?

La posibilidad de duplicar un volumen era ya conocida en 1875, el mérito de Banach y Tarski (1) es haber tenido la habilidad suficiente como lograr esa duplicación en una cantidad finita de partes. Volveremos a esta cuestión en el próximo capítulo.

Nota: (1) Aclaremos que Alfred Tarski y Stephan Banach fueron dos grandes matemáticos que estarían, por mérito propio, en la historia de esa ciencia, aun cuando nunca hubieran duplicado la esfera.

(Continuara...)

Otro problema de probabilidades

2010-03-08T02:12:00.001-03:00

(Esta entrada es la participación de El Topo Lógico en la edición de marzo del Carnaval de Matemáticas. La idea de los organizadores es que haya una edición cada mes ¿será una expectativa demasiado optimista?)

Abel, Bruno, Carlos, Diego, Esteban y Federico (para abreviar, A, B, C, D, E y F) llegan tarde a la clase de Matemáticas. El Prof. Zacarías (Z, para los amigos) les pregunta el motivo del retraso y ellos contestan que se debe a que el automóvil en el que viajaban (los seis juntos) ha sufrido una pinchadura en una rueda y que han perdido tiempo cambiando la goma (o , si se quiere, el neumático) correspondiente.

El Prof. Z duda de la veracidad del relato y, a modo de comprobación, les pide inmediatamente que se sienten en pupitres separados y que cada uno anote en un papel cuál fue la rueda averiada (puede ser la delantera derecha, la delantera izquierda, la trasera derecha o la trasera izquierda). El razonamiento de Z es que si los seis no indican exactamente la misma rueda, entonces podrá afirmar que los alumnos están mintiendo.

Hasta aquí el relato plagia prolijamente un problemita publicado por Martin Gardner en uno de sus libros. Démosle ahora una pequeña vuelta de tuerca. Supongamos que, en efecto, los alumnos hayan mentido, que no hubo ninguna rueda averiada y que llegaron tarde por cualquier otro motivo (inconfesable).

Demos por supuesto, además, que los alumnos elegirán al azar qué rueda van a escribir. Zacarías se pregunta...

1. ¿Cuál es la probabilidad de que los seis anoten la misma rueda?

Gastón, que es otro alumno, ha visto que A y B lograron intercambiar, sin que Z lo notara, unas señas. Gracias a ellas, se han puesto de acuerddo en anotar ambos una rueda delantera, pero no llegaron acordar si anotarán la derecha o la izquierda (cada uno elegirá al azar una de ambas). En base a esta información, Gastón se pregunta...

2. ¿Cuál es la probabilidad de que los seis anoten la misma rueda?

Horacio ha visto lo mismo que Gastón, y ha visto además que C y D también lograron ponerse de acuerdo en escribir ambos una rueda delantera, aunque no pudieron acordar si la derecha o la izquierda. En base a esta información, Horacio se pregunta...

3. ¿Cuál es la probabilidad de que los seis anoten la misma rueda?

Inés, finalmente, ha visto lo mismo que Gastón y Horacio, pero además ha visto que E y F se han puesto de acuerdo... aunque no entendió bien si se pusieron de acuerdo en escribir ambos una rueda delantera o ambos una rueda trasera. Sí es seguro que, como en los dos casos anteriores, no lograron acordar si sería la rueda derecha o la izquierda. En base a esta información, Inés se pregunta...

4. ¿Cuál es la probabilidad de que los seis anoten la misma rueda?

Finalmente...

5. ¿Cuál es la probabilidad "real" de que los seis anoten la misma rueda?

Charla de divulgación

2010-03-05T08:15:00.003-03:00

"Los viajes en el tiempo, en la ciencia y la ciencia ficción"
A cargo de Claudio Sánchez

Un recorrido científico literario por los viajes en el tiempo: los principios involucrados, los problemas que plantean, las paradojas que aparecen. ¿Cómo trataron el tema (y manejaron los problemas) los autores de ciencia ficción?

Desde Albert Einstein hasta Stephen Hawking, desde H.G. Wells hasta Isaac Asimov, desde La máquina del tiempo hasta Volver al futuro y desde El túnel del tiempo hasta Los Simpson.

El viernes 12 de marzo a las 19:00
En Ojeto A
Niceto Vega 5181 (entre Uriarte y Thames)
Buenos Aires

Más información en info@objeto-a.com.ar

La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 5)

2010-02-22T05:48:00.002-03:00

(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)

La duplicación del cuadrado

En los dos capítulos anteriores vimos cómo es posible dividir un cuadrado de tal modo que con las partes resultantes podamos armar el mismo cuadrado y, además, un segmento. Es decir, como en el Teorema de Banach-Tarski, hemos hecho aparecer algo de la nada.

De todos modos, hay que admitir que ese "algo" que hemos hecho aparecer no es demasiado espectacular. Mientras que Banach y Tarski logran duplicar un volumen, nosotros no hemos logrado aumentar, ni siquiera ínfimamente, el área de la figura inicial. En efecto, dado que un segmento tiene área exactamente igual a cero, la combinación "cuadrado más segmento" tiene la misma área que el cuadrado por sí solo.

¿Será posible cortar un cuadrado de tal modo que las partes resultantes nos permitan armar dos cuadrados iguales al original (y así lograr una verdadera duplicación del área)? La respuesta, como veremos a continuación, es que sí.

Problema: Dividir un cuadrado en partes de tal modo que con ellas sea posible armar dos cuadrados iguales al original.

Primera versión de la solución: La clave de la solución consiste en observar que hay tantos puntos en un segmento como en dos segmentos de la misma longitud que él. Para entender esta afirmación veamos la siguiente figura:

En el dibujo, A, B y C son tres segmentos de la misma longitud. Cuando decimos que hay tantos puntos en A como en B y C reunidos queremos decir que es posible emparejar cada punto de A con un punto de B o con un punto de C, de modo tal que se cumplan a la vez todas las condiciones siguientes:

1. Cada punto de A se empareja con un punto de B o con un punto de C, sólo una de las dos alternativas.

2. Cada punto de B se empareja con un punto en A.

3. Cada punto de C se empareja con un punto de A

4. Ningún punto queda sin pareja, ni existe algún punto con dos parejas a la vez (ni solteros, ni polígamos podríamos decir).

A modo de ejemplo, en el dibujo de más arriba se ve que el punto p se empareja con el r y que el punto q se empareja con el s. (En la segunda versión de la solución veremos explícitamente cómo es posible definir este emparejamiento.)

Imaginemos ahora que A es uno de los lados del cuadrado que queremos cortar. Una "parte" del cuadrado será cualquier segmento que esté contenido en él y que sea perpendicular al lado A (es decir, cortamos al cuadrado en lonjas unidimensionales perpendiculares a A).

Para armar los dos cuadrados, desplazamos los segmentos según nos lo marque el emparejamiento que hicimos más arriba con los puntos. Si el punto p, por ejemplo, se corresponde con el punto r, entonces desplazamos el segmento correspondiente a p de modo que quede colocado "sobre" el punto r. Esto se ejemplifica en la figura siguiente:

Las características indicadas más arriba para el emparejamiento de los puntos nos aseguran que los segmentos obtenidos del primer cuadrado terminan formando, de manera completa, dos cuadrados iguales al original. De este modo, sin agregar nada, hemos duplicado el área de la figura inicial.

En el próximo capítulo veremos una segunda versión de esta misma solución en la que haremos foco en algunos detalles técnicos. Veremos también algunas consecuencias de la solución mostrada.

(Continuará...)

La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 4)

2010-02-16T20:17:00.012-03:00

(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)

"Espero que me perdone si uso imágenes gráficas en vez de expresiones matemáticas exactas." (Isaac Asimov, El Fin de la Eternidad, Cap. 1)

"Debes ir más allá de lo que ves." (Walt Disney Studios, El Rey León 3)

Más allá de lo que ves...

Voy a concederme una pequeña pausa en la exposición del tema que veníamos desarrollando para hacer algunas aclaraciones acerca de lo ya publicado. No hice antes estas aclaraciones porque en un principio juzgué que eran innecesarias, pero una reflexión posterior me ha hecho pensar que tal vez sea conveniente precisar algunos puntos.

En primer lugar debo decir que en este blog trato de reducir tanto como sea posible el uso de un lenguaje técnico-matemático.

Es muy conocida una fábula que dice (más o menos) así: Un rey le pide a un físico que le explique la Teoría de la Relatividad. El físico se la explica usando terminomogía técnica y lenguaje matemático, pero el rey le dice que no entiende nada.

El físico simplifica la explicación y reemplaza algunas ecuaciones matemáticas por analogías gráficas, pero igualmente el rey vuelve a decir que no entiende. La situación se repite una y otra vez, el físico reduce la terminología técnica, pero el rey le dice que aún no entiende.

Finalmente el físico explica la Relatividad a partir de una historia en la que dos personas juegan al tenis en un tren. El rey le dice que ahora sí entendió, a lo que el físico le responde "lástima, porque ésa ya no era la Teoría de la Relatividad".

Mi idea, en general, tanto al hablar de la Paradoja de Banach-Tarski como de cualquier otro tema matemático tratado en este blog, es mantenerme en un punto intermedio entre los dos extremos de la fábula: trato de usar un mínimo de lenguaje técnico, pero de modo tal que la explicación no sea una mentira. Es decir, si hablamos de la Paradoja de Banach-Tarski entonces hablamos de la Paradoja de Banch-Tarski, no de dos jugadores de tenis en un tren, pero con un mínimo de tecnicismos. (Al menos ésa es la intención general, otra cuestión es si esa intención se ve coronada por el éxito.)

Esta intención muchas veces me lleva (como al personaje de Asimov citado más arriba) a reemplazar las expresiones matemáticas exactas por imágenes gráficas. Sin embargo, al ver esas imágenes, uno no debe quedarse estancado en el dibujo. Tal como dice el mandril en la película también citada más arriba, hay que ir más allá de lo que se ve. ¿Qué quiero decir? Por ejemplo, quiero decir que esto no es un cuadrado:

Ni esto es un segmento:
Repito, el dibujo pintado de amarillo que acabamos de ver no es un cuadrado. Es la representación gráfica (muy imperfecta) de un concepto matemático abstracto que no existe en la realidad física. Una representación ciertamente muy útil y que nos ayuda a entender (o, como dice Borges, a creer que entendemos) las propiedades de un cuadrado.

