17.6.14

Dos problemas de probabilidad

Problema 1: Una bolsa contiene 17 bolillas, de ellas 8 tienen marcada una letra A y las otras 9, una letra B. De las que tienen la letra A, 6 son rojas y 2 son negras; de las que tienen la letra B, 4 son rojas y 5 son negras. Se extrae una bolilla al azar y se observa que es roja ¿cuál es la probabilidad de que tenga inscripta una letra A?

Problema 2: Tenemos 17 bolillas, de ellas 8 tienen marcada una letra A y las otras 9, una letra B. De las que tienen la letra A, 6 son rojas y 2 son negras; de las que tienen la letra B, 4 son rojas y 5 son negras. Las bolillas que tienen la letra A son colocadas en una bolsa, las que tienen la letra B son colocadas en una bolsa diferente. Luego, se elige al azar una de las dos bolsas y de ella se extrae al azar una bolilla. Se observa que la bolilla extraída es roja ¿cuál es la probabilidad de que tenga inscripta una letra A?

6 comentarios:

Luciano dijo...

No quisiera errar por responder rápido pero creo que:
1) P=3/5
2) P=3/8

Leonardo dijo...

Para calcular la probabilidad pedida, deberíamos contar todos los casos posibles y los casos en que se cumple lo pedido, luego el cociente entre favorables sobre totales será la probabilidad buscada.

Veamos...

Una vez que se sacó una roja, sabemos que es una de las 10 rojas que hay en la bolsa. Luego, hay 6 que son "favorables", es decir, que tienen una "A". La probabilidad será:

P(A)=6/10=3/5

En el segundo caso, al ver que la bolilla es roja, lo único que podemos asegurar es que hay 10 rojas y que de ellas 6 tienen una A. Luego la probabilidad sería la misma que antes: 6/10=3/5.

Supongo que la diferencia se daría si calculamos la probabilidad de sacar una bolilla con A antes de elegir la bolsa. De esa forma, la probabilidad de sacar una bolilla con A sería 1/2.

Es decir, 1 bolsa favorable sobre 2 bolsas totales.

Pero una vez elegida la bolsa y teniendo sólo la información de que la bolilla es roja, creo que es 3/5.

(Por otro lado, me intriga el 3/8 de la respuesta de Luciano, agradecería una explicación)



Dodgson dijo...

La primera está clara, 3/5.

La segunda no es ni 3/8 ni 1/2. El razonamiento sobre las bolsas es falaz: sabemos que es roja, una información que tiene consecuencias (por ejemplo, es más probable que de hecho haya sido escogida la primera bolsa que la segunda). Hay que aplicar la fórmula de la probabilidad condicionada.

Prob_A_dado_roja = prob_roja_y_A / prob_roja

O sea (0,5*6/8)/(0,5*6/8 + 0,5*4/9)
que vale 27/43

Los sucesos de bolsa escogida y de bola extraída son independientes, de ahí que se multipiquen sus probabilidades.

Leonardo dijo...

Yo lo razono así: tengo en la mano una bolilla roja. OK, pienso "cuantas rojas había con A?"
Como eran 6 rojas con A sobre un total de 10 rojas, entonces, viendo que la que tengo en la mano es roja, la probabilidad de que tenga una A, es 6/10, es decir, 3/5.

Otra forma de verlo es contar la cantidad de caminos que me llevan a tener una bolilla roja en la mano:

Elijo la bolsa que tiene las A (sin saberlo, claro) y saco una de las 6 rojas. Tengo SEIS caminos que me llevan a tener una bolilla roja con A.
Pero pude haber elegido la bolsa con las B, luego tengo otros 4 caminos que me llevan a situación similar. En total 10 caminos.

Veamos:

AR1
AR2
AR3
AR4
AR5
AR6
BR1
BR2
BR3
BR4

Esto significa que una vez que ya elegí la bolsa y tengo en la mano una bolilla ROJA, debo suponer que llegué hasta allí por alguno de esos 10 caminos, y los 10 caminos tienen igual probabilidad de ser escogidos, previamente.

Es como si pusiera las dos bolsas en otra bolsa y metiera la mano sin saber en cual de las bolsas fue.

En definitiva, serán 6 casos favorables sobre 10 probables, es decir, 3/5=0,6

Dodgson dijo...

No todos los "caminos" tienen la misma prbabilidad.

Míralo con un ejemplo mas simple: todo bolas rojas, 4 rojas con la A en una bolsa y una con la letra B en la otra. La probabilidad te sale que es de un 80% co la letra A, cuando en realidad, por el peculiar método de escoger primero la bolsa, la probabilidad es del 50%.

Hay que ir a la definición de probabilidad condicional.

Gus dijo...

Pregunta:

Si la acción de sacar la bolilla es una, con probabilidad de sacar una A de 8/17.

Porque cambiaría la probabilidad de obtener una A el solo hecho de saber que es roja, (si ya saqué la bolilla y no puedo hacer nada más???)

Gracias,
Gus