5.8.09

Una aproximación intuitiva a 0^0 = 1 (Primera parte)

Prometí dar una aproximación intuitiva a la demostración de que 0^0 = 1. Comenzaré ahora a cumplir esa promesa. Debo decir que suelo abordar este tema en mis clases (enseño en un profesorado de matemáticas en la ciudad de Buenos Aires) y el modo en que normalmente lo hago es a través de preguntas que analizamos y discutimos entre todos.

Empezaré planteando algunas preguntas para que Uds. puedan pensarlas y discutirlas:

1) Como sabemos, si n es un entero mayor o igual que 1, entonces n! se define como el producto n(n - 1)(n - 2)...3.2.1. El factor n aparece en la definición de n!, por lo tanto, si quisiéramos dar una definición para 0!, el factor 0 debería aparecer en ella. Este razonamiento nos diría que la definición´"lógica y natural" para 0! sería 0.

Sin embargo, como sabemos también, 0! se define como 1 (único caso en el que dos números diferentes tienen el mismo factorial). ¿Por qué 0! es 1? ¿Puede darse un contexto real y concreto que muestre por qué 0! = 1? (Quiero decir: si quisiéramos "ver" de un modo concreto que 1 + 1 = 2 tomaríamos una bolita, otra bolita y al juntarlas veríamos que hay dos bolitas ¿Cómo podría verse de modo similar que 0! es 1 y que no es 0?)

2) ¿Puede definirse (0,5)! (factorial de 0,5)? ¿Sí? ¿No? Si la respuesta es sí, ¿puede darse un contexto real y concreto que muestre cómo hacerlo?

25 comentarios:

Marcos dijo...

Un lindo contexto para comprender por qué 0! = 1 es el de la combinatoria.

Gustavo Piñeiro dijo...

Repregunta para provocar reflexión:

Me pregunto ¿cómo se vería concretamente, en el contexto de la combinatoria, que 0! = 1? ¿Diríamos que hay una permutación de la nada? Si es "nada", parece más lógico pensar que "no hay" permutación posible y que entonces 0! es 0.

Marcos dijo...

Yo lo veo de este modo: 0! sería la cantidad de maneras de ordenar los elementos del conjunto vacío. Como no hay elementos, se pueden "no ordenar" de una sola manera.

G dijo...

Me parece que la respuesta es la siguiente:
prod[(2x3x5)]=prod[(2x3)]x5=prod[(2)]x3x5=prod[()]x2x3x5=1x2x3x5
Entonces el producto del "vacío" tiene que ser 1 para que el resto de la función tenga sentido.

Gustavo Piñeiro dijo...

Permítanme seguir jugando al escéptico, para generar reflexión:

Que la nada se puede "no ordenar de una sola manera" o que "el producto vacío vale 1" parecen explicaciones a posteriori para justificar, por así decir, un "hecho consumado". Los mismos argumentos parecen servir tanto para justificar que 0! es 1 como que es 0. Veamos:

"Se puede no ordenar" parece más bien "No se puede ordenar", es decir, "Hay 0 maneras de ordenarlos".

Y el número que se suele asociarse al vacío es el 0, así que si el producto es vacío ¿por qué no da 0?

Sigo preguntándome ¿de qué forma clara y contundente podemos "mostrar" que 0! es 1 y, fundamentalmente, que no es 0?

Vuelvo tambén a la pregunta: ¿cuánto vale al factorial de 0,5? Y agrego: ¿cuánto vale el factorial de -1?

(Nota: Los razonamientos anteriores parecerían indicar que (-1)! debería ser 1, sin embargo los libros lo definen de otra manera, que no es ni 1 ni 0.)

Anónimo dijo...

Con el mismo razonamiento podría decirse que 1! = 0, ya que si tenemos un solo elemento no se puede cambiar el orden en que está...

Gustavo Piñeiro dijo...