Pero pretender que el dibujo tenga las propiedades del cuadrado es como querer vivir en la fotografía de una casa, o como buscarle las espinas a la palabra ROSA.

¿Qué es, entonces, un cuadrado? En principio, un cuadrado es un conjunto infinito (no numerable) de puntos del plano (lo mismo vale para un segmento, un triángulo, un hexágono, etc.) Voy a dar a continuación una definición posible del concepto de cuadrado (no es la única definición posible, pero es una definición que se ajusta perfectamente a los fines de nuestra exposición).

Para llegar a la definición de cuadrado necesito pasar por algunas notacioes y definiciones previas:

1. Llamamos R al conjunto de todos los números reales.

2. Llamamos [a,b] al conjunto de todos los números reales comprendidos entre los números a y b (ambos inclusive).

3. Si A y B son dos conjuntos, llamamos A x B al conjunto de todos los pares ordenados (x,y) tales que x es un elemento de A e y es un elemento de B.

4. Llamamos plano al conjunto R x R, es decir, al conjunto de todos los pares (x,y) donde x e y son números reales cualesquiera.

5. Llamamos cuadrado básico al conjunto [0,1] x [0,1].

6. Definición. Un conjunto de puntos es un cuadrado si y sólo si se obtiene del cuadrado básico por sucesivas aplicaciones (una cantidad finita de veces) de rotaciones, traslaciones y homotecias. (En este contexto, rotaciones, traslaciones y homotecias deben pensarse como cierto tipo específico de funciones de R x R en R x R.)

Análogamente podemos definir segmento. En ese caso el segmento básico es el conjunto [0,1] x {0}. (Deliberadamente no ilustro con dibujos.)

Dijimos que el dibujo de más arriba no es un segmento. Bien podemos pensar al segmento básico como un rectángulo degenerado en el que la base mide 1 y la altura mide exactamente 0.

No existe objeto físico alguno que sea equivalente a un segmento. Si pensáramos compararlo con una varilla delgada, por ejemplo, veríamos que un segmento tiene infinitos puntos, sin "espacio libre" entre ellos, mientras que la varilla está formada por una cantidad finita de átomos con (relativamente) mucho espacio libre dentro de ellos. Un segmento es divisible cualquier cantidad finita de veces, mientras que una varilla no lo es (no se puede dividir una varilla en 10^100 fragmentos, pero sí se puede hacer la operación equivalente con un segmento), etc.

De existir un objeto equivalente a segmento, sería invisible.

Voy a repetir la partición que hicimos en el capítulo anterior (allí explicada con la metáfora de los "segmentos rojos"), pero ahora usando un lenguaje matemático preciso:

La idea es establecer una partición de un cuadrado que nos permita obtener el mismo cuadrado más un segmento. Podemos suponer que tenemos el cuadrado básico [0,1] x [0,1]. Voy a definir una familia infinita de subconjuntos: A0, A1, A2,...

A1 es el conjunto {1/2} x [0,1]. (En el capítulo anterior lo describí como el segmento que une los puntos medios de dos lados opuestos del cuadrado, descripción perfectamente correcta que fue ilustrada con el primer "segmento rojo".)

A2 es el conjunto {1 - 1/4} x [0,1]

A3 es el conjunto {1 - 1/8} x [0,1]

Si n > 0, entonces An es el conjunto {1 - 1/2^n} x [0,1]

A0 = [0,1] x [0,1] - (A1 U A2 U A3 U...)

A1 es el que en el capítulo anterior llamé el primer segmento rojo, A2 es el segundo, A3 es el tercero, etc. A0 contiene a todos los puntos que no están en ninguno de los segmentos.

Para "ensamblar" el cuadrado más un segmento, a A1 le aplicamos la traslacióin de vector (-1,0), a A2 la traslación de vector (-1/4, 0), a A3 la traslación de vector (-1/8, 0) y así sucesivamente. A A0 le aplicamos la traslación nula, de vector (0,0).

De este modo se obtiene el cuadrado original más un segmento. Como ya dije, el mismo procedimiento fue explicado en el capítulo anterior apelando a la metáfora de los segmentos rojos. La partición del capítulo 2 también puede describirse en términos matemáticos exactos.

En adelante seguiré con mi idea de reducir al mínimo el lenguaje técnico, pero, recuerden, deben ir más allá de lo que ven...

(Continuará...)

La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 3)

2010-02-10T08:36:00.003-03:00

(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)

Abracadabra

En este capítulo veremos cómo sacar un conejo de una galera. O, mejor dicho, cómo sacar un segmento de un cuadrado. El problema que vamos a considerar es el siguiente:

Dividir un cuadrado de tal manera que con las partes resultantes se pueda ensamblar un cuadrado igual al original y además, aparte, un segmento.

Decíamos en el capítulo anterior que los problemas de "cortar y pegar" pueden analizarse desde dos puntos de vista: un punto de vista concreto o un punto de vista abstracto. El problema que estamos aquí considerando sólo puede entenderse en forma abstracta ya que (como también vimos antes) no existe objeto físico alguno que tenga las propiedades de un segmento matemático.

Procedamos a resolver el problema. La figura siguiente ilustra la idea de su solución:

En el cuadrado que aparece en la figura hemos destacado, en color rojo, varios segmentos.

1. El primer segmento conecta los puntos medios de dos lados opuestos del cuadrado.

2. El siguiente segmento rojo (a la derecha del primero) conecta dos puntos que marcan la cuarta parte de la longitud de esos mismos lados del cuadrado.

3. El siguiente segmento conecta puntos que marcan la octava parte de la longitud de esos mismos lados.

...Y así sucesivamente.

Obtenemos de esta forma una cantidad infinita de segmentos, cada uno de ellos más cercano que el anterior al lado del cuadrado que está a la derecha (aunque ninguno de los segmentos llega a coincidir con ese lado). Es interesante notar que el dibujo es, en realidad, una representación sumamente imperfecta de un proceso matemático abstracto irreproducible en la realidad física.

Definamos a continuación cuáles son las "partes" en que el cuadrado quedará dividido. Cada uno de los segmentos "rojos" es en sí mismo una de esas partes. Una última parte está formada, simplemente, por todos aquellos puntos del cuadrado que no pertenecen a alguno de los segmentos "rojos".

Tenemos entonces una cantidad infinita de partes. Podría objetarse que la última parte que definimos es disconexa, ya que claramente está formada por sectores separadas unos de otros. Pues bien, en la interpretación abstracta una "parte" es simplemente un conjunto de puntos de la figura original y se admite como posible que sea disconexa. (En la interpretación concreta, en cambio, se sobreentiende que todas las partes son conexas.)

"Ensamblar" las partes consiste en aplicarles rotaciones, traslaciones y simetrías. En este caso procedemos así:

1. Trasladamos el primer segmento rojo hacia la izquierda una distancia suficiente como para que quede fuera del cuadrado (por ejemplo, lo podemos trasladar una distancia igual a la longitud del lado del cuadrado).

2. Al mismo tiempo trasladamos el segundo segmento rojo de modo que ocupe la posición del primero. Y al tercero, de modo que ocupe la posición del segundo. Y al cuarto, de modo que ocupe la posición del tercero. Y así sucesivamente. (Nótese que, dado que no hay un "último segmento", todos los "huecos" del cuadrado se rellenan. Nótese también la similitud con la llamada Paradoja del Hotel de Hilbert.)

3. A los demás puntos no se les aplica movimiento alguno.

El resultado de estos movimientos es, como pedía el problema, un cuadrado igual al original y, aparte, un segmento.

Más allá de resolverlo ¿qué podemos aprender de este problema? Por un lado, tenemos aquí una situación en la que "aparece algo de la nada": teníamos un cuadrado, cortamos y pegamos, y pasamos a tener un cuadrado igual al original y además un segmento. Vemos aquí un primer atisbo del fenómeno Banach-Tarski, en el que tenemos una esfera y, tras cortar y pegar, aparece de la nada una segunda esfera.

Otro punto interesante, quizás aún más importante que el anterior, es éste: dijimos que al dividir una figura en partes, éstas no necesariamente tienen que ser conexas. ¿Podríamos haber considerado a todos los segmentos rojos, en conjunto, como una sola "parte"? La respuesta es que no, pero ¿por qué? ¿Qué es lo que hace que un conjunto de puntos pueda ser considerado, o no, una "parte" de la figura?

La respuesta está en los movimientos. Una "parte" está formada por puntos a los que se les aplican simultáneamente los mismos movimientos (rotaciones, traslaciones, simetrías).

Observemos que, en el problema, todos los puntos que no están en los segmentos rojos se quedan quietos en su lugar (si se quiere, se les aplica la traslación nula) y por eso pueden formar todos ellos una única parte del cuadrado.

Si todos los segmentos rojos se hubieran movido una misma distancia hacia la izquierda, entonces habrían podido formar todos ellos juntos una misma "parte" del cuadrado (y el cuadrado habría quedado así dividido en solamente dos partes). Pero el primer segmento se mueve una cierta distancia hacia la izquierda, el segundo se mueve una distancia menor, el tercero se mueve una distancia aún menor, y así sucesivamente. De modo que cada segmento debe ser considerado como una parte diferente.

En el próximo capítulo analizaremos una variante de este mismo problema, que nos mostrará otros aspectos de los problemas abstractos de "cortar y pegar".

(Continuará...)

Un problema de probabilidades

2010-02-08T06:41:00.000-03:00

(Esta entrada es la participación de El Topo Lógico en el Carnaval de Matemáticas.)

Imaginemos el siguiente juego de azar: se le presentan a un jugador n cajas cerradas, cada una de las cuales contiene una bola marcada con un número entre 1 a n (cajas diferentes contienen números diferentes). Las cajas son perfectamente iguales y es imposible determinar por su aspecto el contenido de cada una.

