22.2.10

La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 5)

(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)

La duplicación del cuadrado

En los dos capítulos anteriores vimos cómo es posible dividir un cuadrado de tal modo que con las partes resultantes podamos armar el mismo cuadrado y, además, un segmento. Es decir, como en el Teorema de Banach-Tarski, hemos hecho aparecer algo de la nada.

De todos modos, hay que admitir que ese "algo" que hemos hecho aparecer no es demasiado espectacular. Mientras que Banach y Tarski logran duplicar un volumen, nosotros no hemos logrado aumentar, ni siquiera ínfimamente, el área de la figura inicial. En efecto, dado que un segmento tiene área exactamente igual a cero, la combinación "cuadrado más segmento" tiene la misma área que el cuadrado por sí solo.

¿Será posible cortar un cuadrado de tal modo que las partes resultantes nos permitan armar dos cuadrados iguales al original (y así lograr una verdadera duplicación del área)? La respuesta, como veremos a continuación, es que sí.

Problema: Dividir un cuadrado en partes de tal modo que con ellas sea posible armar dos cuadrados iguales al original.

Primera versión de la solución: La clave de la solución consiste en observar que hay tantos puntos en un segmento como en dos segmentos de la misma longitud que él. Para entender esta afirmación veamos la siguiente figura:

En el dibujo, A, B y C son tres segmentos de la misma longitud. Cuando decimos que hay tantos puntos en A como en B y C reunidos queremos decir que es posible emparejar cada punto de A con un punto de B o con un punto de C, de modo tal que se cumplan a la vez todas las condiciones siguientes:

1. Cada punto de A se empareja con un punto de B o con un punto de C, sólo una de las dos alternativas.

2. Cada punto de B se empareja con un punto en A.

3. Cada punto de C se empareja con un punto de A

4. Ningún punto queda sin pareja, ni existe algún punto con dos parejas a la vez (ni solteros, ni polígamos podríamos decir).

A modo de ejemplo, en el dibujo de más arriba se ve que el punto p se empareja con el r y que el punto q se empareja con el s. (En la segunda versión de la solución veremos explícitamente cómo es posible definir este emparejamiento.)

Imaginemos ahora que A es uno de los lados del cuadrado que queremos cortar. Una "parte" del cuadrado será cualquier segmento que esté contenido en él y que sea perpendicular al lado A (es decir, cortamos al cuadrado en lonjas unidimensionales perpendiculares a A).

Para armar los dos cuadrados, desplazamos los segmentos según nos lo marque el emparejamiento que hicimos más arriba con los puntos. Si el punto p, por ejemplo, se corresponde con el punto r, entonces desplazamos el segmento correspondiente a p de modo que quede colocado "sobre" el punto r. Esto se ejemplifica en la figura siguiente:

Las características indicadas más arriba para el emparejamiento de los puntos nos aseguran que los segmentos obtenidos del primer cuadrado terminan formando, de manera completa, dos cuadrados iguales al original. De este modo, sin agregar nada, hemos duplicado el área de la figura inicial.

En el próximo capítulo veremos una segunda versión de esta misma solución en la que haremos foco en algunos detalles técnicos. Veremos también algunas consecuencias de la solución mostrada.

(Continuará...)

2 comentarios:

Tomas R dijo...

Cierta vez, todos los científicos, ya muertos, que estaban en el cielo, se propusieron jugar a las escondidas. En el sorteo le tocó a Einstein ser el primero en contar.

Al comenzar Einstein su cuenta, todos salieron corriendo en distintas direcciones buscando un escondite.
Todos menos Newton; que se dedicó simplemente a dibujar en el piso un cuadrado de 1 metro de lado y se paró dentro de él. Justo a espaldas de Einstein.

Einstein terminó su cuenta: – …97, 98, 99, 100 – , abrió los ojos, dio media vuelta, y se encontró a Newton parado justo delante de sus ojos.

Einstein dijo: “¡Piedra libre para Newton!, ¡Piedra libre para Newton!”

Newton, negando con la cabeza, dijo:
- Tengo que discrepar. Yo no fui encontrado. Yo no soy Newton.

Ante el estupefacto Einstein, que miraba seriamente a Newton, todo el resto de los científicos salieron uno a uno de sus escondites, entre intrigados y sorprendidos, para finalmente escuchar una explicación de Newton con la que se vieron obligados a coincidir.

Newton dijo:
- Como verán, yo estoy parado en un área de 1 metro cuadrado. Por lo tanto, soy un Newton por metro cuadrado. En definitiva, yo soy Pascal.

Y Einstein, tuvo que volver a contar…

PG dijo...

Ayer vi en un programa un problema matemático que planteo aquí para que se entretenga quien quiera mientras aguardamos el próximo capítulo de esta saga. Dice así:
Imaginemos que tenemos infinitas bolas numeradas y ordenadas secuencialmente (es decir bola 1,2,3,4,etc)
A un lado tenemos una bolsa vacía pero con capacidad para cuantas bolas imaginemos y al otro lado un reloj que marca las 11:50 hs.
Bien, ahora comienzo a poner bolas en esa bolsa de la siguiente manera:
1- Durante la mitad del tiempo que tarda en llegar el reloj a las 12:00 hs (es decir en esos 5 minutos) pongo las bolas numeradas del 1 al 10 y saco a su vez la 1.
2- (Veamos que tendré ahora el reloj en 11:55 hs.) Ahora nuevamente, durante la mitad de tiempo que tarde el reloj en llegar a las 12:00 hs pongo las bolas numeradas del 11 al 20 y saco la bola 2
3- (Vemos que ahora el reloj marcará las 11:57:30) Otra vez, durante la mitad de tiempo que tarde en llegar el reloj a las 12:00 hs pongo las bolas numeradas del 21 al 30 y en el mismo acto saco la bola 3.
Y así sigo y sigo.
La pregunta es: ¿Cuántas bolas tendré en la bolsa cuando sean las 12:00 hs?