La ciudad alemana de Königsberg
[1] fue testigo de varios importantes nacimientos. Allí, en 1724, nació el célebre filósofo Emmanuel Kant y fue allí también donde nació, en 1862, el brillante matemático David Hilbert. A mediados del siglo XVIII nació en Königsberg un famoso problema matemático (que habla de siete puentes que cruzan un río que atraviesa la ciudad
[2
]) en el curso cuya resolución Leonhard Euler fundó un nuevo campo de la matemática: la teoría de grafos.
Y fue también en Königsberg donde vio por primera vez la luz el famoso Teorema de Gödel. Sucedió el 7 de septiembre de 1930 durante un congreso sobre fundamentos de la matemática, es decir, durante una reunión en la que los especialistas discutían qué es la matemática, cuál es su objeto de estudio y cuáles son sus métodos. Desde hacía más de dos décadas se venía desarrollando una ácida controversia acerca de esas cuestiones, una discusión en la que sus protagonistas sostenían posiciones aparentemente irreconciliables. En la década previa a 1930 esas posiciones irreconciliables reconocían dos claros representantes: en un rincón el ya mencionado David Hilbert, fundador de la llamada Escuela Formalista y en el otro, L.E.J. Brouwer, creador de la llamada Escuela Intuicionista.
A pesar de tanta controversia, aquél septiembre de 1930 parecía lleno de buenos augurios. En la sesión final del congreso Arend Heyting (uno de los principales discípulos de Brouwer) afirmó que la “guerra” entre los formalistas y los intuicionistas podía darse por terminada, pues si el programa propuesto por Hilbert para la matemática lograba completarse con éxito entonces los intuicionistas aceptarían gustosamente las ideas de Hilbert. En otras palabras, los intuicionistas presentaban una rendición en toda regla por lo que la larga controversia parecía llegar a su fin.
Sin embargo, en medio de tan optimistas manifestaciones un joven matemático austriaco pidió la palabra. Tímidamente este joven anunció que acababa de demostrar un teorema (que sería publicado unos meses más tarde) en el que demostraba que el programa de Hilbert, el programa formalista que todos, amigos y enemigos, acababan de aceptar gustosamente, era completamente irrealizable. Ese joven era Kurt Gödel y el teorema que estaba anunciando era, por supuesto, el hoy famoso Teorema de Incompletitud de Gödel.
¿Cómo se llegó a esa escena de 1930? ¿Por qué apenas a principios del siglo XX, después de más de dos mil quinientos años de trabajo matemático, se planteó la necesidad de definir el objeto y los métodos de esa ciencia? Para entender las respuestas a estas preguntas, así como el enunciado del Teorema de Gödel, debemos remontarnos algunos años hacia atrás en el tiempo, a la década de 1870, a la ciudad de Halle, en Alemania, lugar y tiempo en el que Georg Cantor (1845–1918) revolucionó la forma de entender el infinito.
Desde Aristóteles se entendía, tanto en filosofía como en matemática, que el infinito era inalcanzable. Por ejemplo, sabemos que hay infinitos números naturales: 0, 1, 2, 3, 4, 5,... pero según la forma de pensar de Aristóteles, la infinitud de los números significa solamente que si nos proponen cualquier número natural siempre existirá uno mayor. La imposibilidad de alcanzar el infinito implica que no hay ningún lugar (concreto o abstracto) en el que estén reunidos al mismo tiempo todos los números naturales. El infinito no existe en acto, sólo en potencia, decía Aristóteles, y en consecuencia sería un error hablar de los números como de una totalidad acabada y completa. Esta visión del infinito dominó la matemática y la filosofía a los largo de los siglos.
En 1872 Georg Cantor (nacido en San Petersburgo, aunque vivió casi toda su vida en Halle, Alemania) trabajaba en un problema relativamente menor de análisis matemático. Cantor buscaba demostrar una propiedad relativa a cierto tipo de funciones y en el transcurso de ese trabajo se encontró ante la necesidad de expresar de un modo claro y concreto algunas condiciones muy complejas, las cuales debían cumplirse para que valieran las conclusiones a las que Cantor quería llegar
[4].
Se trataba en principio de un problema de lenguaje y para resolverlo Cantor inventó un nuevo concepto, el de conjunto derivado. Sin entrar en detalles, basta decir que definió un mecanismo por el cual a partir de un conjunto P de puntos se puede obtener un nuevo conjunto P’, llamado el derivado de P. A partir de P’ se obtiene a su vez un nuevo derivado P”. Y luego el derivado de P”, que es P(3), y luego P(4), P(5), etc.