Sigo en el papel de escéptico:

Que un objeto se pueda colocar de una sola forma me parece claro. La letra A sólo se puede escribir así: A, mientras que A y B pueden ordenarse como AB y BA. Luego 1! = 1 y 2! = 2. Pero que "ninguna" letra pueda escribirse de "una" forma me parece raro... La nada no puede escribirse y entonces más lógico parece que 0! sea 0. A menos que den una razón clara y concreta a favor del 1 y en contra del 0.

G dijo...

Perdón, pero estamos seguros que tiene un fundamento lógico, o sólo es una convención que facilita ciertos cálculos?
Porque es verdad, cómo ordenamos la nada?? Si no hay elementos, no hay nada que ordenar, y 0! no tendría sentido...

Pitógarras dijo...

Debo decir que me encuentro igual de escéptico que Piñeiro. Solo que mi escepticismo no es simulado.
La definición de factorial que se da es justamente para valor enteros mayores a cero. Con lo cual, si existe el facorial de cero es porque se puede extender la definición del factorial. Asi las cosas preguntarse, como hace Piñeiro, respecto de la existencia del factorial de los números negativos y de los números racionales, me parece hasta mas entendible que preguntarse por la existencia del factorial de cero.
Deberíamos entonces tratar de entender en profundidad qué significa factorizar un número.
Y ahí ciertamente me nublo, ya que no puedo ver otra definición que la que se da para valores enteros mayores de cero.

Pitógarras dijo...

Bien, he continuado pensando en esto, y si bien no llegué a mayores, creo empezar a ver hacia donde se nos quiere llevar.
La respuesta a la pregunta de si puede verse en un contexto real y concreto el que 0! = 1, a mi juicio es no. Lo mismo, en el caso de que pudiera calcularse el factorial de 0,5 o de números negativos, no veo que ello pudiera ponerse de manifiesto de manera concreta.
Hace un tiempo, leyendo algún artículo sobre física (creo que era de Penrose hablando del tiempo imaginario), él decía que encontraba facinante en las matemáticas el que se pudiera de pronto uno abstraer de lo concreto o lo que se nos presenta como real, utilizando herramientas matemáticas como ser los números complejos, para luego volver de ellos con algun resultado que se aplicaba y confirmaba en nuestra realidad concreta.
Esto me lleva a pensar que pudiera ser que algo de eso sea lo que pase con el factorial de cero. No hay forma, creo yo, de que podamos verlo en concreto. Ni con combinatorias, ni con frases que en definitiva terminan siendo una suerte de entrevero semántico.

Marcos dijo...

Estuve pensando en este tema ayer, y he aquí mi pequeño aporte al tema.

PG dijo...

N!= N x (N-1)!
Entonces para que ello tenga solución con N=1, 0! tiene que ser 1.
Aparece como una supuesta explicación a la cuestión, pero en verdad no me deja conforme porque así podría tambien decir que para que sea válido para 0 entonces -1! es...???

Anónimo dijo...

Bueno, es cierto que en principio lo más "intuitivo" dentro del contexto de la combinatoria es definir 0!=0. Pero dado que los matemáticos no nos conformamos con lo intuitivo, lo más razonable es buscar una mejor definición del factorial (o una defición alternativa) que se ajuste con la que ya teníamos en el caso de n en los naturales y que se pueda extender al 0. Por ejemplo, podemos pensar las permutaciones de n elementos (que era lo que llamamos el factorial de n) como el cardinal de las funciones del conjunto {1,2,...,n} en sí mismo que sean inyectivas. Es claro que cada una de estas funciones nos da una permutación de los elementos 1,2,...,n y a su vez cualquier permutación de ellos define una funciíon inyectiva, por lo tanto el cardinal de ese conjunto es n! como ya lo teníamos definido. Ahora bien, si consideramos el conjunto vacío (n=0 elementos) concluímos que el cardinal de las funciones del vacío en el vacío que sean inyectivas es 1 ya que la única función en ese conjunto es la función vacía, lo que nos hace pensar que 0!=1 es una correcta definición.

