26.5.13

Bolzano, Russell y el infinito

Bernard Bolzano
En su libro Paradojas del Infinito, publicado póstumamente en 1854, Bernard Bolzano propone la siguiente demostración de que existe al menos un conjunto infinito:

Bolzano comienza diciendo que la afirmación P: "Existe al menos una afirmación verdadera" es verdadera (en efecto, dada cualquier afirmación Q, o bien Q, o bien su negación, es verdadera; por lo tanto es verdad que existe alguna afirmación verdadera); a continuación deduce que cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera:

P
P es verdadera
"P es verdadera" es verdadera
""P es verdadera" es verdadera" es verdadera
etc.

...y llega a la conclusión de que el conjunto de todas las afirmaciones verdaderas es infinito.

Por otra parte, en el capítulo 13 de su libro Introducción a la Filosofía Matemática, Bertrand Russell discute la existencia de algún conjunto infinito y concluye que esa existencia no puede ser demostrada por lo que debe ser postulada como axioma. En esa discusión Russell no hace referencia alguna a la demostración de Bolzano, que seguramente Russell conocía, aunque tal vez no consideraba válida.

1 comentario:

Sekioz de Niafre dijo...

Dedekind, en "Was sind und was sollen die Zahlen?"(1888), "teorema" 66, da una "demostración" similar (de hecho, el mismo reconoce que se inspira en esta).