24.8.09

Una aproximación intuitiva a 0^0 = 1 (Tercera ¿y última? parte)

Procedamos a definir la operación de potenciación. Como en el caso del factorial, avanzaremos en pasos sucesivos: primero definiremos la potenciación para expoenetes enteros mayores o iguales que 1, luego para el exponente 0, etc.

Para empezar, a^n se define como a.a.a...a (n veces). La expresión "n veces" sólo tiene un sentido claro e indubitable si n es un entero mayor o igual que 1 y, por lo tanto, esta definición sólo se aplica a este tipo de exponente.

Imaginemos entonces que por ahora sólo sabemos calcular a^n cuando n es un entero mayor o igual que 1. Si n y m cumplen esa condición tenemos que:

1. a^n.a^m = a^(n + m)

2. (a^n)^m = a^(n.m)

3. a^n/a^m = a^(n - m)

Todas estas propiedades se puedebn demostrar fácilmente a partir de la definición dada más arriba.

Dado que, por ahora, sólo admitimos exponentes positivos, entonces en la última igualdad debe ser necesariamente n > m y además (no por la definición de la potenciación, sino por definición de la división) el número a debe ser distinto de 0.

Queremos ahora extender la definición al exponente 0. En ese sentido, es común dar la siguiente "justificación" (errónea) de que a^0 = 1. Esta falsa justificación diría que, por la propiedad 3, vale:

a^0 = a^(n - n) = a^n/a^n = 1

Pero la justificación es incorrecta y el error está en que, como dijimos antes, la propiedad 3 sólo vale si n > m, y en esta justificación se la está aplicando para n = m. Este error es clave y está en el corazón de muchas de las falsas explicaciones de por qué no se podría definir 0^0.

¿Cómo se puede justificar que a^0 = 1? La respuesta es que no se puede justificar. Para empezar, porque todavía no hemos definido a^0. Como dijimos para el caso del factorial hasta cierto punto las definiciones matemáticas son solamente convenciones arbitrarias. No hay forma de "medir" cuánto vale a^0. Podemos definirlo como querramos y nuestras únicas guías para hacerlo son la coherencia lógica, la conveniencia y la elegancia.

Ahora bien, al definir a^0 nos gustaría (por razones de simplicidad y elegancia) que, en la medida de lo posible, se conservaran las propiedades 1, 2 y 3 de más arriba. Y entonces, para que se conserve la propiedad 3 nos conviene definir a^0 como 1.

En uno de los comentarios a la entrada anterior de esta serie pregunté si primero era la propiedad o la definición. La respuesta es "depende". En este caso, primero viene la definición de a^n con n > 0, de la que se deducen las propiedades 1, 2 y 3, que a su vez nos guían la definición de a^0.

De manera similar (no me extenderé aquí con ello) las propiedades 1, 2 y 3 nos dicen cómo definir a^(-n) y a^(1/n). En particular, a^(1/n) se define como la raíz n-ésima de n porque queremos que para exponentes racionales siga valiendo la propiedad 2. Primero es la propiedad (que queremos que valga) y luego la definición (que hace que esa propiedad se cumpla).

El caso que nos interesa es 0^0. La propiedad 3, como dijimos antes, no vale para a = 0. Esto no quiere decir que 0^0 no puede definirse, sólo nos dice que la propiedad 3 no nos sirve de guía para su definición.

Dado que 0^n = 0 si n > 0 y a^0 = 1 si a es distinto de 0, parece haber un conflicto para definir 0^0 ¿es 0 o es 1?. Pero esto tampoco es un problema. También teníamos razonamientos que nos permitían "justificar" que 0! = 1 y otros que permitían "justificar" que 0! era 0. Elegimos 0! como 1 porque de esta manera muchas fórmulas resultan coherentes.

De la misma manera al definir 0^0 buscamos que las fórmulas sean coherentes. Una de ellas es la escritura de los polinomios (o de las series de potencias) como sumatorias en las que aparece x^i con i comenzando desde 0 y que sólo están bien definidas para x = 0 si 0^0 es 1.

Pero otra fórmula más clara, simple y elegante que nos muestra por qué 0^0 debe ser 1 se relaciona (como el factorial) con la combinatoria. Para entenderla volvamos por un minuto al 0!. En teoría de lenguajes resulta muy útil definir la palabra vacía, que es la palabra que no tiene símbolos (el equivalente, para las palabras, del conjunto vacío).

Con dos letras podemos escribir dos palabras (si no repetimos letras y las usamos todas): AB y BA (y es así que 2! = 2). Con una letra podemos escribir una palabra: A (y 1! = 1). Sin letras podemos escribir una palabra: la palabra vacía. Gracias a la ficción de la palabra vacía podemos entonces "justificar" (a posteriori, en realidad) que 0! = 1.

