Otra addenda a 0^0 = 1

En la entrada aquí enlazada demuestro con todo rigor matemático que 0^0 = 1. Aunque esa demostración basta por sí sola para justificar el hecho de que 0^0 es 1, debido al extendido (e inexplicable) escepticismo que esa afirmación provoca, me permito ahora reforzar la demostración apelando a un argumento de autoridad.

Por motivos totalmente ajenos al tema de esta entrada, ayer por la mañana estaba leyendo un trabajo de la Dra. Julia Robinson (destacadísima matemática norteamericana, fallecida en 1985, véase aquí una breve biografía) en el que me encontré con este fragmento:
Traduzco la frase: En relación con la última fórmula, recordamos que 0^0 = 1. "Recordamos", dice la Dra. Robinson, como quien hace (y, de hecho, está haciendo) una afirmación tan evidente que no requiere mayor explicación.

El trabajo en cuestión se titula General Recursive Functions y fue publicado en Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 1 (1950) pp. 703-718. (Véase este enlace.) Creo que no es necesario enfatizar que la AMS es una asociación del más alto nivel académico y que nunca aceptaría publicar un error matemático manifiesto.

Uno de los comentarios a la entrada original de este tema decía que había que preguntarle a una calculadora Casio cuánto era 0^0. Entre una calculadora, por un lado, y la Dra. Julia Robinson (respaldada por todo el consejo editorial de la AMS) por el otro, me quedo con...

El Libro de los Récords del Ingenio

Después de dos años y medio de inactividad ha vuelto a la vida El Libro de los Récords del Ingenio, un blog dedicado a recopilar problemas recreativos de los llamados para mejorar. Por ejemplo: hallar la palabra castellana más larga que tenga todas sus letras en orden alfabético, o la partida de ajedrez más breve o el mayor número primo con todas sus cifras diferentes.

Aportes y comentarios erán bienvenidos en esta dirección de contacto.

Dos diálogos

-¿Qué significa I don't know?
-No sé.

-¿Qué logró su hijo en el curso de natación?
-Nada.

Problema de lógica

Éste es un problemita de lógica extraído del libro Los Túneles de la Mente, de Massimo Piattelli Palmarini (y cuyo título, hasta donde entiendo, debió ser mejor traducido como Las Cavernas de la Mente). El problema dice así:

De las premisas:
Todos los ruritanos son ricos.
Juan es ruritano.
Podemos sacar la conclusión de que: Juan es rico.

De las premisas:
Ningún cazador furtivo es marinero.
Todos los ruritanos son cazadores furtivos.
Podemos sacar la conclusión de que: Ningún ruritano es marinero.

La pregunta es: ¿qué conclusión podemos sacar de las siguientes premisas? (Para que nadie se confunda o se sienta ofendido, aclaro, como hace el autor del libro, que las premisas se refieren a Ruritania, que es un país concreto y real.)

Premisas:
Todos los ministros son ladrones.
Ningún empleado de gasolinera es ministro.
¿Qué conclusión lógica se puede sacar?

La paradoja de Gödel

Como ya se ha dicho en otra parte, la demostración del Teorema de Gödel consiste esencialmente en construir (en el lenguaje apropiado) una afirmación cuyo significado es: "Yo no soy demostrable".

Esa afirmación es, o bien verdadera, o bien falsa. Si es falsa, por lo que ella misma dice, sería demostrable y habría así una falsedad demostrable (lo que es imposible). Entonces debe ser verdadera, y entonces, por lo que ella misma dice, no es demostrable. Hay así una verdad no demostrable.

Pero, veamos, hemos probado que la afirmación es verdadera. Es decir, hemos demostrado la afirmación. Por lo tanto es demostrable y falsa. Existe entonces una falsedad demostrable.

Gödel gráfico

(El dibujo es de Pablo Ingrassia. La "foresta" representa los razonamientos matemáticos.)