16.2.10

La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 4)

(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)

"Espero que me perdone si uso imágenes gráficas en vez de expresiones matemáticas exactas." (Isaac Asimov, El Fin de la Eternidad, Cap. 1)

"Debes ir más allá de lo que ves." (Walt Disney Studios, El Rey León 3)

Más allá de lo que ves...

Voy a concederme una pequeña pausa en la exposición del tema que veníamos desarrollando para hacer algunas aclaraciones acerca de lo ya publicado. No hice antes estas aclaraciones porque en un principio juzgué que eran innecesarias, pero una reflexión posterior me ha hecho pensar que tal vez sea conveniente precisar algunos puntos.

En primer lugar debo decir que en este blog trato de reducir tanto como sea posible el uso de un lenguaje técnico-matemático.

Es muy conocida una fábula que dice (más o menos) así: Un rey le pide a un físico que le explique la Teoría de la Relatividad. El físico se la explica usando terminomogía técnica y lenguaje matemático, pero el rey le dice que no entiende nada.

El físico simplifica la explicación y reemplaza algunas ecuaciones matemáticas por analogías gráficas, pero igualmente el rey vuelve a decir que no entiende. La situación se repite una y otra vez, el físico reduce la terminología técnica, pero el rey le dice que aún no entiende.

Finalmente el físico explica la Relatividad a partir de una historia en la que dos personas juegan al tenis en un tren. El rey le dice que ahora sí entendió, a lo que el físico le responde "lástima, porque ésa ya no era la Teoría de la Relatividad".

Mi idea, en general, tanto al hablar de la Paradoja de Banach-Tarski como de cualquier otro tema matemático tratado en este blog, es mantenerme en un punto intermedio entre los dos extremos de la fábula: trato de usar un mínimo de lenguaje técnico, pero de modo tal que la explicación no sea una mentira. Es decir, si hablamos de la Paradoja de Banach-Tarski entonces hablamos de la Paradoja de Banch-Tarski, no de dos jugadores de tenis en un tren, pero con un mínimo de tecnicismos. (Al menos ésa es la intención general, otra cuestión es si esa intención se ve coronada por el éxito.)

Esta intención muchas veces me lleva (como al personaje de Asimov citado más arriba) a reemplazar las expresiones matemáticas exactas por imágenes gráficas. Sin embargo, al ver esas imágenes, uno no debe quedarse estancado en el dibujo. Tal como dice el mandril en la película también citada más arriba, hay que ir más allá de lo que se ve. ¿Qué quiero decir? Por ejemplo, quiero decir que esto no es un cuadrado:

Ni esto es un segmento:
Repito, el dibujo pintado de amarillo que acabamos de ver no es un cuadrado. Es la representación gráfica (muy imperfecta) de un concepto matemático abstracto que no existe en la realidad física. Una representación ciertamente muy útil y que nos ayuda a entender (o, como dice Borges, a creer que entendemos) las propiedades de un cuadrado.

Pero pretender que el dibujo tenga las propiedades del cuadrado es como querer vivir en la fotografía de una casa, o como buscarle las espinas a la palabra ROSA.

¿Qué es, entonces, un cuadrado? En principio, un cuadrado es un conjunto infinito (no numerable) de puntos del plano (lo mismo vale para un segmento, un triángulo, un hexágono, etc.) Voy a dar a continuación una definición posible del concepto de cuadrado (no es la única definición posible, pero es una definición que se ajusta perfectamente a los fines de nuestra exposición).

Para llegar a la definición de cuadrado necesito pasar por algunas notacioes y definiciones previas:

1. Llamamos R al conjunto de todos los números reales.

2. Llamamos [a,b] al conjunto de todos los números reales comprendidos entre los números a y b (ambos inclusive).

3. Si A y B son dos conjuntos, llamamos A x B al conjunto de todos los pares ordenados (x,y) tales que x es un elemento de A e y es un elemento de B.

4. Llamamos plano al conjunto R x R, es decir, al conjunto de todos los pares (x,y) donde x e y son números reales cualesquiera.

