tag:blogger.com,1999:blog-17368877.post113140780194278552..comments2023-11-15T07:12:23.828-03:00Comments on El Topo Lógico: Función discontinuaGustavo Piñeirohttp://www.blogger.com/profile/15423516456806148192noreply@blogger.comBlogger1125tag:blogger.com,1999:blog-17368877.post-57624569531912906342010-12-01T15:52:07.837-03:002010-12-01T15:52:07.837-03:00Una función que cumple esto es
F(x)=cos(1/x) si x...Una función que cumple esto es <br />F(x)=cos(1/x) si x distinto de cero y F(0)=0 (da igual este valor, mientras que esté entre -1 y 1)<br /><br />Demostración:<br />Para ver que es discontinua basta ver que las sucesiones an=1/(2*n*pi) y bn=1/((2n+1)pi) ambas convergen a cero, pero F(an)=1 y F(bn)=-1.<br />Para ver la propiedad del enunciado, como un conjunto A es conexo en R si y sólo si A es un intervalo, hay que ver que la imagen de cualquier intervalo es otro intervalo:<br />Si el intervalo,A, no contiene al cero, F es continua en A y por tanto F(A) es otro intervalo.<br />Si el intervalo A contiene al cero, su imagen por F será el intervalo cerrado [-1,1] ya que si x está en este intervalo existe z entre 0 y 2*pi tal que cos(z)=x. Ahora basta tomar n suficientemente grande para que 1/(z+2*n*pi) esté en A, lo que siempre se puede hacer ya esta sucesión converge a cero. Como <br />F(1/(z+2*n*pi))=cos(z+2*n*pi)=<br />=cos(z)=x,se tiene que [-1,1] está incluido en F(A). La otra inclusión es obvia ya que cos(x) siempre está entre -1 y 1.gepnoreply@blogger.com