6.1.14

Axiomas de Peano y consecuencias (1)

(Para ver todas las entradas de esta serie hágase clic aquí.)
A la parte 2.

La intención de esta serie de entradas es simplemente explorar cómo, a partir de los Axiomas de Peano, pueden probarse las propiedades básicas de los números naturales.

Los axiomas de Peano
Estos axiomas se refieren a ciertos objetos a los que llamaremos números naturales y tienen como elementos primitivos al número 0, que es un número natural, a la función sucesor, que indicamos con la letra S, y a las operaciones de suma y producto. Los axiomas son:

Axioma 0: El sucesor de un número natural es siempre un número natural, la suma y el producto de dos números naturales es siempre un número natural.
Axioma 1: Para todo n, $S(n)\neq 0$.
Axioma 2: Si S(n) = S(m) entonces n = m.
Axioma 3: n + 0 = n.
Axioma 4: n + S(m) = S(n + m).
Axioma 5: n.0 = 0.
Axioma 6: n.S(m) = n.m + n.
Axioma 7 (Esquema de inducción): Para cada fórmula P(n), si puede probarse que vale P(0) y también que vale "P(n) $\Rightarrow $ P(S(n))" entonces P(n) vale para todo n.

Teoremas:
Estos son algunos teoremas que se deducen de los axiomas de Peano.

Teorema 1: 0 + n = n.
Demostración:   
Aplicamos el esquema de inducción.
Para n = 0 la afirmación vale por el axioma 3.
Tenemos que probar que "0 + n = n $\Rightarrow $ 0 + S(n) = S(n)". Veamos que es así:
Si 0 + n = n entonces 0 + S(n) = S(0 + n) = S(n).

Teorema 2: n + S(m) = m + S(n).
Demostración:
Hacemos inducción en m.
Para m = 0 la afirmación vale porque:
n + S(0) = S(n + 0) = S(n) = 0 + S(n), esto último por el teorema 1.
Veamos que n + S(m) = m + S(n) implica n + S(S(m)) = S(m) + S(n).
S(m) + S(n) =
= S(m + S(n))     (ax. 4)
= S(n + S(m))     (hipótesis)
= n + S(S(m))     (ax. 4).

Teorema 3: n + m = m + n
(Es decir, la suma es conmutativa).
Demostración:
Fijamos n y hacemos inducción en m.
Para m = 0 vale ya que n + 0 = n = 0 + n, por axioma 3 y teorema 1.
Tenemos que probar que n + m = m + n implica n + S(m) = S(m) + n, veamos que es así:
n + S(m) =
= S(n + m)     (ax. 4)
= S(m + n)     (hipótesis)
= m + S(n)     (ax. 4)
= S(m) + n     (teo. 2).

5 comentarios:

Leonardo dijo...

En el axioma 6 creo que va "n.n+n"

Gustavo Piñeiro dijo...

En realidad va n.S(m), ya lo corregí, gracias.

(Una pregunta, tal vez sin importancia, que me motiva este comentario es cuáles teoremas sobre el producto siguen siendo válidos si el axioma 6 es reemplazado por el axioma más débil n.S(n) = n.n + n)

Leonardo dijo...

Creo, aunque seguro exagero, que son prácticamente todos los teoremas sobre el producto los que no serían válidos...

Por ejemplo, la conmutatividad:

Así como para demostrar el teorema 3 fue necesario recurrir al teorema 1, en el caso del producto ocurre lo mismo. Para probar que n.m=m.n primero debemos probar que 0.n=0.

El problema es que si el axioma 6 se modifica y queda n.S(n)=n.n+n no se puede siquiera demostrar eso y por lo tanto, la conmutatividad.


Luis Mortenkötter dijo...

Que yo sepa solo son cinco axiomas, no? corrijanme si me equivoco, gracias.

Gustavo Piñeiro dijo...

A los axiomas que definen la suma y el producto, Peano los llamaba "definiciones", no "axiomas". Por eso en su versión original los "axiomas" son menos. Pero en la lógica actual, a esas definiciones se la prefiere considerar también como axiomas.