5. Llamamos cuadrado básico al conjunto [0,1] x [0,1].

6. Definición. Un conjunto de puntos es un cuadrado si y sólo si se obtiene del cuadrado básico por sucesivas aplicaciones (una cantidad finita de veces) de rotaciones, traslaciones y homotecias. (En este contexto, rotaciones, traslaciones y homotecias deben pensarse como cierto tipo específico de funciones de R x R en R x R.)

Análogamente podemos definir segmento. En ese caso el segmento básico es el conjunto [0,1] x {0}. (Deliberadamente no ilustro con dibujos.)

Dijimos que el dibujo de más arriba no es un segmento. Bien podemos pensar al segmento básico como un rectángulo degenerado en el que la base mide 1 y la altura mide exactamente 0.

No existe objeto físico alguno que sea equivalente a un segmento. Si pensáramos compararlo con una varilla delgada, por ejemplo, veríamos que un segmento tiene infinitos puntos, sin "espacio libre" entre ellos, mientras que la varilla está formada por una cantidad finita de átomos con (relativamente) mucho espacio libre dentro de ellos. Un segmento es divisible cualquier cantidad finita de veces, mientras que una varilla no lo es (no se puede dividir una varilla en 10^100 fragmentos, pero sí se puede hacer la operación equivalente con un segmento), etc.

De existir un objeto equivalente a segmento, sería invisible.

Voy a repetir la partición que hicimos en el capítulo anterior (allí explicada con la metáfora de los "segmentos rojos"), pero ahora usando un lenguaje matemático preciso:

La idea es establecer una partición de un cuadrado que nos permita obtener el mismo cuadrado más un segmento. Podemos suponer que tenemos el cuadrado básico [0,1] x [0,1]. Voy a definir una familia infinita de subconjuntos: A0, A1, A2,...

A1 es el conjunto {1/2} x [0,1]. (En el capítulo anterior lo describí como el segmento que une los puntos medios de dos lados opuestos del cuadrado, descripción perfectamente correcta que fue ilustrada con el primer "segmento rojo".)

A2 es el conjunto {1 - 1/4} x [0,1]

A3 es el conjunto {1 - 1/8} x [0,1]

Si n > 0, entonces An es el conjunto {1 - 1/2^n} x [0,1]

A0 = [0,1] x [0,1] - (A1 U A2 U A3 U...)

A1 es el que en el capítulo anterior llamé el primer segmento rojo, A2 es el segundo, A3 es el tercero, etc. A0 contiene a todos los puntos que no están en ninguno de los segmentos.

Para "ensamblar" el cuadrado más un segmento, a A1 le aplicamos la traslacióin de vector (-1,0), a A2 la traslación de vector (-1/4, 0), a A3 la traslación de vector (-1/8, 0) y así sucesivamente. A A0 le aplicamos la traslación nula, de vector (0,0).

De este modo se obtiene el cuadrado original más un segmento. Como ya dije, el mismo procedimiento fue explicado en el capítulo anterior apelando a la metáfora de los segmentos rojos. La partición del capítulo 2 también puede describirse en términos matemáticos exactos.

En adelante seguiré con mi idea de reducir al mínimo el lenguaje técnico, pero, recuerden, deben ir más allá de lo que ven...

(Continuará...)

3 comentarios:

PG dijo...

Muchas gracias. Pido disculpas por mi ceguera, tal vez culpable de este capítulo extra seguramente innecesario para el resto. Lo peor de todo es que la única novela que leí de Isaac Asimov, y que tengo en mi biblioteca, es precisamente El Fin de la Eternidad. Estimado Piñeiro, con el debido respeto, Ud además de matemático, ¿no será un tanto brujo?
Un grato saludo.

Gustavo Piñeiro dijo...

Ja, ja.:)

Beatriz Bianconi dijo...

http://elclubdelamatematica.blogspot.com/2010/02/laura-del-blog-crea-y-aprende-con-laura.html

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