El jugador anota en la tapa de cada caja un número de 1 a n. No es obligatorio que anote números diferentes. Puede, por ejemplo, anotar un 1 en todas las cajas.

Una vez hechas las anotaciones, se destapan las cajas. El jugador se anota entonces un punto por cada caja en la que el número anotado en la tapa coincida con el número de la bola contenida.

Por ejemplo, si el jugador anota un 1 en todas las cajas entonces ganará exactamente un punto.

Preguntas:

1) Si n es par y el jugador anota un 1 en la mitad de las cajas y un 2 en la otra mitad ¿cuál es su ganancia esperada?

2) ¿Cuál es la estrategia óptima para el jugador? Es decir ¿cuál es la estrategia para la cual la ganancia esperada del jugador es la máxima posible?

Paradojas del infinito (II)

2010-02-05T12:03:00.003-03:00

Tenemos, por un lado, una recta infinita. Por otro lado tenemos una cantidad infinita de pequeños segmentos. Uno de estos segmentos mide 1/2 cm, otro mide 1/4 cm, otro 1/8 cm. y así sucesivamente. Aunque la cantidad de segmentos es infinita, la suma total de sus longitudes es apenas 1 cm.

Si distribuyéramos los segmentos a lo largo de la recta, la longitud total que cubrirían sería de apenas 1 cm. (o menos todavía, si los segmentos se superponen). La intuición nos dice que, no importa cómo coloquemos los segmentos, inevitablemente quedarán grandes porciones de la recta sin cubrir. Después de todo, estaríamos cubriendo apenas 1 cm. de una recta de longitud infinita.

Imaginemos que hemos colocado, de alguna forma, los infinitos segmentos sobre la recta. Tomemos ahora otro segmento de, digamos, 1 mm. de longitud. Éste será nuestro segmento de prueba.

Si al colocar el segmento de prueba sobre la recta, éste toca a alguno de los infinitos segmentos que colocamos primero, entonces sonará una alarma. Por "tocar" entendemos que haya una parte en común (que no se reduzca a un solo punto) entre alguno de los segmentos iniciales y el segmento de prueba.

La intuición nos dice que, no importa cómo hayamos colocado los segmentos iniciales (que abarcan solamente 1 cm. en una recta de longitud infinita), habrá muchas formas de colocar el segmento de prueba sin que suene la alarma.

Sin embargo... existe una manera de ubicar los segmentos iniciales de tal modo que, no importa cómo se coloque el segmento de prueba, la alarma siempre suene. Es decir, con segmentos que suman en total apenas 1 cm. de longitud es posible cubrir casi totalmente una recta de longitud infinita. Más exactamente, es posible cubrirla de tal modo que no haya en ella ni siquiera una parte de 1 mm. de longitud que quede sin ser tocada por al menos un segmento. Más aún, lo mismo sucedería si en lugar de un segmento de prueba de 1 mm. de longitud hubiéramos elegido uno de 0,000000001 mm., o cualquier otra longitud aún menor (siempre que no fuera cero).

El modo de lograr este prodigo es el siguiente. Es sabido que el conjunto de los números racionales es numerable, es decir, es posible establecer una correspondencia uno-a-uno entre el conjunto de los números racionales y el conjunto formado por 0, 1, 2, 3, 4,... Fijemos una tal correspondencia y llamemos q0 al número racional que se corresponde con el 0, q1 al que se corresponde con el 1, y así sucesivamente. (Es interesante observar que esta correspondencia puede definirse explícitamente, por lo que podríamos decir concretamente quién es q0, quién es q1, etc.)

Transformemos a la recta que teníamos al principio en una recta "numérica". Para ello marquemos dos puntos a 1 cm. de distancia entre sí, a uno de ellos asignémosle el número 0 y al otro, el número 1. De la manera usual quedan asignados todos los números racionales.

Pasemos ahora a ubicar los segmentos:

El segmento de longitud 1/2 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo [q0 - 1/4, q0 + 1/4].
El de longitud 1/4 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo [q1 - 1/8, q1 + 1/8].
El de longitud 1/8 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo [q2 - 1/16, q2 + 1/16].
Y así sucesivamente.

No es difícil probar que esta distribución cumple las condiciones indicadas antes: la suma total de los segmentos es 1 cm., pero no hay ninguna parte de longitud 1 mm. (o menor) que quede sin ser tocada por al menos un segmento. Para demostrar esto último, imaginemos que colocamos nuestro segmento de prueba de modo que coincida con el intervalo [a, b]. Ese intervalo (no importa su longitud, siempre que no sea nula) contiene al menos un número racional qn tal que b > qn > a. Por lo tanto, el segmento de prueba se toca con el segmento centrado en qn.

La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 2)

2010-02-03T08:52:00.019-03:00

(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)

Cortar y Pegar

En este capítulo vamos a estudiar un problema de "corte y confección". La intención es comenzar a aproximarnos a una correcta interpretación del Teorema de Banach-Tarski.

Es problema dice así: ¿Es posible dividir un cuadrado en una cantidad finita de partes de tal modo que con éstas sea posible ensamblar un triángulo isósceles? (A las partes resultantes de la división se les puede aplicar rotaciones, traslaciones y simetrías, es decir, movimientos que no las deformen.)

En realidad hay dos maneras de entender este problema, las que podríamos llamar, por una lado, la interpretación concreta o física y, por el otro, la interpretación abstracta o matemática.

La interpretación concreta es la que seguramente casi todos adoptarían si intentaran resolver el problema. En esta interpretación pensamos al cuadrado como si fuera un objeto físico, un cuadrado de papel, por ejemplo, que tenemos que cortar con una tijera. Con las partes resultantes, cual si fueran piezas de un rompecabezas, debemos armar un triángulo iósceles.

Como se ve en el dibujo siguiente, el problema así interpretado se resuelve fácilmente. Sólo debemos cortar el cuadrado por una de sus diagonales.
En la interpretación abstracta vemos al cuadrado como un conjunto de puntos del plano. Dividir el cuadrado en partes equivale, en este caso, a establecer aquello que en la Teoría de Conjuntos se llama una partición del conjunto. Es decir, dividimos el cuadrado en subconjuntos de tal modo que cada punto pertenezca a uno y sólo uno de los subconjuntos de la partición.

Intentemos, para esta interpretación, la misma solución de antes. Dividimos el cuadrado por la diagonal, pero en este caso cada punto de esa diagonal sólo puede estar en uno de los dos triángulos resultantes. En la solución física había una duplicación: cada punto de la diagonal aparecía en ambos catetos de los triángulos resultantes de la división.

En el paso 2 del dibujo vemos que la hipoptenusa del triángulos inferior no está marcada de color negro. Esto indica que a ese triángulo "le falta" su hipotenusa (y por lo tanto, la figura en realidad no es un triángulo, ya que entendemos que un triángulo debe incluir todos sus lados).

Al ensamblar las piezas debemos tener la precaución inversa: cada punto de la figura final debe provenir de uno y sólo uno de los puntos de las piezas reunidas. Al intentar reunir los dos triángulos (véase el paso 3 en el dibujo siguiente) los catetos no pueden superponerse pues habría una duplicación.

"Cortamos" entonces el cateto de uno de los triángulos y lo separamos como una pieza más (paso 4). Reunimos entonces los dos triángulos (paso 5), pero la figura resultante todavía no es un triángulo completo, ya que le falta un lado. Podemos intentar completarlo con el segmento antes separado (paso 6), pero, Pitágoras mediante, ese lado es más corto que el segmento faltante, por lo que la figura final todavía queda incompleta (no es en realidad un triángulo).

En definitiva, según la interpretación abstracta, no hemos podido resolver el problema ya que no logramos armar un triángulo isósceles completo.

¿Es posible resolver el problema según la interpretación abstracta? Dejo la pregunta para los lectores.

Me interesa destacar aquí que el intento de solución según la interpretación abstracta nos ha mostrado una división en partes que es irrealizable en la práctica. El paso 4 (y, de hecho, también el paso 2) son imposibles en la realidad física ya que no existe en el mundo físico el equivalente exacto de un segmento matemático. Existen varillas delgadas, líneas en el papel y otros objetos que podemos imaginar como cercanos a un segmento, pero que de ninguna manera lo son, ya que en todos los casos se trata de cuerpos físicos tridimensionales formados por una cantidad finita de átomos.

Como ya se adivina, el Teorema de Banach-Tarski (que dice que una esfera se puede dividir en cinco partes que, a su vez, permiten ensamblar dos esferas iguales a la original) se refiere a una división abstracta o matemática irrealizable en la práctica.

(Continuará...)

La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 1)

2010-02-01T21:33:00.005-03:00

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Introducción

Hace algún tiempo (véase aquí) escribí en este mismo blog una entrada en la que comentaba que la palabra paradoja suele usarse en muchos y diversos sentidos (no equivalentes, e incluso contradictorios, entre sí). Uno de estos muchos significados podría resumirse de esta manera: hecho matemático perfectamente válido, pero totalmente contrario a nuestra intuición (por así decirlo, un hecho que la intuición nos dice que debería ser falso, pero que la razón matemática demuestra, en cambio, que es verdadero). Por ejemplo, la palabra paradoja es usada con esta acepción cuando se habla de la llamada Paradoja de Banach-Tarski.

Se le da el nombre de Paradoja de Banach-Tarski a un teorema totalmente válido, que fue correctamente demostrado en los primeros años del siglo XX por los matemáticos polacos Stephan Banach y Alfred Tarski, pero cuyo enunciado es, por decir poco, muy sorprendente.

El teorema dice así: cualquier esfera maciza puede cortarse en cinco partes que, al ser rotadas y trasladadas convenientemente (sin deformarlas), permiten ensamblar dos esferas macizas cada una de ellas iguales a la esfera inicial.

¡La duplicación de la esfera! Cortamos una esfera en cinco partes y con ellas armamos dos esferas iguales a la inicial. Sin agregar materia hemos duplicado el volumen que teníamos inicialmente.