Pero Cantor observó que no había motivo para detenerse y que era perfectamente posible definir P(infinito). Más aún observó también que era posible aplicar el mismo mecanismo a P(infinito) obteniendo así P(infinito + 1, P(infinito + 2), P(infinito + 3).... Es decir no sólo era posible llegar al infinito sino que inclusive era posible ir más allá de él
[5].
Esta nueva forma de ver el infinito, totalmente opuesta a la que había impuesto Aristóteles, habilitó la idea de ver a los conjuntos infinitos como totalidades acabadas y completas; es decir, permitió crear la teoría de conjuntos. En los años posteriores a 1880 Cantor inició el proyecto de refundar toda la matemática sobre la base de esta teoría. Todos los demás conceptos matemáticos se definían a partir de la noción de conjunto. Así por ejemplo para Cantor el número 0 se definía como la cantidad de elementos del conjunto vacío, el número 1 sería la cantidad de elementos del conjunto formado solamente por el 0, y así sucesivamente. Todas las operaciones numéricas se definían desde las operaciones entre conjuntos.
Por la misma época Richard Dedekind (amigo y colega de Cantor) desarrolló ideas similares. Sin embargo, quien llevó más lejos la idea de fundar la matemática sobre bases conjuntistas fue Gottlob Frege quien a lo largo de casi veinte años elaboró una obra monumental en la que construyó con todo detalle un lenguaje para hablar de los conjuntos (y que es la base del actual lenguaje formal de la lógica) y a su vez, usó los conjuntos como base de la construcción de toda la matemática.
En junio de 1902 Frege acababa de enviar a la imprenta el segundo tomo de la obra fundamental de su vida cuando recibió una carta del por entonces muy joven filósofo y matemático Bertrand Russell. En esta carta Russell, que había leído el primer tomo de la obra de Frege (publicado en 1893), le señalaba un error en la misma base de su sistema.
Para Frege un conjunto es la reunión en un todo de los objetos (reales o imaginarios) que cumplen una determinada propiedad en común. Por ejemplo, la propiedad de “ser un caballo blanco” corresponde, obviamente, al conjunto formado por todos los caballos blancos. Pues bien de esta definición de la noción de conjunto Russell extrajo una contradicción
[6], por lo tanto la misma noción de conjunto era contradictoria.
Frege admitió inmediatamente el error y agregó una nota adicional a su obra en la que admitía humildemente que todo el sistema por él concebido dejaba de tener validez pues se había derrumbado desde su misma base.
Ahora bien, por ese entonces la teoría de conjuntos se había transformado en una herramienta básica de la matemática y las nociones conjuntistas estaban en los cimientos de muchos nuevos desarrollos, especialmente en análisis matemático. El descubrimiento de Russell significó entonces una verdadera crisis en toda la matemática, pues si algo tan simple y natural como la noción de conjunto era contradictoria ¿cómo podía asegurarse la corrección de conceptos más complejos? Es precisamente a causa de esta crisis que a principios del siglo XX se planteó la necesidad de revisar los fundamentos de la matemática.
Ante la crisis provocada por el descubrimiento de Russell hubo inicialmente dos reacciones. Por una parte, el propio Bertrand Russell propuso rescatar el programa de Frege introduciendo en él las modificaciones que fueran necesarias para evitar todas las contradicciones posibles. Este programa fue extensamente expuesto en la obra Principia Matemática, que Russell escribió junto a Alfred Whitehead y cuyo primer tomo se publicó en 1910.
Otra reacción, contemporánea de la anterior, fue encabezada por el matemático holandés L.E.J. Brouwer. Según Brouwer era imposible evitar las contradicciones en la teoría de conjuntos y cualquier intento de reparar el sistema de Frege estaba condenado al fracaso, pues todas las contradicciones nacían simplemente de la introducción del infinito en acto. Brouwer proponía descartar la teoría de Cantor y retornar a una matemática finitista en la que el infinito, tal como quería Aristóteles, fuera inalcanzable.
Más aún, Brouwer sostenía que sólo puede decirse que un objeto matemático existe si se puede dar una receta (una serie finita de instrucciones, es decir un algoritmo) que permita construirlo en una cantidad finita de pasos a partir de los números naturales.
Un ejemplo de algoritmo:
Paso 1: asígnese al número x el valor 2.
Paso 2: asígnese a x un nuevo valor, el que resulta de promediar el valor actual de x con el valor de 2/x (2 dividido por x).
Paso 3: repítase el paso anterior 10 veces más.
Cuantas más veces se aplique el paso 3, más se acercará el valor de x al de la raíz cuadrada de 2. El algoritmo, entonces, permite construir aproximaciones sucesivas de ese número.
Brouwer decía también que sólo tiene sentido definir una propiedad si al mismo tiempo se da un método algorítmico para verificar en una cantidad finita de pasos si un objeto cumple o no esa propiedad.