Supongamos ahora que tenemos 3 letras y que queremos escribir palabras de 3 letras cada una, pero ahora admitiendo letras repetidas. Hay en total 3^3 = 27 palabras posibles (AAA, AAB, AAC, BAA, etc.)

Supongamos que tenemos 3 letras y que queremos escribir palabras de 2 letras cada una, admitiendo letras repetidas. Hay en total 3^2 = 9 palabras posibles.

Supongamos que tenemos 3 letras y que queremos escribir palabras de 1 letra cada una. Hay en total 3^1 = 3 palabras posibles.

Supongamos que tenemos 3 letras y que queremos escribir palabras de 0 letras cada una. Hay en total 3^0 = 1 palabras posibles (la palabra vacía).

Supongamos que tenemos 0 letras y que queremos escribir palabras de 2 letras cada una. Hay en total 0^2 = 0 palabras posibles (con 0 letras no se pueden escribir palabras de 2 letras).

Supongamos que tenemos 0 letras y que queremos escribir palabras de 1 letra cada una. Hay en total 0^1 = 0 palabras posibles (con 0 letras no se pueden escribir palabras de 1 letra).

Supongamos que tenemos 0 letras y que queremos escribir palabras de 0 letras cada una. Hay en total... sí, una palabra. La palabra vacía es una palabra de 0 letras. Por lo tanto, la coherencia de la fórmula nos lleva a decir que 0^0 = 1.

Se ve aquí por qué 0^n = 0 si n > 1, se debe a que con 0 letras no podemos formar palabras de n letras con n > 1.

Vemos también por qué n^0 = 1 si n > 1 porque con n letras podemos formar una sola palabra de cero letras (la palabra vacía).

Y vemos también por qué 0^0 = 1, porque con 0 letras podemos formar una sola palabra de cero letras (la palabra vacía).

La coherencia de las fórmulas nos lleva perfectamente a ver que, en efecto, 0^0 es, ni más ni menos, que 1.

Nota 1: Este razonamiento en base a "palabras" es la versión intuitiva de la demostración que dí en esta otra entrada.

Nota 2: No estoy de acuerdo con que la matemática sea un círculo lógico (como se citó en un comentario a la entrada anterior). El lenguaje matemático tiene, a veces, una estructura circular (o, si seguimos con las matáforas gráficas, en espiral): definimos a^n, tenemos su propiedades, que nos llevan a definir a^0, etc. Pero las convenciones del lenguaje matemático no son la matemática.

Que a^n = a.a...a (n veces) no es un hecho matemático, es sólo una convención de lenguaje. La matemática, la verdadera matemática (la de las ideas) no es, para nada, un círculo lógico.

18 comentarios:

bucles dijo...

Clap, clap, clap.

Impecable.

PG dijo...

Por mi parte no me queda mas que agradecerle profundamente por esta excelente explicación que me ha nutrido especialmente, o al menos así lo creo. Y me retracto, cómo no, de haber utilizado la figura del círculo lógico para definir a la matemática.
Escribiré cien veces en la pizarra: La matemática no es un círculo lógico.
Sinceramente, muchas gracias.

G dijo...

Muy interesante haber utilizado teoría de lenguaje para dar la definición...
Creo que ya no queda nada por probar. No queda ninguna grieta por donde entrarle.

Gustavo Piñeiro dijo...

Muchas gracias a los tres. Estimado PG: ya bastante trabajo es leer lo que escribo como para que además te impongas tan ingrata tarea :)

Saludos!

sisan dijo...

O sea, si 0^0=1 tendremos:
1=2^0/0^0=(2/0)^0

Gustavo Piñeiro dijo...

El comentario anterior ejemplifica perfectamente el tipo de error que comento en la entrada: el aplicar una propiedad en un dominio en el que esa propiedad no vale.

En este caso, se intenta aplicar la propiedad a^n/b^n = (a/b)^n, que sólo vale si b y b^n son ambos distintos de cero.

Es interesante el fenómeno psicológico de la resistencia a modificar convicciones que han sido insistentemente inculcadas (en este caso, el que 0^0 no puede definirse), a pesar de que se exhiban abrumadoras evidencias que prueban que esas conviciones son completamente erróneas. Este fenómeno me hace perder un poco la fe en la razón humana.

Saludos!

sisan dijo...

Lo siento, no quería que perdieras "la fe en la razón humana".
Se me olvidó que la propiedad a^n/b^n = (a/b)^n tenía restricciones... ¿O las tiene el valor de 0^0?

Gustavo Piñeiro dijo...

Toda propiedad numérica que involucre cocientes no puede aplicarse cuando alguno de los denominadores vale 0.

0^0 = 1 es una igualdad numérica que no contiene variables, por lo que para esa igualdad no tiene sentido hablar de restricciones.

sisan dijo...

