4.2.13

Las desventajas de la perfección.

(El texto de esta entrada es una reescritura del artículo originalmente publicado aquí, a partir de una idea de Matías Graña.)

En los problemas de veraces y mentirosos a veces aparecen ciertos personajes a los que se llama lógicos perfectos. Un lógico perfecto es un ser que es capaz de obtener de manera infalible y casi instantánea todas las conclusiones que sea posible extraer de una serie de premisas.

Puede objetarse que es muy difícil encontrar a un ser con estas características; más aún, tal vez hasta se pueda demostrar lógicamente que un ser así no puede existir ni siquiera en teoría. Pero en los problemas de veraces y mentirosos (que, después de todo, son problemas recreativos y no teoremas matemáticos) nadie pretende que los lógicos perfectos existan realmente, sino que la expresión "lógico perfecto" es simplemente un recurso lingüístico cómodo que evita tener que dar un sinfín de explicaciones.

Por ejemplo, pensemos en este problema que, estrictamente hablando, no es de veraces y mentirosos pero cae dentro de la misma familia (tomado de aquí):

Tres personas entran en un bar y el mozo les pregunta si todos van a tomar café.
El primero responde: No sé.
El segundo responde: No sé.
El tercero responde: .

La pregunta es ¿cómo se explican esas respuestas?

Así formulada, la pregunta tiene miles de respuestas posibles, como por ejemplo que los dos primeros son indecisos y el tercero es el líder del grupo, y tantas otras que es fácil imaginar. Ahora bien, si aclaramos que las tres personas responden verazmente en base a la información que poseen (o no poseen) y en base a las conclusiones que de esa información se puede extraer y que no fallan al obtener esas conclusiones, en dos palabras, si decimos que los tres son lógicos perfectos, entonces la respuesta es sólo una... que les dejo a ustedes para encontrar.

Ahora bien, dejemos volar la imaginación y supongamos que que sí existen los lógicos perfectos, y que por algún procedimiento semimágico fuera posible convertirse en uno. Supongamos además que estamos a punto de enfrentar una situación en la que va a ser indispensable extraer rápidamente conclusiones lógicas a partir de ciertas premisas; más aún, supongamos que nuestra libertad va a depender de que seamos capaces de razonar rápida y correctamente. Bajo estas circunstancias ¿no aceptaríamos convertirnos en lógicos perfectos? ¿No lo sentiríamos como una garantía de triunfo? Pues bien, les voy a contar una historia en la que ser un lógico perfecto sería, quizás, una desventaja.

En esta historia, en los calabozos del palacio de un un rey, hay tres prisioneros a los que llamaremos A, B y C. Como es su cumpleaños, el rey ha decidido que uno de ellos tenga la posibilidad de ser liberado. Para eso organiza este juego:

En una caja hay 7 estampillas, cuatro rojas y tres verdes. A los prisioneros se les vendarán los ojos, cada uno se le pegarán en la frente dos estampillas tomadas al azar de la caja y luego se les quitarán las vendas. De este modo, cada uno podrá ver las estampillas que tienen los demás, pero no verán las propias ni tampoco sabrán cuál es la estampilla que quedó en la caja, aunque sí sabrán cuántas estampillas de cada color hay en total.

En orden (el orden fue sorteado de antemano y quedó así: A, B, C) cada prisionero intentará deducir cuáles son las estampillas que tiene en la frente. Si arriesga y acierta, es liberado y el juego termina (los otros dos vuelven a prisión). Si arriesga y pierde, ya no tiene chance de arriesgar otra vez y habrá perdido (vuelve a la prisión). Si no dice nada y pasa, sigue en juego y puede volver arriesgar después si es que la ronda vuelve a él y nadie gana antes.

Supongamos que a A le pegan una estampilla verde y una roja, a B dos verdes y a C dos rojas; y supongamos además que los tres son lógicos perfectos. ¿Qué sucede entonces?

A puede ver dos estampillas verdes y dos rojas; sabe que faltan dos rojas y una verde, pero no tiene forma de deducir si en su frente tiene dos rojas o una roja y una verde. Por lo tanto pasa sin arriesgar.

B puede ver tres rojas y una verde; sabe que faltan dos verdes y una roja, pero no tiene forma de deducir si tiene dos verdes o una verde y una roja. Por lo tanto pasa sin arriesgar.

C tiene a la vista las tres estampillas verdes, de modo que deduce que todas las que quedan son rojas. Dice en voz alta que tiene dos rojas, gana y es liberado.

Al prisionero A no le convino ser lógico perfecto. "Bueno", pensarán ustedes, "¿qué otra cosa podría haber hecho, después de todo?". Pero si en lugar de ser un lógico perfecto, A hubiera sido simplemente racional entonces podría haber pensado así:

"O tengo dos estampillas rojas, o tengo una roja y una verde. Si tuviera dos rojas, B tendría a la vista las cuatro estampillas rojas, deduciría entonces que él tiene dos verdes y ganaría. Si yo tuviera una roja y una verde entonces C tendría a la vista las tres verdes, deduciría que él tiene dos rojas y ganaría. En cualquier caso, si no arriesgo estoy perdido. Ahora bien, hay tres estampillas de las que no sé dónde están, dos son rojas y una es verde; por lo tanto hay una probabilidad de 2/3 de que la estampilla de la caja sea roja y 1/3 de que sea verde. Por lo tanto, la probabilidad de yo tenga una verde y una roja es de 2/3 y solamente 1/3 de que tenga dos rojas." En base a este cálculo, A arriesgaría que tiene una verde y una roja... y ganaría.

