3.3.13

1 + 1 = 1

Nota: En el segundo renglón los puntos suspensivos representan una cantidad infinita de ceros; consecuentemente en el tercer renglón hay una cantidad infinita de (-1 + 1) y en el cuarto, una cantidad infinita de (1 - 1) . Por lo tanto no sobra un "último 1" que "compense" la cuenta.

12 comentarios:

José Ángel López Mateos dijo...

Cuando terminan los puntos supensivos te queda otro uno, que unido al que has dejado da 2.

Gustavo Piñeiro dijo...

Los puntos suspensivos nunca se terminan, hay infinitos ceros.

Anónimo dijo...

Jose Ángel tiene razón. Para poner infinitos (+1-1) debes poner primero una cantidad finita de (+1-1) y al asociar siempre queda 1+(ceros)+1=2. Por inducción se llega a lo que dice José Ángel.

Anónimo dijo...

Claro y si se elimina un "1" como se hace en la línea tercera, cuadra todo. ¿Una demostración para pillar despistados?

Anónimo dijo...

A mi me da la impresion que lo que permite llegar a 1+1=1, que naturalmente es algo contradictorio, es el hecho de que la serie infinita H= 1-1+1-1+1-1+1-.....tiene propiedades extrañas como que H=1-(1-1+1-1+1-1+...=1-H, que se esta usando en ese razonamiento, me parece. Todo esto debe significar que las operaciones de suma y resta cuando se aplican a infinitos sumandos son problematicas,no se.

Anónimo dijo...

Me parece que este es un caso en que una serie no cumple la propiedad asociativa. Algo como el hotel de Hilbert...

Leonardo dijo...

Está claro que al agregar los ceros y luego los 1-1 y rerdenar, lo que queda es una serie que comienza con 1 y luego suma y resta 1 alternadamente.

Si sumamos 2 terminos, tendremos 1+1=2 si sumamos el tercer término, tendremos 2-1=1.

Luego las sumas parciales serán 1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1.....

Este hecho explca porqué puede reordenarse la serie para que sume 1, o 2.

Otro ejemplo:

1-1+1-1+1-1+1-1+1-1...
(1-1)+(1-1)+(1-1)....
0+0+0+0....= 0

O tambien puede ser:

1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)...
1+0+0+0... = 1

shoshenskoe dijo...

No me dedico a esto pero me pareció interesante. Mi conclusión fue que si bien sabemos que (en los naturales y con la función "usual"):
.) a +0 = 0 + a = a
..) a+(b+c) = (a+b)+c

Pero ¿sabemos cuanto es a+a+a+a...?
¿o inclusive a+0+0+0+0+0...= a? Tengo entendido que la función suma solo "acepta" dos argumentos y con esto es posible mostrar que se pueden sumar más de 2 números (tomando de 2 en 2 siempre). Quizás hasta 70000 cantidades...pero ¿infinitas cantidades? ahí la asociatividad y conmutatividad supongo que no se comportan de la misma manera (al menos no de la manera que con los simples naturales y la función suma que todos conocemos).
Así pues, creo que empieza mal desde el segundo renglón.

Supongo que para hablar de sumas infinitas nos metemos en el rollo de las series (como propone el comentario de arriba).

En fin, eso fue a lo que llegue. Me gustaría saber la respuesta a esta paradoja.

Víctor dijo...

Como dice shoshenskoe, las propiedades de Asociatividad y Conmutatividad dejan de tener la misma función para números infinitos. Por lo tanto no es válido agruparlos y ni reordenarlos.

Leonardo dijo...

http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_alternada

Al final del articulo explica como puede reordenarse una serie alternada para que su suma sea CUALQUIER número.

Anónimo dijo...

Sé que no tiene mucho que ver, pero hay una serie (no infinita) que me tiene loco desde hace unos días:

20-20-18-54-60-12...

¿Cuál es el siguiente número? Las soluciones posibles son 6, 10, 12 ó 18.

Gracias de antemano.

Anónimo dijo...

Siguiendo esa línea de razonamiento ahora puede demostrarse que 1+1=0. Incluso puede demostrarse que 1+1=137 etc. Es el problema de hacer aritmética con sumas de sucesiones infinitas.