Hacia 1920 el programa de Russell comenzó a desmoronarse, especialmente a causa de ciertos axiomas que éste se vio obligado a incluir, pero cuya validez resultaba ser especialmente dudosa. A causa de ello, la escuela de Brouwer comenzó a dominar el pensamiento matemático y como consecuencia la teoría de Cantor comenzó a estar en peligro de ser eliminada. Fue entonces cuando entró en escena David Hilbert.
Hilbert fue desde siempre amigo y defensor de Cantor y bajo el lema “del paraíso que Cantor creó para nosotros nadie podrá expulsarnos” decidió contrarrestar las ideas de Brouwer. Además de gran matemático, Hilbert era un gran político y por eso decidió crear una filosofía de la matemática que diera cabida al infinito en acto pero que al mismo tiempo pudiera ser aceptada por los intuicionistas, es decir por Brouwer y sus seguidores.
Los intuicionistas, dijimos, exigían que todo objeto matemático fuese construido mediante un algoritmo y que toda propiedad fuera verificada asimismo algorítmicamente. La idea central de Hilbert fue llevar esta exigencia algorítmica, de los objetos y sus propiedades, a los razonamientos.
Para Hilbert toda teoría matemática debía fundarse en axiomas, que son afirmaciones que se aceptarían como verdaderas. Todas las demás verdades de la teoría se deducirían de los axiomas mediante razonamientos o demostraciones. Estos razonamientos debían ser finitistas al estilo intuicionista, es decir, debía existir un algoritmo (una receta) que, en una cantidad finita de pasos, permitiera determinar si un razonamiento es válido o no. En palabras modernas, debería ser posible programar una computadora de tal modo que fuera capaz de decidir si un razonamiento es correcto o no.
Los axiomas podían hablar del infinito en acto, de totalidades infinitas acabadas y completas, siempre que los razonamientos para deducir otras verdades a partir de ellos fueran finitistas y siempre que, además, por esos mismos razonamientos finitstas se pudiera demostrar que no habría paradojas o contradicciones.
El Programa de Hilbert se proponía entonces refundar la matemática bajo estas especificaciones. Y tan afortunada fue la idea de Hilbert que, como ya dijimos, en 1930 los intuicionistas finalmente “se rindieron” y aceptaron su programa. Pero en 1930 fue también cuando Gödel demostró que el Programa de Hilbert era irrealizable al probar (y ése es el enunciado del Teorema de Incompletitud) que los métodos finitistas que Hilbert proponía son incapaces de demostrar todas las verdades matemáticas. En aquel dramático septiembre de 1930 el Teorema de Gödel marcó un punto crucial en la historia de la lógica matemática. Sus consecuencias han sido llevadas, no siempre justificadamente, a la filosofía, la sociología y otras ramas del saber muy alejadas de su ámbito original.
Notas:[1] La ciudad de Königsberg ya no es alemana, ni se llama Königsberg, en la actualidad la ciudad es rusa y se llama Kaliningrado.
[2] El río se llama Pregel y en él, cuenta la historia, hay dos islas y siete puentes: un puente conecta las dos islas entre sí, dos puentes más conectan a la isla menor con cada una de las dos orillas del río, otros dos puentes conectan a la isla mayor con una de las orillas del río y los últimos dos conectan a la isla mayor con la otra orilla del río. El problema pide hallar un camino que recorra los siete puentes de Königsberg, una vez cada uno sin repetir. Leonhard Euer demostró que esa tarea es irrealizable.
[3] Había también argumentos teológicos para sostener esta idea, según estos argumentos el infinito es un concepto solamente accesible para Dios e inalcanzable para la mente finita de los humanos.
[4] El problema en el que trabajaba Cantor está bien descripto en Ferreirós y Grattan-Guiness. En último dice en su libro que el problema en el que trabajaba Cantor era muy relevante, aquí nos permitimos disentir respetuosamente con esa opinión pues entendemos que hay varias razones para afirmar que el problema era menor, es probable que al dar su opinión Grattan-Guiness se deje llevar por su admiración hacia Georg Cantor.
[5] “Fui llevado por la lógica de mis investigaciones a romper con tradiciones que había aprendido a venerar”, escribió Cantor en 1883.
[6] Observemos que el conjunto de todos los conjuntos es un miembro de sí mismo (pues al ser él mismo un conjunto es miembro del conjunto de todos los conjuntos). La contradicción, conocida como la Paradoja de Russell, surge al considerar los conjuntos que no se tienen a sí mismos entre sus propios miembros. Razonando a partir de estos objetos Russell llega a la conclusión de que la noción de conjunto que usa Frege (que es una elaboración más precisa de la que usan Cantor y Dedekind) es contradictoria.