Dejemos volar la imaginación: tomemos una pequeña esfera de oro, apliquemos el proceso de duplicación de Banach-Tarski y tendremos (sin agregar oro adicional) dos esferas de oro iguales a la inicial. Apliquemos el proceso a cada una de estas dos esferas y tendremos cuatro, y luego ocho, y luego... Al cabo de unos cuantos pasos estaremos literalmente nadando en oro. O podemos hacerlo con una esfera de pan y así terminaríamos con el hambre en el mundo.

¿Es esto posible? ¿Podemos duplicar el oro o el pan? Obviamente no, pero el teorema dice que sí podemos. ¿Cómo se explica esa discrepancia? La idea de esta saga es estudiar precisamente estas cuestiones. No sé si llegaremos a ver la demostración del teorema en sí, pero sí me interesa analizar qué es exactamente lo que en verdad dice el teorema y por qué, a pesar de que es verdadero matemáticamente, no es aplicable a esferas físicas de oro o de pan.

En última instancia, se trata también de internarnos un poco en la espinosa cuestión de la relación entre la Matemática y la Física.

(Continuará...)

Paradojas del infinito (I)

2010-01-27T09:46:00.003-03:00

Decimos que una propiedad define a un número si esa propiedad es satisfecha solamente por ese número y por ningún otro objeto matemático (observemos, dicho sea de paso, que acabo de definir el concepto de definición).

Para evitar ambigüedades, admitiremos solamente definiciones que usen las letras del alfabeto castellano, más los dígitos del 0 al 9 y los símbolos de puntuación usuales. Debe entenderse, por otra parte, que estamos hablando de números reales y no sólo de enteros o racionales.

Algunos ejemplos:

"Es el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro" define al númeroi Pi
"Es el número ocho quintos" define al número 8/5.
"Es el resultado de sumar 2 más 3" define al número 5.

Diremos que un número es definible si existe alguna propiedad que lo define. Los ejemplos que acabamos de ver nos dicen que Pi y 8/5 son números definibles. En realidad todos los números racionales son definibles, aunque también son definibles algunos irracionales, como el ya mencionado Pi. También son definibles, por ejemplo, el número e, la raíz cuadrada de dos y el número de oro.

Incluyamos en este concepto a todas las definiciones concebibles, pasadas, presentes o futuras. Es decir, definible será cualquier número que alguna vez haya sido definido (mediante una definición traducible al alfabeto castellano) o que pudiera llegar a ser definido en algún momento del futuro (no importa si esa definición alguna vez es escrita realmente, basta con que sea expresable en potencia).

Llamaremos inefables a los números no definibles. Es decir, son inefables aquellos números que nunca han sido definidos y que nunca, ni siquiera en teoría, podrían llegar a ser definidos en cualquier época o lugar. La pregunta es ¿existen números inefables? La respuesta es que sí existen, veamos por qué.

Hace ya más de cien años Georg Cantor demostró que el conjunto de los números reales es no numerable. Es decir, es imposible establecer una correspondencia uno-a-uno entre ese conjunto y el conjunto de los números naturales (que es el formado por los números 0, 1, 2, 3,...). Al conjunto de los números reales corresponde un orden de infinitud superior al del conjunto de los números naturales.

Ahora bien, puede probarse sin dificultad que el conjunto de todas las definiciones posibles es numerable. El orden de infinitud de este conjunto es el mismo que el del conjunto de los números naturales.

Por lo tanto, en un sentido bien definido, hay más números reales que definiciones posibles y en consecuencia es imposible que a todo número real le corresponda una definición (pasada, presente o futura). Hemos probado así que existen números inefables (de hecho, que existen infinitos números inefables).

¿Por ejemplo...? No hay ejemplos. Por su propia naturaleza, es imposible señalar un número inefable en concreto. Todo número que seamos capaces de mencionar es, inevitablemente, definible. Hemos probado así la existencia de un conjunto infinito de números de los cuales somos (y seremos por siempre) incapaces de señalar ni siquiera un ejemplo.

Pero sí podemos probar propiedades de estos números inefables. Por ejemplo la siguiente:

Propiedad: la suma de un número inefable más un número definible es un número inefable.

Demostración: Sea x un número inefable cualquiera y sea q un número definible cualquiera. Tenemos que probar que z = x + q es inefable.

Supongamos, por el absurdo, que z fuera definible. Entonces, dado que x = z - q, entonces x sería definible porque se lo podría definir como "Es el resultado de restar el número que cumple que (cópiese aquí la definición de z) menos el número que cumple que (cópiese aquí la definición de q)". Esto contradice la suposición de que x es inefable. Por lo tanto z también es inefable. Q.E.D.

Ahora bien, ¿qué queremos decir en una demostración cuando decimos "sea x un número inefable cualquiera"? ¿Qué quiere decir "cualquiera"?

Suele entenderse que el uso de la palabra "cualquiera" indica que lo que se está haciendo es un "razonamiento genérico", un razonamiento que puede repetirse en cada caso particular. Como si dijéramos "reemplace x por cualquier número inefable y verá que todo lo que se dice después es cierto".

Pero... ¿Cómo puede aceptarse en este caso una tal interpretación si es imposible (y será por siempre imposible) tomar ni siquiera un ejemplo particular? ¿Es válida la demostración de la propiedad? ¿Tiene sentido el concepto de número inefable, a pesar de que la Teoría de Conjuntos nos permite demostrar que existen infinitos de tales números? Preguntas que quedan planteadas para quien quiera reflexionar sobre ellas.

Nota: Como se acota en el primer comentario, en efecto las definiciones deben ser de longitud finita. En principio no me pareció necesario aclararlo, ya que se sobreentiende que las definiciones son textos escritos (y leídos) por humanos y todos los textos escritos (y leídos) por humanos tienen, inevitablemente, una longitud finita.

Nótese que "Es el número 0,333...", que tiene una longitud finita (ya que abarca exactamente 18 símbolos, sin contar el acento y los espacios) no es una definición, a menos que se aclare qué significan los puntos suspensivos.

Carnaval de Matemáticas

2010-01-17T09:31:00.005-03:00

Gracias a una iniciativa de Tito Eliatron, en la semana del 8 al 12 de febrero de este año se realizará el primer Carnaval de Matemáticas en castellano (hay antecedentes en inglés e italiano).

Más información sobre este evento virtual puede encontrarse en esta entrada del blog de Tito Eliatron y en este anlace a la página "oficial" del Carnaval.

Adenda a Pregúntenzen

2010-01-03T13:14:00.001-03:00

Con esta entrada quiero cerrar el círculo que comenzó con Pregúntenzen, y siguió con Sherlock Holmes y Alef-uno y su Adenda. Recuerdo las cinco preguntas-zen del comienzo:

0. ¿Los hexágonos de cinco lados son polígonos regulares?
1. ¿Las sirenas son mamíferos o peces?
2. ¿Sherlock Holmes es inglés?
3. ¿Viajó alguna vez Harry Potter a China?
4. ¿Papá Noel (o Santa Claus) usa un traje rojo?

La pregunta cero refiere a la cuestión de la consistencia lógica, a la que aludí en la Adenda: un concepto lógicamente inconsistente no es aceptable en la "matemática ficcional".

De Shelock Holmes y Harry Potter (preguntas 2 y 3) ya he hablado extensamente. Acerca de la pregunta 1, la relaciono con esta cuestión ¿es el 0 un número natural?

La pregunta 4 se relaciona el hecho de que, puesto que en la matemática ficcional la verdad depende del consenso entre seres humanos mortales, entonces sus verdades no tienen un carácter universal e inmutable, sino que cambian con el tiempo.

¿Usa Papá Noel un traje rojo (esencialmente rojo)? La respuesta es que originalmente no era así. En sus inicios, el traje de Papá Noel era blanco, pero a principios del siglo XX la Coca Cola se apropió del peronaje para su publicidad y como el logo de la Coca Cola es rojo, entonces vistió de ese color a Papá Noel. Hoy en día el traje es rojo, pero no siempre fue así, de la misma manera en que hubo un día en que el Axioma de Elección era "falso", pero hoy día es "verdadero".

Cierro con una última pregunta: ¿Sherlock Holmes es inglés, o era inglés?

Adenda a Shelock Holmes y Alef-uno

2010-01-01T11:39:00.001-03:00

Se llama Hipótesis del Continuo a la conjetura (formulada por Georg Cantor a fines del siglo XIX) que dice que Alef-uno = 2^(Alef-cero).

En sendos trabajos publicados respectivamente en 1940 y 1962 Kurt Gödel y Paul Cohen demostraron que la Hipótesis del Continuo (en adelante, HC) es indecidible en la Teoría de Conjuntos. Es decir, si tomamos los axiomas de la Teoría de Conjuntos no es posible demostrar a partir de ellos que HC sea verdadera, ni tampoco es posible demostrar que sea falsa.

"Sin embargo", escribió Gödel, "los axiomas de la Teoría de Conjuntos describen una realidad objetiva en la que HC es, o bien verdadera, o bien falsa". Según este punto de vista, la indecidibilidad de HC sólo habla de la limitación de los axiomas elegidos. Haría falta agregar algún axioma nuevo a la teoría, alguna afirmación "verdadera" que sirva de nuevo axioma y que permita determinar si, en la realidad objetiva de los conjuntos, HC es verdadera o es falsa. (Cohen, de hecho, creía que era falsa.)

En la entrada titulada Shelock Holmes y Alef-uno me permití el atrevimiento de disentir con esa opinión de Gödel. Quiero ahora ampliar un poco mi explicación.

Vuelvo a una pregunta que hice en una entrada anterior: ¿Estuvo Harry Potter (el personaje de ficción) alguna vez en China? La respuesta es que no se sabe. A partir de los "axiomas" de Harry Potter (léase, los textos escritos por J. K. Rowling) la afirmación "Harry Potter estuvo en China" es indecidible (de la misma forma que HC es indecidible para la Teoría de Conjuntos).

Pero no hay una realidad objetiva en la que "Harry Potter estuvo en China" sea una afirmación verdadera o falsa. Harry Potter existe en una realidad ficcional creada por J. K. Rowling. Para determinar si Harry Potter estuvo, o no, en China necesitamos un nuevo axioma, un nuevo texto (oral o escrito) generado por Rowling que nos permita decidir esa cuestión.