Mariano

PG dijo...

Mariano, ud es matemático, ¿no? Porque no comprendo sus expresiones. ¿¿¿Funciones inyectivas???
Con todo respeto, pero en tanto no explique a qué se refiere con funciones inyectivas, pareciera que todo lo que hace es insertar una expresión que pretende ser una explicación.
Yo sigo sin verle solución al problem aplanteado. Todo lo que sí puedo reconocer es que h etendido a equivocar lo que ha de ser la definición del factorial con su modo de cálculo. Tal vez en algo de ello pueda encontrarse algo más.
Es decir, podría uno pensar que el inconveniente principal para ver la solución propuesta 0!=1, sea que equivocadamente pensamos en el valor 0 como parte integrante de la definición del factorial de 0. Es decir, cuando calculamos el factorial de 3, hacemos 3x2x1, y yo al menos, tendía a confundir el modo de calcular el factorial con su significado, o su escencia, por decirlo de alguna manera. Es decir, me pregunto, ¿qué es el factorial de un número? Vemos que para números enteros mayores a cero hay un simple modo de calcularlo, pero el modo de calcularlo no es lo que es. El modo de calcularlo, al menos para los enteros positivos, es el producto de ciertos valores, pero la definción de factorial debe ser algo mas amplia que simplemente su modo de cálculo.
Ya Marcos ha insistido sobre la combinatoria como medio de ver la solución. Me pregunto si, en lugar de decir que la combinatoria es una forma de ver el asunto, no es mas bien la definción que buscamos. ¿Puedo definir al factorial como el número que me indica la cantidad de modos de orden posibles entre los elementos de un conjunto dado? En ese sentido, pienso que al calcular, por ejemplo, 3!, no estoy haciendo una operación sobre el número 3, sino sobre el conjunto 3, el cual consta de 3 elementos.
Ignoro si eso es correcto, pero al menos creo que puede ser una aproximación. Alguien dijo, si tengo un solo elemento no puedo ordenarlo, es decir, ¿con respecto a qué lo ordeno? La pregunta me parece acertada. Entonces para el uno la definción anterior del factorial es incompleta. Al decir luego que 1!=1, ya estamos ampliando la definción anterior, y sin embargo no lo cuestionamos mayormente porque entendemos que un elemento puede "colocarse" de una forma. Pregunto, ¿colocarse en dónde? Bien, preguntar asi no sirve. Pareciera que la existencia de un elemento en el conjunto alcanza para decir que su factorial es uno. ¿Tal vez pueda decirse que hay que atender a la posibilidad de otro conjunto con N elementos con los cuales éste conjunto de un único elemento podría llegar a combinarse? Para que eso pueda suceder, puedo suponer que su factorial debería ser distinto de cero.
¿Y de ahí al factorial de cero? No termino de verlo. ¿Tal vez se deba pensar de un modo similar a lo que sucede con 1!? ¿El conjunto vacío tiene elementos? No los tiene ciertamente, ¿pero puede no obstante pensarse en su factorial?
Se me hace que son preguntas casi de índole filosófica. ¿Se podría decir que si mencionamos al conjunto vacío es porque existe como conjunto y su existencia, como la existencia de la unidad, implica la posibilidad de ordenarse? Es decir, el conjunto vacío después de todo es finito, no estamos hablando de la nada infinita, ¿no? No estamos hablando del cero en sí. Se trata de un conjunto con cero elementos, pero un conjunto al fin. Algo así como decir, tengo el conjunto de las mujeres perfectas. Estarán de acuerdo en que es un conjunto de cero elementos. Ahora, ese conjunto de mujeres perfectas que es un conjunto vacío, es ciertamente un conjunto finito, existe como conjunto a pesar de no tener elementos, ¿puede ordenarse...?
En fin, con ese tipo de cosas es posible especular, pero igual para mi este asunto es un embrollo.

G dijo...