El riesgo calculado le ha ganado al razonamiento perfecto.

8 comentarios:

Leonardo dijo...

Sobre la primera cuestión:

La pregunta es si los TRES quieren café. El primero no puede saber si los otros dos quieren café, por lo tanto no sabe. De allí se puede deducir que él SI quiere café, porque si no quisiera, la respuesta a si los TRES quieren, sería negativa.

El segundo no sabe si el tercero quiere café, aunque ya puede deducir que el primero SI quiere.

Si él no quisiera, diría que NO, pero como él SI quiere, dice no saber porque no sabe qué quiere el tercero.

Finalmente el tercero, sabiendo que los dos primeros SI quieren y como él quiere, responde SI.

Especulación Pura dijo...

Leonardo;
bueno, ya que estamos, también puede ocurrir que los dos primeros no sepan qué quieren ¿no?

Con respecto al problema, una pregunta (tal vez alguien quiera hacer el cálculo) ¿es realmente la probabilidad 1/3 contra 2/3? Me pregunto teniendo en cuenta este problema.

Otra cuestión: aquí no parece diferenciarse al que yerra del que no arriesga. Si se lo hiciera, tal vez pueda tener sentido optar por la prudencia.

Saludos

Leonardo dijo...

La verdad considero dificil no saber que quiere uno, en un bar... Me inclino a pensar que las respuestas de los lógicos perfectos son dadas después de decidir si quieren o no café. Después de todo esa ha sido la pregunta, si los TRES quieren café.

El primero podrá en principio no saber qué desea tomar, pero pensará hasta decidir. Luego, si decide tomar, por ejemplo, una gaseosa, entonces la única respuesta posible a la pregunta de si los tres van a tomar café es NO. Pero como decide tomar café, simplemente no sabe qué tomarán el segundo y el tercero.

Por eso dice NO SÉ.

Se aplica el mismo razonamiento para el segundo. Y el tercero, habiendo razonado igual, y habiendo decidido tomar café, puede decir SÍ.

Leonardo dijo...

Otra explicación posible: los dos primeros no conocen el idioma, son turistas. El tercero es local y está haciendo de guía de los otros dos.

Cuando el mozo pregunta, los dos primeros dicen "no se" porque no saben lo que les dijo.

El tercero, que los conoce, ya que no es la primera vez que sale con ellos, dice SÍ, pues sabe que ellos siempre toman café... O porque antes de sentarse allí habían dicho "¿vamos a tomar un cafe?"

Gustavo Piñeiro dijo...

Lo cierto es que los problemas de veraces y mentirosos se desmoronan completamente cuando se introducen respuestas de mala fe como la que plantea Especulación Pura (me refiero que tal vez "los dos primeros no sepan lo que quieren").

Ante provocaciones de esa especie las únicas opciones son, o bien tomarlas en broma, o bien descartarlas de plano sin responderlas, o bien llenar el problema de aclaraciones y condiciones que lo vuelvan un marasmo incomprensible.

Justamente, la aclaración de que los personajes son "lógicos perfectos" es un recurso que (supuestamente) debería sevir para evitar todas las discusiones espurias.

Acerca de la probabilidad, cualquier persona de buena fe y/o que sepa matemática puede deducir fácilmente que sí es 1/3 contra 2/3.

Un saludo,

G.P.

Leonardo dijo...

SI hay dos rojas y una verde y dos de ellas estan en la frente, entonces las posibilidades son:

R1-R2
R1-V
R2-V

Claramente la probabilidad de que sean roja y verde es 2/3, es decir, 2 casos favorables sobre 3 totales.

Por otro lado, en este caso ni siquiera hace falta que una de las posibilidades tenga mayor probabilidad, ya que de no arriesgar, se enfrenta a una pérdida segura.

Es decir que aunque sobrara una combinación que le diera 50% como mejor probabilidad de ganar, igual sería mejor responder que no responder.

Una última cosa... Se podría pensar qué sucedería con la respuesta del segundo si el primero dice "rojo y verde" y no acierta... ¿Que diria el segundo logico perfecto contando con la informacion de la respuesta del primero?

Especulación Pura dijo...

¡¿Respuestas de mala fe?! Estoy asombrado, no puedo creer que se tome así lo que, en realidad, no son respuestas sino preguntas. No comprendo por qué puedan molestar.

Simplemente es que considero que las discusiones acerca de la pragmática o la semántica. Evidentemente no son bienvenidas aquí...

Con respecto a lo segundo, evidentemente alguien que sepa matemática obtendrá la solución, por eso es precisamente que pregunto, suponiendo que alguien que supiera podría sacarme la inquietud. Mi duda surgió porque la relación 1/3 y 2/3 se dá en un momento en que un personaje vió las estampillas de los otros, pero el momento aleatorio es cuando ellas se reparten, entonces la probabilidad tiene, pensé, que calcularse en base a ese momento, porque el resto, el hecho de que sepan o no sepan no debería modificarl la probabilidad.

En fin, un saludo.

Anónimo dijo...

Totalmente de acuerdo con Leonardo.
Por otra parte en el artículo se dice:
"Al prisionero A no le convino ser lógico perfecto."
En mi opinión, si fuera un lógico perfecto, aunque no tiene la información suficiente para averiguar la respuesta correcta, sí se aventuraría a optar por una de las dos opciones ante la certeza absoluta de que si pasa queda condenado a volver a la cárcel.
No tiene información para acertar con la respuesta correcta, pero tiene información para saber que es mejor arriesgarse a fallar que pasar.
Pero bueno, éste es un comentario pedante nada más, que no se ofenda nadie. Un saludo.