¿Por qué el texto debe estar generado por Rowling? No sólo porque ella es la creadora del personaje, sino porque es reconocida por todos aquellos en cuyas mentes existe Harry Potter como la autoridad máxima en la vida del personaje. La verdad o falsedad sobre Harry Potter nace del consenso de los lectores de sus historias, quienes reconocen a Rowling como la referncia principal en esas cuestiones.

¿Estuvo Sherlock Holmes en China? La situación es la misma que con Harry Potter, con la diferencia de que Conan Doyle (el creador de Holmes) ya no vive, por lo que no tenemos una referencia máxima que pueda zanjar estas cuestiones de un modo que sea unánimemente aceptado. El consenso acerca de si Holmes estuvo, o no, alguna vez en China debería lograrse por un largo y difícil acuerdo entre todos aquellos en cuyas mentes vive Holmes.

Mi tesis es que algo similar a Holmes y Harry Potter ocurre con la Teoría de Conjuntos (y con otras ramas de la Matemática). La Teoría de Conjuntos, contrariamente a lo que opinaba Gödel, no describe una realidad objetiva, sino una realidad ficcional creada inicialmente por Georg Cantor (y que luego tuvo que ser modificada). Alef-uno, como Holmes, sólo "vive" en la mente de los matemáticos (diría, en la mente de los matemáticos interesados en la Teoría de Conjuntos).

(Dicho sea de paso, no hay una sola Teoría de Conjuntos, en general se le da ese nombre a la Teoría de Zermelo-Fraenkel, pero hay otras teorías de conjuntos no equivalentes a ella. Así que ¿cómo puede hablarse de una realidad objetiva?)

Imaginemos que los principales astrónomos, cosmólogos y físicos del mundo se reunieran y decretaran que el Universo no se está expandiendo. Que, de hecho, es una esfera fija de unos cuantos miles de kilómetros de diámetro con la Tierra en el centro. A pesar de eso, allá afuera, el Universo se seguiría expandiéndose alegremenre, indiferente a lo que esos astrónomos y físícos dijeran de él.

A principios del siglo XX, en la Teoría de Conjuntos, se produjo una controversia acerca de si se debía aceptar, o no, el Axioma de Elección. Nunca hubo, que yo sepa, un cónclave de matemáticos para resolver la cuestión, pero a la larga el Axioma de Elección fue aceptado y hoy en día se lo usa sin problemas en todas las demostraciones donde cuadre usarlo.

¿Qué pruebas empíricas respaldaron al Axioma de Elección? Respuesta: ninguna. No podía haber pruebas empíricas porque el Axioma de Elección, por su propia naturaleza, carece de todo correlato físico. Fue aceptado porque el consenso de los especialistas (los lectores en cuyas mentes vive la Teoría de Conjuntos) finalmente convino en aceptarlo (por razones de conveniencia o por lo que fuere, pero no por razones objetivas externas a la teoría).

Otro tanto sucede con HC. Es posible, e incluso es probable, que algún día no muy lejano se incorpore un nuevo axioma a la Teoría de Conjuntos que permita demostrar o refutar HC. ¿Qué es lo que hace que un axioma sea aceptado como "verdadero"? De la misma manera que con el Axioma de Elección, la aceptación sólo podrá surgir del consenso de los especialistas, de la misma manera que cualquier nueva verdad sobre Sherlock Holmes deberá pasar por el tamiz del consenso de sus lectores. (En el caso de la Teoría de Conjutnos, debe darse el requisito técnico de que el nuevo axioma sea comsistente con los axiomas ya existentes, pero el consenso de los especialistas es el primer requisito.)

La llamada Conjetura de Goldbach, , en adelante CG, es la conjetura (formulada por Christian Goldbach a mediados del siglo XVIII) que dice que todo número par mayor que 2 es suma de dos números primos. Hasta el día de hoy no ha sido demostrada ni refutada. Supongamos que se probara que CG es indecidible con respecto a los Axiomas de Peano (los axiomas estándar de la Aritmética). ¿Diríamos también que su verdad o falsedad vive solamente en el consenso de los especialistas? En este caso no, ya que CG sí se refiere a una realidad objetiva.

Supongamos que tengamos n piedritas. Que n sea par, quiere decir que se las puede dividir en dos grupos iguales. Que una cantidad de piedritas sea un número primo quuere decir que con ellas no se puede armar un rectángulo (salvo el trivial que consiste en una única línea de piedras). Expresa en términos de piedras, la conjetura dice que si tenemos más de dos piedritas y podemos distribuirlas en dos grupos iguales, entonces podemos también distribuirlas en dos grupos que tienen ambos una cantidad prima de piedras.

O bien esa división en dos grupos primos de piedras puede hacerse siempre, o bien no se puede hacerse siempre. CG es, en un sentido objetivo, verdadera o falsa, independientemente de que nuestros axiomas permitan, o no, demostrarla.

De modo que existe, por un lado, una "matemática ficcional" (o "ideal", o una "matemática shelockiana") en la que la verdad o la falsedad de sus afirmaciones nace solamente del consenso de los espacialistas (y de la consistencia lógica). Y, por otro lado, existe una "matemática objetiva" (o "real") que sí tiene un correlato objetivo, en el que "verdad" o "falsedad" tienen un sentido claro, preciso e independiente del consenso de los especialista. ¿Dónde trazaríamos la línea divisoria entre una y otra? ¿Acaso existirá tal línea? Por ahora, hasta ahí llegan mis reflexiones.

La cuadratura del círculo y el ajedrez

2009-12-29T20:26:00.018-03:00

En el ajedrez el alfil mueve en diagonal y por lo tanto (como es bien sabido por todos los ajedrecistas) nunca cambia de de color de casilla. Es decir, si un alfil está en una casilla blanca y es movido respetando las reglas del juego, no importa cuántos movimientos se hagan, la pieza terminará en una casilla blanca.

Si yo dijera que encontré una secuencia de movimientos, todos legales, sin trampas, gracias a los cuales un alfil que comienza una partida en una casilla blanca, la termina en una casilla negra, es seguro que estaría equivocado. No haría falta revisar la supuesta secuencia de movimientos para verificar que hay un error, la existencia de ese error puede asegurarse con toda certeza simplemente porque es imposible que un alfil pase de una casilla blanca a una negra (respetando las reglas, sin hacer trampas).

Una situación similar ocurre en el caso de la cuadratura del círculo. Veamos por qué.

El problema de la cuadratura del círculo pide, dado un círculo, construir con regla no graduada y compás un cuadrado que tenga la misma área que el círculo dado. [Para los matemáticos de la Antigua Grecia esto equivalía a calcular el área del círculo, de allí la importancia que para ellos tenía el problema.]

Para estar seguros de que hemos comprendido correctamente la situación, profundicemos en el significado de los términos usados en el planteo del problema. Para comenzar, precisemos un poco más el planteo en sí: Dado un segmento R (pensado como el radio de un círculo) se pide obtener, usando solamente regla no graduada y compás, un segmento L, de modo tal que el cuadrado de lado L tenga la misma área que el círculo de radio R. [Un simple cálculo nos muestra que L debe medir raíz cuadrada de pi veces la longitud de R.]

Precisemos, como decía ante, el significado de los términos:

¿Qué significa "obtener un segmento usando solamente regla no graduada y compás"?
Obtener un segmento es determinar la posición de sus extremos (para luego trazar, con la regla, el segmento en sí).

¿Cómo se determina la posición de un punto?
Inicialmente, los únicos puntos cuya posición está determinada son los dos extremos del segmento inicial. Hay dos operaciones permitidas:

1. Si se ha determinado la posición de dos puntos, se puede trazar el segmento que los une, o se puede prolongar ese segmento (o un segmento ya trazado previamente) una distancia indeterminada (no se puede trazar un segmento de una longitud específica, esto es lo que significa que la regla sea "no graduada").

2. Si se ha determinado la posición de dos puntos, se puede trazar la circunferencia que tiene a uno de esos puntos como centro y que pasa por el otro punto. [El compás griego no era rígido (como sí lo es el compás que usan hoy en día los escolares de todo el mundo). Después de trazar un círculo el compás griego colapsaba y se perdía así la información de la apertura usada. Una instrucción como "manteniendo la misma apertura del compás, trace un arco con otro centro" no era, en principio, realizable. Sin embargo, la Proposición 2 de los Elementos demuestra que el compás colapsable permite hacer las misma construcciones que el compás rígido.]

Las operaciones 1 y 2 son las dos únicas permitidas [La posibilidad de realizarlas está garantizada por los postulados 1, 2 y 3 de los Elementos]. Un punto del plano queda determinado cuando se lo obtiene como la intersección de dos circunferencias, de dos segmentos o de una circunferencia y un segmento, trazados todos ellos según se indican las operaciones 1 y 2.

De este modo el problema queda definido con toda excatitud: Dados dos puntos (extremos del segmento R), aplicando una cantidad finita de veces las operaciones 1 y 2, hay que obtener dos puntos cuya distancia sea igual a raíz cuadrada de pi veces la distancia de los puntos iniciales (o sea, raíz cuadrada de pi veces la longitud de R).

Imaginemos que ubicamos los dos puntos iniciales en un sistema de coordenadas cartesianas. Podemos suponer que las coordenadas son elegidas de tal modo que los puntos iniciales son el (0,0) y el (1,0). El problema consiste en obtener dos puntos cuya distancia sea igual a la raíz cuadrada de pi.

Así planteado, el problema es idéntico en su estructura lógica a la cuestión del movimiento del alfil. Digamos que inicialmente el alfil está en una esquina del trablero (en una casilla blanca) y que "obtenemos" una casilla cuando el alfil, haciendo movimientos legales, termina su recorrido en ella.

¿Qué casillas podemos obtener? Respuesta: solamente podemos obtener casillas blancas. ¿Podemos obtener una casilla negra? Respuesta: No. ¿Y si alguien nos muestra una secuencia de movimientos que termina en una casilla negra? Respuesta: En esa secuencia hay un error, o una trampa. ¿Puede el afil obtener dos casillas que tengan en común un lado? Respuesta: No.

