tag:blogger.com,1999:blog-17368877.post1328632866737919898..comments2023-11-15T07:12:23.828-03:00Comments on El Topo Lógico: Falacias y confusiones (1 – Segunda parte)Gustavo Piñeirohttp://www.blogger.com/profile/15423516456806148192noreply@blogger.comBlogger2125tag:blogger.com,1999:blog-17368877.post-90230066186111799682013-04-11T11:28:49.314-03:002013-04-11T11:28:49.314-03:00Así como Bernoulli dejó planteado el problema de l...Así como Bernoulli dejó planteado el problema de la braquistócrona después de haberlo resuelto, dejo planteado mis teoremas dejando la comprobación para los que puedan llegar a leer este comentario.<br />No incluyo las demostraciones principalmente porque son trabajosas y no tengo tiempo de volcarlas a un soporte informático para que sean leídas con claridad (y además porque algunos puntos no los demostré de manera formal, sólo de manera sugestiva).<br />Teorema nº1: Dados cuatro puntos en el plano, es posible trazar infinitos rectángulos cuyos lados, o sus prolongaciones, incluyan, cada uno, uno y solo uno de los mencionados puntos.<br />Teorema nº2: Dados cuatro puntos cualesquiera en el plano, siempre pueden trazarse doce cuadrados distintos que los incluyan en sus lados (o sus prolongaciones) de la misma manera que para los rectángulos del Teorema 1.<br />Teorema nº3: En el caso especial de que los cuatro puntos antedichos se hallen formando un cuadrado, los cuadrados que puedan trazarse de la manera descrita en los dos teoremas anteriores serán infinitos y siempre contendrán los cuatro puntos dentro de sus lados si el área del cuadrado obtenido es mayor a la del cuadrado original (en donde los puntos son sus vértices). Si el área del cuadrado obtenido resulta menor, los cuatro puntos dados estarán todos en las prolongaciones de sus lados.<br />Corolario nº1: Si los puntos se hallan todos sobre la misma recta, las áreas de los 12 cuadrados obtenidos se repetirá entre dos y seis veces.<br />Corolario nº2: Si dos puntos cualesquiera P1 y P2 están incluidos dentro de una recta ortogonal a otra que contenga a los puntos P3 y P4, podrán trazarse los cuadrados mediante métodos distintos a los obtenidos en cualquier otro caso. Para el caso de una recta que pase por P1 paralela a la que pasa por P2, se obtendrá una pareja de cuadrados cuyos lados son paralelos entre sí, cuyos vectores de dirección guardan con los vectores de dirección de las rectas ortogonales antedichas una relación sencilla.<br />Nota nº1: Obsérvese que la aclaración del "Teorema de Pasin" de que los cuatro puntos deben formar un cuadrilátero cualquiera es innecesaria. De hecho pueden formar un triángulo o una linea recta sin invalidar el razonamiento de existencia de al menos un cuadrado que cumpla las exigencias.<br />Nota nº2: No me molesté en deducir si la construcción de Fabián es correcta. Intuyo que sí, pero que no es válida para obtener todos los cuadrados posibles, tal como aclaró Victoria. <br />Nota nº3: No hay 24 cuadrados posibles, al menos no en lo que pude deducir utilizando Geometría Analítica, sino 12. Si se utiliza la "relación sencilla" (que deberá ser deducida) mencionada en el Corolario 2 cuando no se dan las condiciones de ortogonalidad, se obtiene un rectángulo y no un cuadrado. Claro que es un rectángulo algo especial y no totalmente trivial, que deberá deducir el matemático avezado.<br />Bien, en todo caso las cartas están sobre la mesa. Me tomó unas 8 horas llegar a estos interesantes resultados, espero que puedan demostrarlos ustedes mismos. Cuando tenga tiempo, dentro de algunos meses, quizá publique las demostraciones si nadie lo hace antes.Lucianonoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-17368877.post-30025543807598026472009-07-30T14:37:23.789-03:002009-07-30T14:37:23.789-03:00En la construccion de Victoria,la recta que pasa p...En la construccion de Victoria,la recta que pasa por a y a2 y la que pasa por c y c2 son coincidentes entre si, puesto que todos esos puntos resultan alineados. Sin embargo, la interseccion buscada, que es el punto x, existe y se encuentra en la proyeccion de b sobre las rectas mencionadas.<br />Trazando una recta que pase por el punto d (no dibujado) y por x, esa recta es uno de los lados del cuadrado que buscamos, precisamente el lado que pasa por el punto d. Es muy sencillo ahora encontrar las rectas que pasan por<br />a, b y c.<br />Construido el cuadrado buscado, es muy facil demostrar que es un cuadrado.<br />Ecs.Anonymousnoreply@blogger.com