¿Toda propiedad numérica que involucre cocientes no puede aplicarse cuando alguno de los denominadores vale 0? Me parece bien la regla siempre que se acepte también que 0^0 no es una cantidad definida.
Se define algo que incumple propiedades y ponemos restricciones a las propiedades... Algo falla.

Gustavo Piñeiro dijo...

Toda propiedad que involucra cocientes no se aplica a situaciones donde algún denominador no vale 0 simplemente porque la división por 0 no está definida.

0^0 = 1 no incumple ninguna propiedad, simplemente la propiedad en cuestión no se aplica a ese caso. Es como decir que "menos por menos es más" es falso porque (-i)(-i) = -1. En realidad "menos por menos es más... en los reales".

De la misma manera (a/b)^n = a^n/b^n vale solamente si b es distinto de cero, simplemente porque si ponemos b = 0 estaríamos escribiendo un sinsentido.

En pocas palabras: en tu argumentación estás dividiendo por 0 y eso invalida todo tu razonamiento. Eso es lo que falla, ni más ni menos.

Por ejemplo, tu argumentación también prohibiría definir 0^1 como 0 ya que 0^1 = 0^(4-3) = 0^4/0^3 = 0/0 y entonces 0/0 sería 0. ¿Diríamos que si 0^1 = 0 entonces falla la regla que dice que a^(n - m) = a^n/a^m?

Si se trata de escribir sinsentidos también podríamos decir que 2 + 2 = 4 es falso porque si dividimos ambos miembros por 0 se llega a un absurdo.

Permitiéndonos dividir por 0 podríamos eliminar de la matemática cualquier igualdad verdadera, inclusive la verdad que dice que 0^0 = 1.

Gustavo Piñeiro dijo...

Ya he demostrado de varias formas que 0^0 = 1. Lo he probado apelando a la teoría de conjuntos, a la teoría de la información y al argumento de autoridad (véase la cita de Julia Robinson y la de Lía Oubiña). He dado una prueba formal y otra más intuitiva. Por meses y meses he refutado cada intento (todos falaces, algunos groseramente falaces) de justificar que 0^0 no se puede definir.

Ya no responderé más comentarios acerca de este tema ni volveré a escribir sobre él. No tengo nada que agregar a lo que ya he dicho. Me declaro satisfecho. Quien, a pesar de todo, no quiera convencerse de que 0^0 = 1 y desee persistir en el error, es libre de hacerlo. Yo he cumplido en explicar los hechos.

Anónimo dijo...

Gracias! Realmente ha quedado muy claro.
Te agradezco el tiempo y la paciencia en las explicaciones.
Muy interesante todo lo expuesto, ha sido de gran utilidad.
Has iluminado, ten la seguridad que has logrado ponernos a pensar y poner un poco de luz en esas ideas fijas que muchas veces aceptamos por comodidad.
Como vos decis, a mi me parece que no hay nada más que agregar.
Te Felicito, un trabajo muy bien logrado!
Isabel

profesgk dijo...

GRACIAS!!!!!!!!!! Por tu paciencia. Estoy enviando a todos los profesores que conozco, tus explicaciones y estoy logrando tener más de un enemigo jajaja!!!

Nuevamente muchas gracias!!!!

Sandra.

PG dijo...

Leyendo la explicaicón de Piñeiro a Sisa, me acordé de éste:
a=b
a²=ab
a²-b²=ab-b²
(a+b)(a-b)=b(a-b)
a+b= b
b+b=b
2b=b
2=1

Anónimo dijo...

Agrego otra verificación a que cero a la cero es uno.
Supongamos que cero a la cero sea igual a A, y queremos saber cuanto vale A.
Tomando logaritmos en ambos miembros: cero logaritmo de cero igual a logaritmo de A.
Como cero logaritmo de cero es cero, quiere decir que logaritmo de A vale cero.
Si el logaritmo de A es cero, A es igual a uno.
Como dijimos que cero a la cero era igual a A, cero a la cero vale uno.
Ecs.

G dijo...

Disculpame, Anónimo, pero esa operación tiene una falla ya que no podés hacer logaritmo de cero...
El dominio de la función logaritmo es (0;+infinito). Cero no es un valor posible de la función.

Anónimo dijo...

Te disculpo, G:

La funciòn logaritmo vale cero cuando calculamos el logaritmo de uno.
Por otra parte, si el dominio de la función es entre cero y mas infinito, es lícito preguntarse cual es el logaritmo de cero.
Independientemente de que podamos o no calcular el logaritmo de cero, si es cierto que cero por logaritmo de cero vale cero (cualquiera fuera el resultado de logaritmo de cero).

Ecs

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola Ecs:

Si logaritmo de 0 fuese un número real (o complejo) entonces, no importa qué número sea, al multiplicarlo por 0 daría, en efecto, 0. Pero logaritmo de cero no existe (no se lo puede definir de ningún modo coherente), por lo tanto no se lo puede multiplicar por 0 ni hacerle ninguna otra operación.

Saludos,