Todas las respuestas del párrafo anterior son claras, concretas y nadie dudaría de su veracidad. Como dije antes, en el problema de la cuadratura del círculo se da una situación similar a la del alfil. Sólo que ahora el tablero es el plano cartesiano y cada punto es una casilla. En lugar de una esquina del tablero tenemos dos puntos iniciales -el (0,0) y el (1,0)-, y los movimientos legales están dados por las operaciones 1 y 2 descriptas más arriba. La pregunta: ¿Es posible que las operaciones legales nos permitan caer en dos casillas (léase obtener dos puntos) cuya distancia sea la raíz cuadrada de pi?

¿Qué puntos nos permiten obtener las operaciones 1 y 2? Para responder la pregunta necesitamos una definición. Se dice que un número es algebraico si es raíz de un polinomio (no nulo) con coeficientes enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es un número algebraico, ya que es raíz del polinomio x^2 - 2. Los números que no son algebraicos se llaman trascendentes.

Se puede demostrar que si partimos de los puntos (1,0) y (0,0) y aplicamos una cantidad finita de veces las operaciones 1 y 2 siempre obtendremos puntos cuyas coordenadas son ambas números algebraicos. [En realidad, no se pueden obtener todos los núemros algebraicos, solamente los algebraicos de cierto tipo, pero esta distinción no es importante a los efectos de la cuadratura del círculo.]

No se pueden obtener puntos que tengan alguna coordenada trascendente, de la misma forma que no se puede lograr que el alfil pase de una casilla blanca a una negra.

La demostración de que sólo se pueden obtener números algebraicos excede las intenciones de esta entrada. Pero sí se puede dar una idea general. Si traducimos algebraicamente las operaciones 1 y 2, veremos que las coordenadas de los puntos que se pueden obtener surgen de la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales (esto se debe a que las circunferencias se describen mediante expresiones polinómicas de grado 2 en dos variables y las rectas se describen mediante expresiones lineales). Las coordenadas de los puntos obtenibles son, entonces, soluciones de ecuaciones polinómicas y, por lo tanto, números algebraicos. [Los coeficientes de esas ecuaciones serán siempre números algebraicos y lo mismo sus soluciones.]

Puede probarse, finalmente, que la distancia entre dos puntos con coordenadas algebraicas es también un número algebraico. En resumen: las operaciones 1 y 2 solamente permiten obtener segmentos de longitud algebraica (de la misma forma que el alfil sólo permite obtener casillas del mismo color que la inicial). Así como el alfil no permite obtener dos casillas vecinas por un lado, de la misma forma (y esencialmente por el mismo motivo) las operaciones 1 y 2 no permiten opbtener un segmento con una longitud trascendente -partiendo de los puntos (0,0) y (1,0)-.

Ahora bien, como es bien sabido, en 1882 Ferdinand Lindemann demostró que pi es trascendente. De esto se deduce fácilmente que la raíz cuadrada de pi también es trascendente. Por lo tanto es imposible obtener un segmento de longitud raíz cuadrada de pi y el problema de la cuadradtura del círculo es irresoluble. Tan irresoluble, insisto en decir, como el problema que nos pide llevar un alfil de una casilla blanca a una negra (siguiendo las reglas del ajedrez).

Sin embargo hay quienes insisten en decir que han logrado cuadrar el círculo. Siempre me he preguntado el proqué de esta insistencia. ¿Es por simple ignorancia? ¿Es una idea de omnipotencia ("nada es imposible para mí")? ¿Es por desconocimiento del significado de la palabra "imposible" (que a veces en el habla cotidiana es usada como sinónimo de "muy difícil")? No lo sé, pero los cuadradores del círculo siguen apareciendo, pese a que todos sus intentos están condenados de antemano al fracaso. Probablemente esos cuadradores no intentarían llevar un alfil de una casilla blanca a una negra, pero sí intentarán la tarea igualmente imposible de construir (siguiendo las reglas del problema) un segmento de longitud raíz cuadrada de pi.

El ejemplo más reciente (hasta donde conozco) puede encontarse este blog (cuya credibilidad queda ahora en entredicho). Es interesante analizar la presentación de la entrada:

Se denomina cuadratura del círculo al problema matemático, irresoluble de geometría, consistente en hallar —con sólo regla y compás— un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado.
La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX. Hablando en sentido figurado, se dice de algo que es la “cuadratura del círculo” cuando representa un problema muy difícil o imposible de resolver.
Un Joven dominicano estudiante de la universidad autonoma de santo domingo (UASD), ha resuelto dicho problema matemático, su nombre es Casimiro Tamara Pérez, estas fueron sus conclusiones.

Observemos que comienza hablando del "problema matemático, irresoluble de geometría" para luego decir "Un joven dominicano [...] ha resuelto dicho problema". La pregunta inevitable: ¿es irresoluble o ha sido resuelto? ¿Qué significa "irresoluble" para el autor?

En medio del texto cae además en la confusión de la que hablaba antes: "un problema muy difícil o imposible de resolver". "Imposible", en matemáticas, no es lo mismo que "muy difícil". Que al tirar un dado 10 veces, en todas ellas salga un 6 es difícil (o, mejor dicho, poco probable), pero no es imposible. La cuadratura del círculo sí es imposible.

Acerca de la supuesta cuadratura en sí, es obvio que el Sr. Casimiro Tamara Pérez ha cometido un error (como ya dije, no sería necesario leer su trabajo para saberlo, de la misma forma que inevitablemente habría un error en una secuencia de movimientos de alfil que lleven la pieza de una casilla blanca a una negra). Pero en este caso el error es evidente y el mismo Tamara Pérez se encarga de exponerlo con claridad cuando afirma que si su cuadratura del círculo fuera correcta entonces el verdadero valor de pi sería 3,1419619... Dado que pi vale 3,141592... entonces su construcción es incorrecta.

Termino la entrada haciendo mías unas palabras tomadas de un artículo que expone el tema de la cuadratura del círculo (pido disculpas por no recordar la referencia exacta): si Ud. cree haber resuelto el problema, no me envíe su solución. Seguro que tiene un error, tal vez yo no sería capaz de encontrarlo, pero el error, indudablemente, estará allí.

Adenda del 7.1.10: Recomiendo la lectura de este artículo, escrito por Claudio Sánchez, y que fue la motivación de esta entrada. Allí, a modo de comentario, aparece esta respuesta del Sr. Casimiro Tamara:

Señor Gustavo P. soy un simple estudiante que apenas ha comenzado su carrera. usted al igual que todos me cuestiona como si yo fuera matematico, realmente no lo soy. si usted quiere cuestionarme algo, que sea mi imaginacion, la cual gracias a Dios fue empleada en el desarrollo de dicho problema. Por qué en vez de entrar en dudas sin antes ver el trabajo, usted no lo analiza y despues, me dice todo lo que merece un tonto por tratar de resolver el problema. usted como licenciado si me puede sacar de esta duda. tengo ya mucho tiempo esperando que alguien lo haga, pero nadie se quiere arriesgar. quiero que sepa que hasta que nadie me saque de la duda seguiré pa’ lante. el trabajo es bastante largo y lo dividi en varias partes.

Sherlock Holmes y Alef-uno

2009-12-22T10:26:00.004-03:00

Llamo (la denominación es puramente personal) pregunta-zen a una pregunta que tiene como propósito motivar la reflexión, una pregunta en la que no importa la respuesta en sí sino el proceo que lleva hasta esa respuesta, o las líneas colaterales de razonamiento que ese proceso genera (de hecho, dar una respuesta definitiva mata el objetivo de la pregunta).

Las preguntas de la entrada anterior tenían ese caráter de preguntas-zen. Su tema, en líneas generales, era ¿podemos atribuir propiedades a un objeto que no existe?

Por ejemplo, no existen hexágonos de cinco lados. Más aún, no puede existir, porque el concepto de "hexágono de cinco lados" es contradictorio en sí mismo. ¿Tenemos derecho a decir, entonces, que un hexágono de cinco lados es un polígono irregular? ¿Tenemos derecho a hablar de él, a atribuirle cualquier característica -aparte de la de ser contradictorio y no existir-?

Por su parte, Shelock Holmes tampoco existe, al menos en el sentido de que los relatos de Conan Doyle no describen hechos ni personas que hayan existido en la realidad. Sin embargo, todos sabemos que Holmes era inglés (o británico, si se quiere) y que, por lo tanto, la afirmación "Shelock Holmes nació en Alemania" es falsa.

Decir que "Un hexágono de cinco lados es un polígono irregular", más que falso es un sinsentido, porque habla de un objeto inexistente. Pero "Shelock Holmes nació en Alemania" es falsa y nadie diría que es un sinsentido, aunque Holmes tampoco exista.

O, podemos decir, que Holmes sí existe, no como ser humano real, sino como personaje de ficción, o como ser que "habita" en el imaginario popular (de la misma forma que Papá Noel o Harry Potter -hablo del personaje de J. Rowling, no del actor-).

Sherlock Holmes, de Baker Street, de W. S. Baring-Gould, es una "biografía" de Holmes, basada en los relatos de Conan Doyle. En algún momento el autor dice que "se puede demostrar" que tal o cual aventura de Holmes comenzó un viernes y que terminó el domingo siguiente (basado en que Watson afirma que la noche en que terminó esa aventura fueron a tal teatro a escuchar un concierto y que en esos años, en ese teatro, sólo había conciertos los domiengos, etc.).

Hay aquí una clara analogía con la Matemática. Los relatos de Conan Doyle son los "axiomas" de Holmes, a partir de los cuales podemos deducir ciertos "teoremas". De la misma forma los relatos de Rowling son los "axiomas" de Harry Potter. ¿Estuvo alguna vez Harry Potter en China? Los axiomas no permiten demostrarlo ni refutarlo. Para los axiomas de Harry Potter, es una afirmación indecidible.

En su famosa conferencia de París, de 1900, David Hilbert decía que si la definición de un objeto matemático no es contradictoria en sí misma, entonces ese objeto existe. Salgamos un centímetro de la Matemática: la frase Hilbert nos permite asegurar que, en efecto, Holmes, sin duda, existe.

