15.10.11

Paradoja

1. Existe un único conjunto vacío.

2. Si dos conjuntos tienen el mismo complemento, entonces son iguales.

3. Llamemos R al conjunto de los números reales. El complemento de R es el conjunto vacío.

4. Llamemos C al conjutno de los números complejos. El complemento de C es el conjunto vacío.

5. De las afirmaciones 3, 4 y 1 se deduce que R y C tienen el mismo complemento.

6. De las afirmaciones 5 y 2 se deduce que R = C.

Conclusión: Existe un número real que elevado al uadrado es -1.

13 comentarios:

Tito Eliatron dijo...

Es que "tomar complementario" requiere de un addendum "respecto de qué conjunto?".

Las premisa 2 es cierta si y sólo si los complementarios se toman respecto del mismo conjunto y, además, los conjuntos a estudiar (los que tomamos complementarios) son SUBCONJUNTOS de nuestro total.

cecilia dijo...

Si el complementario de R es el conjunto vacío, es porque R es el conjunto total. Si el complementario de C es el conjunto vacío es porque C es el conjunto total. Por tanto los puntos 2 y 3 no son ciertos simultáneamente en un mismo contexto, de ahí la falsa conclusión del silogismo

cecilia dijo...

Perdón, quise decir los puntos 3 y 4.

cecilia dijo...

Perdón, quise decir los puntos 3 y 4

Ignacio dijo...

Además, el complementario de los números reales sería el de los no-reales (p.e. complejos), no el conjunto vacío

specu dijo...

No entiendo: si R es el conunto de los números reales y el conjunto vacío su complemento ¿dónde ubico a, por ejemplo, mi reloj, entidad que no se cuenta en ninguno de los dos?

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

Como muchos han señalado, el error en el "razonamiento" de la entrada está en la (deliberada) ambigüedad al indicar los complementos: el "complemento de R con respecto a R" es vacío pero el "complemento de C con respecto a C" es vacío.

Pero quiero referirme en realidad al excelente comentario de specu, en el sentido de que el complemento de R incluye a su reloj.

Por supuesto, esa afirmación parece completamente válida (el reloj de specu, después de todo, no es un número real). Pero es interesante observar que el reloj de specu no ha existido por siempre. Hubo un instante en el tiempo en que se completó su fabricación, momento en el que el reloj comenzó a existir; así como habrá un momento en el que (entropía mediante) el reloj dejará de existir.

El mismo destino efímero tendrán otros entes que tampoco son números reales.

¿Concluiremos entonces que el conjunto "complemento de R" va mutando con el correr del tiempo y que no es un conjunto fijo y definido?

Permítaseme ir un paso más allá. Llamemos C(A) al complemento de A. Sabemos que C(C(A)) = A (que no es más que decir que no-no-p equivale a p). Como C(R) muta con el tiempo, entonces C(C(R)) también. Es decir, R va mutando con el tiempo... (el conjunto de los números reales cambia de un minuto a otro).

Les dejo estas reflexiones...

Un saludo,

G.P.

specu dijo...

Iba a pedir las razones que llevan a afirmar "Como C(R) muta con el tiempo, entonces C(C(R)) también", pero intenté al final ensayar una respuesta al problema.

Para que el argumento de la forma si ..., entonces... que tiene por antecedente a "C(R) muta con el tiempo" y consecuente a "R muta con el tiempo" sea válido necesitamos que (1) sea falso que C(R) cambie con el tiempo o (2) verdadero que R lo haga.

Como la mutabilidad de los conjuntos se expresó arriba en términos de la generación y la corrupción de las entidades incluidas en ellos, ambos procesos ligados a su temporalidad (usando las tradicionales nociones de la filosofía) podemos expresar la forma de nuestro antecedente así: No siempre es falso de 'x' que 'x' no es un número real y que 'x' es temporal; y la de nuestro consecuente de esta otra manera: No siempre es falso de 'x' que 'x' es un número real y que 'x' es temporal. Si tomamos por universo de discurso el conjunto universal, el cual incluye mi reloj, debemos decir que se cumple (1), la falsedad del antecedente, dado que, como se dice arriba, el mismo ha tenido un comienzo en la existencia y tendrá presumiblemente un fin, y lo mismo podría decirse de toda entidad temporal.

Basta ahora averiguar si se cumple o no (2). Para lo cual, necesitamos que al menos uno de los miembros de R sea temporal. Pero esta cuestión es mucho más dificil que la concerniente a la mutabilidad del complemento de R pues si bien para cualquiera de nosotros es fácil de concebir la idea de que todos los números reales han existido siempre y lo seguirán haciendo, no podría decirse tan facilmente que esto ha sido siempre así para quienes vivieron otra épocas y que lo seguirá siendo para quienes vivan en en futuro. Por ejemplo, si uno le preguntaba a un pitagórico probablemente hubiera respondido que el conjunto R era tan inmutble como el ser de Parménides. Pero el día en que Hipaso de Metaponto se encontró con la medida de la diagonal de una triángulo rectángulo cuyos catetos = 1, puede haberse dicho "de hoy en adelante el conjunto R será mayor de lo que era".

Sin duda que estamos más familiarizados con la idea de que lo que pensemos al respecto es indiferente a entidades como estas, pero la cuestión (que tal vez debiera ser resuleta por un matemático, tal vez al contrario) es si todos los juicios de la matemática son analíticos o si existen algunos que sean sintéticos (aunque a priori) y si, e neste último caso se trata de "descubrimientos" o si existe también, en esta campo, la invención.

Leonardo dijo...

Me hizo acordar a la paradoja de los cuervos y las cosas no negras.

(cada vez que veo una cosa no-negra que es no-cuervo, se refuerza la hipotesis de que todos los cuervos son negros).

Excelente blog.
Un saludo.
Leonardo.

jordicuest dijo...

C(R) es el universo, exceptuando el conjunto de los reales, y canvia con el tiempo. C(C(R)) = R que no canvia con el tiempo. Es decir, que un conjunto cambie con el tiempo no implica que todos sus subconjuntos también lo hagan.

specu dijo...

Una pequeña corrección: en mi comentario anterior escribí que "se cumple (1)" cuando, al contrario, debí decir (y se sigue del contexto) "no se cumple (1)"

Saludos

Leonardo dijo...

Si el complemento de R muta, porque como se ha dicho el reloj deja de existir, no tiene por qué mutar R, ya que justamente el reloj ha dejado de ser.

El conjunto de todo lo que existe incluye a los reales y al reloj de specu, por lo tanto, en el C(R) está el reloj, pero cuando deja de existir, no se convierte en número real, por lo que el conjunto R permanece inmutable.

Un conjunto A cambiará si cambia su complemente siempre y cuando se conserve el conjunto universal, cosa que en este caso no sucede.

Leonardo dijo...

Para que quede mas claro lo que quise decir, digo:

Si tengo un conjunto A={numeros naturales menores o iguales que 10} y tomo el subconjunto B={1,2,3,4}, entonces C(B)={5,6,7,8,9,10}.

Si saco del conjunto A al elemento 8, claramente se modifica C(B), sin embargo, no se modifica B.

Es decir que no es verdada que si C(C(B)) muta, entonces C(B) también.