¿Existe Alef-uno (el primer cardinal no numerable)? Cuando Hilbert enunció la frase que antes cité tenía en mente principalmente la Teoría de los Transfinitos de Cantor (teoría cuya validez estaba en entredicho por aquellos años). Si la definición de Alef-uno no es contradictoria, diría Hilbert en 1900 (un par de décadas después quizás lo habría pensado un poco más), entonces podemos afirmar que Alef-uno existe y que es perfectamente válido atribuirle propiedades.

Gödel fue aún más allá y años más tarde escribió que la Teoría de Conjuntos (en partircular, la Teoría de los Transfinitos) describe una realidad objetiva (independiente de la mente humana), acerca de la cual cada afirmación es, o bien verdadera, o bien falsa. La existencia de afirmaciones indecidibles se debe, dice Gödel, solamente a una limitación de los métodos de demostración, es decir, a una limitación del conocimiento humano.

Pero (si se me permite el atrevimiento) creo que Gödel se equivocaba en ese punto. Mi tesis (que algún día tal vez escribiré realmente en forma de tesis) es que Alef-uno existe tanto como existe Sherlock Holmes (o Harry Potter). Ambos tienen el mismo nivel de existencia, y por las mismas razones. Cantor creó Alef-uno de la misma manera que Conan Doyle creó a Sherlock Holmes, y así como hay axiomas de la Teoría de Conjuntos, también hay, como ya vimos, "axiomas" de Holmes. Y así como Harry Potter no vive en una realidad objetiva, de la misma manera la Teoría de los Transfinitos tampoco describe una realidad objetiva.

Más de una vez he dicho en mis clases o en charlas que la Matemática, más que una ciencia, es un arte (1). Agrego ahora: es una arte muy parecido a la literatura.

Nota:

(1) Esta afirmación suele ser rechazada por el público (alguna vez, incluso, violentamente). Probablemente el rechazo se deba a que hay quienes sienten que, al decir que es un arte, estoy menospreciando a la Matemática. En realidad la estoy enalteciendo, ya que en lo personal considero que el arte, en cuanto fruto del espíritu humano, es superior a la ciencia. Ciertamente me gusta la idea de pensar a la Matemática como hermanada con la poesía.

Pregúntenzen

2009-12-16T18:49:00.006-03:00

0. ¿Los hexágonos de cinco lados son polígonos regulares?
1. ¿Las sirenas son mamíferos o peces?
2. ¿Sherlock Holmes es inglés?
3. ¿Viajó alguna vez Harry Potter a China?
4. ¿Papá Noel (o Santa Claus) usa un traje rojo?

Problema de Análisis Matemático

2009-10-22T13:59:00.003-03:00

Permítanme salirme un poco de la temática habitual del blog y plantear un problema de Análisis Matemático.

Tenemos una función f(x) de variable real tal que f(x) es siempre un número estrictamente positivo.

1) Supongamos que el límite cuando x tiende a +infinito de f(x + 1)/f(x) existe y es un número L menor que 1. ¿Podemos deducir que el límite cuando x tiende a +infinito de f(x) es 0?

2) Si el límite cuando x tiende a +infinito de f(x + 1)/f(x) existe y es un número L mayor que 1. ¿Podemos deducir que el límite cuando x tiende a +infinito de f(x) es +infinito?

En ambos casos, si la respuesta es sí, se pide una demostración. Si es no, se pide un contraejemplo.

Y aún otro problemita de lógica

2009-10-09T09:26:00.001-03:00

Como ya dijimos, los nativos de Verdalia pertenecen, o bien al grupo de los veraces (que sólo hacen afirmaciones verdaderas), o bien al de los mentirosos (que sólo hacen afirmaciones falsas). Abel, Bruno y Carlos son todos nativos de Verdalia y cada uno sabe a qué grupo pertenecen los otros.

Abel dice: Carlos es... (la historia no registra cómo termina la frase, aunque sí se sabe que el final era veraz o mentiroso).
Bruno dice: Abel dijo que Carlos es veraz.
Carlos dice: Exactamente dos de nosotros son mentirosos.

¿A qué grupo pertenece cada uno?

Otro problemita de lógica

2009-10-02T09:23:00.003-03:00

Los nativos de Verdalia pertenecen, o bien al grupo de los veraces (que sólo hacen afirmaciones verdaderas), o bien al de los mentirosos (que sólo hacen afirmaciones falsas). Abel, Bruno, Carlos y Darío son todos nativos de Verdalia y cada uno sabe a qué grupo pertenecen los otros.

Abel dice: Exactamente dos de nosotros son veraces.
Bruno dice: Exactamente dos de nosotros son veraces.
Carlos dice: Darío es mentiroso.
Darío dice: Abel es mentiroso.

¿A qué grupo pertenece cada uno?

Problemita de lógica

2009-09-03T08:59:00.000-03:00

En el Club de la Lógica de Verdalia se ha cometido un robo. Abel, Bruno y Carlos, a la vez testigos y sospechosos, son interrogados por un investigador.

Como todos los nativos de Verdalia, Abel, Bruno y Carlos pertenecen, o bien al grupo de los veraces (que sólo hacen afirmaciones verdaderas), o bien al de los mentirosos (que sólo hacen afirmaciones falsas). Los tres saben a qué grupo pertenecen los demás y saben, además, quién es el culpable del robo. Leamos sus declaraciones:

Abel: El ladrón es Bruno.
Bruno: El ladrón es Carlos.
Abel: Carlos es mentiroso.
Bruno: Carlos es mentiroso.

Carlos no dice nada.

¿A qué grupo pertenece cada uno? ¿Quién es el ladrón?

0/0

2009-09-01T14:16:00.002-03:00

Decía en otra entrada que, hasta cierto punto, las definiciones matemáticas son arbitrarias y que en muchos casos están guiadas solamente por la elegancia y la coherencia de ciertas fórmulas.

A la luz de este concepto analicemos el caso de 0/0: ¿Por qué 0/0 no puede definirse? ¿Por qué es una "operación prohibida"? Tratemos de buscar argumentos racionales y concretos para justificar esta "prohibición". (Y, por favor, evitemos argumentos del tipo ¡Es falso! ¡No se puede dividir pot 0!, etc. Tratemos de ser racionales.)

¿Qué pasaría si definiéramos 0/0 como 1? Veamos por qué esta definición nos llevaría a una inconsistencia:

Sabemos que 3.0 = 2.0.

Si 0/0 fuera 1 tendríamos que: 3.(0/0) = 2.(0/0). Luego 3 = 2.

Es decir, si definiéramos 0/0 como 1 esto nos permitiría deducir que 3 = 2. Tendríamos así una inconsistencia, por lo tanto la definición 0/0 = 1 está justificadamente "prohibida".

El mismo razonamiento elimina que 0/0 sea igual a cualquier otro número distinto de 0.

La pregunta que les dejo es ésta: ¿qué argumento racional, concreto y carente de toda falacia puede darse para justificar que 0/0 no se puede definir como 0?

Problemita numérico

2009-08-30T08:52:00.000-03:00

Buscamos un número entero de seis dígitos. Sabemos que:

a) Los dos primeros dígitos forman un número primo, los dos siguientes un cuadrado y los dos últimos forman un cubo.
b) El número formado por los dos últimos dígitos es igual a la suma de los dos primeros y su diferencia es la raíz cuadrada del tercero.
c) El producto de los seis dígitos es un número de una sola cifra.

¿Cuál es el número buscado?

Una aproximación intuitiva a 0^0 = 1 (Tercera ¿y última? parte)

2009-08-24T17:43:00.003-03:00

Procedamos a definir la operación de potenciación. Como en el caso del factorial, avanzaremos en pasos sucesivos: primero definiremos la potenciación para expoenetes enteros mayores o iguales que 1, luego para el exponente 0, etc.

Para empezar, a^n se define como a.a.a...a (n veces). La expresión "n veces" sólo tiene un sentido claro e indubitable si n es un entero mayor o igual que 1 y, por lo tanto, esta definición sólo se aplica a este tipo de exponente.

Imaginemos entonces que por ahora sólo sabemos calcular a^n cuando n es un entero mayor o igual que 1. Si n y m cumplen esa condición tenemos que:

1. a^n.a^m = a^(n + m)

2. (a^n)^m = a^(n.m)

3. a^n/a^m = a^(n - m)

Todas estas propiedades se puedebn demostrar fácilmente a partir de la definición dada más arriba.

Dado que, por ahora, sólo admitimos exponentes positivos, entonces en la última igualdad debe ser necesariamente n > m y además (no por la definición de la potenciación, sino por definición de la división) el número a debe ser distinto de 0.

Queremos ahora extender la definición al exponente 0. En ese sentido, es común dar la siguiente "justificación" (errónea) de que a^0 = 1. Esta falsa justificación diría que, por la propiedad 3, vale:

a^0 = a^(n - n) = a^n/a^n = 1

Pero la justificación es incorrecta y el error está en que, como dijimos antes, la propiedad 3 sólo vale si n > m, y en esta justificación se la está aplicando para n = m. Este error es clave y está en el corazón de muchas de las falsas explicaciones de por qué no se podría definir 0^0.

¿Cómo se puede justificar que a^0 = 1? La respuesta es que no se puede justificar. Para empezar, porque todavía no hemos definido a^0. Como dijimos para el caso del factorial hasta cierto punto las definiciones matemáticas son solamente convenciones arbitrarias. No hay forma de "medir" cuánto vale a^0. Podemos definirlo como querramos y nuestras únicas guías para hacerlo son la coherencia lógica, la conveniencia y la elegancia.

Ahora bien, al definir a^0 nos gustaría (por razones de simplicidad y elegancia) que, en la medida de lo posible, se conservaran las propiedades 1, 2 y 3 de más arriba. Y entonces, para que se conserve la propiedad 3 nos conviene definir a^0 como 1.

En uno de los comentarios a la entrada anterior de esta serie pregunté si primero era la propiedad o la definición. La respuesta es "depende". En este caso, primero viene la definición de a^n con n > 0, de la que se deducen las propiedades 1, 2 y 3, que a su vez nos guían la definición de a^0.

De manera similar (no me extenderé aquí con ello) las propiedades 1, 2 y 3 nos dicen cómo definir a^(-n) y a^(1/n). En particular, a^(1/n) se define como la raíz n-ésima de n porque queremos que para exponentes racionales siga valiendo la propiedad 2. Primero es la propiedad (que queremos que valga) y luego la definición (que hace que esa propiedad se cumpla).

El caso que nos interesa es 0^0. La propiedad 3, como dijimos antes, no vale para a = 0. Esto no quiere decir que 0^0 no puede definirse, sólo nos dice que la propiedad 3 no nos sirve de guía para su definición.

Dado que 0^n = 0 si n > 0 y a^0 = 1 si a es distinto de 0, parece haber un conflicto para definir 0^0 ¿es 0 o es 1?. Pero esto tampoco es un problema. También teníamos razonamientos que nos permitían "justificar" que 0! = 1 y otros que permitían "justificar" que 0! era 0. Elegimos 0! como 1 porque de esta manera muchas fórmulas resultan coherentes.

De la misma manera al definir 0^0 buscamos que las fórmulas sean coherentes. Una de ellas es la escritura de los polinomios (o de las series de potencias) como sumatorias en las que aparece x^i con i comenzando desde 0 y que sólo están bien definidas para x = 0 si 0^0 es 1.

Pero otra fórmula más clara, simple y elegante que nos muestra por qué 0^0 debe ser 1 se relaciona (como el factorial) con la combinatoria. Para entenderla volvamos por un minuto al 0!. En teoría de lenguajes resulta muy útil definir la palabra vacía, que es la palabra que no tiene símbolos (el equivalente, para las palabras, del conjunto vacío).

Con dos letras podemos escribir dos palabras (si no repetimos letras y las usamos todas): AB y BA (y es así que 2! = 2). Con una letra podemos escribir una palabra: A (y 1! = 1). Sin letras podemos escribir una palabra: la palabra vacía. Gracias a la ficción de la palabra vacía podemos entonces "justificar" (a posteriori, en realidad) que 0! = 1.

Supongamos ahora que tenemos 3 letras y que queremos escribir palabras de 3 letras cada una, pero ahora admitiendo letras repetidas. Hay en total 3^3 = 27 palabras posibles (AAA, AAB, AAC, BAA, etc.)

Supongamos que tenemos 3 letras y que queremos escribir palabras de 2 letras cada una, admitiendo letras repetidas. Hay en total 3^2 = 9 palabras posibles.

Supongamos que tenemos 3 letras y que queremos escribir palabras de 1 letra cada una. Hay en total 3^1 = 3 palabras posibles.

Supongamos que tenemos 3 letras y que queremos escribir palabras de 0 letras cada una. Hay en total 3^0 = 1 palabras posibles (la palabra vacía).

Supongamos que tenemos 0 letras y que queremos escribir palabras de 2 letras cada una. Hay en total 0^2 = 0 palabras posibles (con 0 letras no se pueden escribir palabras de 2 letras).

Supongamos que tenemos 0 letras y que queremos escribir palabras de 1 letra cada una. Hay en total 0^1 = 0 palabras posibles (con 0 letras no se pueden escribir palabras de 1 letra).

Supongamos que tenemos 0 letras y que queremos escribir palabras de 0 letras cada una. Hay en total... sí, una palabra. La palabra vacía es una palabra de 0 letras. Por lo tanto, la coherencia de la fórmula nos lleva a decir que 0^0 = 1.

Se ve aquí por qué 0^n = 0 si n > 1, se debe a que con 0 letras no podemos formar palabras de n letras con n > 1.

Vemos también por qué n^0 = 1 si n > 1 porque con n letras podemos formar una sola palabra de cero letras (la palabra vacía).

Y vemos también por qué 0^0 = 1, porque con 0 letras podemos formar una sola palabra de cero letras (la palabra vacía).

La coherencia de las fórmulas nos lleva perfectamente a ver que, en efecto, 0^0 es, ni más ni menos, que 1.

Nota 1: Este razonamiento en base a "palabras" es la versión intuitiva de la demostración que dí en esta otra entrada.

Nota 2: No estoy de acuerdo con que la matemática sea un círculo lógico (como se citó en un comentario a la entrada anterior). El lenguaje matemático tiene, a veces, una estructura circular (o, si seguimos con las matáforas gráficas, en espiral): definimos a^n, tenemos su propiedades, que nos llevan a definir a^0, etc. Pero las convenciones del lenguaje matemático no son la matemática.

Que a^n = a.a...a (n veces) no es un hecho matemático, es sólo una convención de lenguaje. La matemática, la verdadera matemática (la de las ideas) no es, para nada, un círculo lógico.

Verdalia

2009-08-21T18:59:00.004-03:00

Todo nativo de Verdalia pertenece, o bien al grupo de los veraces, o bien al grupo de los mentirosos. Los veraces hacen solamente afirmaciones verdaderas. Los mentirosos hacen solamente afirmaciones falsas.

Abel, Benito, Carlos, Diego, Esteban, Francisco y Gabriel son todos nativos de Verdalia y cada uno sabe a qué grupo pertenecen todos los demás.

Abel dice: Benito es mentiroso.
Benito dice: Carlos es mentiroso.
Carlos dice: Diego es mentiroso.
Diego dice: Esteban es mentiroso.
Esteban dice: Francisco es mentiroso.
Francisco dice: Gabriel es mentiroso.

Gabriel dice algo, pero sólo Abel llega a oirlo y entonces aclara:

Abel dice: Gabriel dijo que soy mentiroso.

¿A qué grupo pertenece cada uno?

Una aproximación intuitiva a 0^0 = 1 (Segunda parte)

2009-08-19T17:57:00.007-03:00

El factorial de n se define así: n! = 1 x 2 x 3 x .... x n y, como es bien sabido, permite calcular la cantidad de formas diferentes en que se pueden permutar n elementos. O también podríamos decir que n! se define como la cantidad de maneras diferentes en que se pueden permutar n elementos y que se calcula como 1 x 2 x 3 x .... x n. Ambos puntos de vista son equivalentes y válidos.

Pero no importa cuál de los dos puntos de vista adoptemos, n! se define, en principio, para valores de n enteros y mayores o iguales que 1. Entonces ¿por qué (o para qué) querríamos extender esa definición al 0? Reconozcamos que querer calcular la cantidad de permutaciones de la nada parece un problema más de carácter filosófico que matemático. He ahí el quid de la cuestión: tratemos de entender de dónde surge realmente la necesidad de definir 0!

Imaginemos que aún no hemos definido 0! Existen muchas fórmulas en las que interviene el factorial. Una de las más conocidas es la del número combinatorio:


C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}

C(n, k) calcula la cantidad de subconjuntos de k elementos que tiene un conjunto de n elementos. Como el factorial está definido (por ahora) sólo para valores mayores o iguales que 1 entonces C(n, k) sólo puede calcularse si k está (estrictamente comprendido) entre 0 y n.

Ahora bien, aunque C(n, n) no esté definido según la fórmula anterior, es claro que debe ser igual a 1 (en un conjunto de n elementos hay sólo un subconjunto de n elementos). Para que, al ser calculado con la fórmula anterior, sea C(n, n) = 1, el valor de 0! debe ser 1.

De manera similar querríamos que C(n, 0) fuera 1 y esto sucede, en efecto, si 0! = 1.

La fórmula del polinomio de Taylor y otras quedan también elegante y coherentemente expresadas si 0! = 1. También la fórmula que dice que n!(n + 1) = (n + 1)!

Ésa es la verdadera razón por la que 0! = 1: para que las fórmulas en las que interviene n! puedan extender su validez al caso n = 0. Es una simple cuestión de eleganacia y coherencia. Que "hay una sola permutación de ningún objeto" es una explicación a posteriori que nos inventamos para convencernos de que la definición de 0! correcta. Pero, como dije en un comentario de la entrada anterior, también podríamos decir que si no hay nada que permutar entonces no hay permutación alguna.

Algo similar sucede con el conjunto vacío, que sólo existe porque es una ficción útil. Bien podríamos decir que la idea de "conjunto" implica una reunión de objetos y que si no hay objetos no hay conjunto. Pero resulta útil y conveniente que haya un conjunto que represente la nada. En el mismo orden, los gruegos de la antigüedad clásica no consideraban al 0 como número, y tampoco al 1, porque para ellos "número" era "diversidad" y el 1 era la "unidad". De modo que el 1 no era un número.

Las definiciones matemáticas son, hasta cierto punto, arbitrarias. Son convencines de lenguaje que resultan útiles y facilitan la comunicación, pero no son realidades "indubitables". Nadie puede "ver" o "medir" cuánto vale 0!, lo definimos por conveniencia.

Como se dijo en uno de los comentarios de la entrada anterior, la definición del factorial suele extenderse a valores no enteros (incluso negativos) usando la función Gamma (que aquí escribiré como G, la definición involucra una integral impropia y no es necesario darla aquí).

Se usa esta función porque tiene la propiedad de que si n es entero positivo entonces G(n + 1) = n! Basados en esta propiedad se define, para x cualquiera, x! como G(x + 1).

Cito ahora el clásico Elementos de Cálculo Diferencia e Integral de Sadosky-Guber en el que se calcula que, según la definición anterior, (0,5)! es la mitad de la raíz cuadrada de pi. No creo que nadie quiera afirmar que medio objeto admite un medio de la raíz cuadrada de pi permutaciones.

A medida que extendemos su validez definición la interpretación intuitiva inicial de las fórmulas se va desdibujando. Que 3! son las permutaciones de 3 elementos es claro, que 0! representa las permutaciones de 0 elementos es al menos discutible, para (0,5)! ya no hay interpretación intuitiva (no, al menos, en términos de permutaciones). Tampoco para C(0,5; -3,2) que, gracias a la función Gamma, puede calcularse.

Sadosky-Guber le atribuyen a (-1)! el valor infinito. Obviamente, sin recurrir a la idea de permutación.

Acerquémonos un poco más a 0^0 = 1. Para ello, dejo ahora una nueva pregunta: ¿por qué


a^{\frac{n}{m}}

se define como la raíz m-ésima de a^n?