En cuanto a lo que es una función inyectiva, lamento decirle que no es un gran misterio, ya que es un tema que se enseña en el colegio secundario (más precisamente en el segundo año del secundario). La definición puntual es que una función es inyectiva si es uno a uno: o sea, si a cada valor en la imagen de la función corresponde un único valor del dominio.
Más formalmente, si x1 y x2 son dos elementos del dominio de la función f, y f(x1)=f(x2), entonces necesariamente x1=x2.
En cuanto al conjunto vacío, no veo mayor problema en imaginarlo: es como tener una bolsa de caramelos, pero con ninguno adentro. Si el conjunto tiene dos elementos, entonces tenemos dos caramelos. Ahora, la bolsa no tiene forma de tener (-n) elementos, es inimaginable, así como también que tenga partes no enteras de elementos (si un caramelo está partido por la mitad, entonces tengo dos caramelos chiquitos, y no medio caramelo). Es por esta razón (intuitiva) que no podemos utilizar la función factorial para 0.5 o para -1. Los conjuntos tienen una cierta cantidad de números enteros no negativos.
El embrollo en el que nos encontramos surge de que la solución a este problema viene dada por la función vacía; y ahí es donde nos perdemos, porque no encontramos una manera de ver intuitivamente lo que significa eso.
Pero por definición matemática (no sé de dónde surge, estaría bueno que alguien me ayude con eso), todo conjunto tiene asociada una función vacía, y eso permite que 0!=1.

PG dijo...

Gracias G. Realmente no la tenía la de las funciones inyectivas. Cierto que no es ningún misterio. Habré faltado a esa clase en el secundario.
Comprendo ahora lo que ha dicho Mariano, pero no me ha aclarado el asunto.
Ahora me he permitido navegar un poco buscando sobre este tema. Y he encontrado que los matemáticos, al parecer, pueden calcular tanto el factorial de números racionales y tambien de los negativos.
Para ello se valen de una tal función gamma que sería una forma extendida del factorial hacia los números complejos. Esta función para mi es harto incomprensible (lo cual no es raro teniendo en cuenta que ni siquiera sabía de las funciones inyectivas). Pero tal vez uds si la comprendan. Se trata básicamente de una integral:
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_gamma
Saludos,

ULAM dijo...

Sólo existe una combinación de m elementos tomados todos ellos; y de la fórmula de Cm,m obtenemos que (m-m)! debe ser igual a la unidad.

Anónimo dijo...

Sin embargo, te pregunto(a ULAM):
¿qué es lo que te permite utilizar la fórmula Cn,m = n!/((n-m)!m!) en el caso m=n?
En realidad lo único que podemos decir es que para que esa fórmula siga valiendo en el caso n=m (y tambien para el caso m=0) es necesario definir 0!=1 (otro punto a favor para esa definición).

Mariano

PG dijo...

Hasta ahora todos los intentos de explicación que se han arrojado en estos comentarios, siempre concluyen en que el que 0!=1 es una mera convención.

Anónimo dijo...

Habiendo leido las multiples razones delfactorial de cero, me quedo con la idea de la bolsa de caramelo, que si bien no me da una solucion algoritmica el resultado es coherente
bolsa con 2 caramelos 2 formas de ordenar, son 2 bolsa
bolsa con un caramelo 1 forma de ordenar, es unica
bolsa con cero caramelo, no hay forma de hacerla diferente entonces es unica

Víctor dijo...

No sé si es oportuno lo que voy a escribir, pero tengo entendido que el factorial podría escribirse como un cociente del siguiente modo:
n! = (n+1)!/(n+1)
4! = (4+1)!/(4+1) = 5.4.3.2.1/5 = 4.3.2.1 = 4!
3! = (3+1)!/(3+1) = 4.3.2.1/4 = 3.2.1 = 3!
2! = (2+1)!/(2+1) = 3.2.1/3 = 2.1 = 2!
1! = (1+1)!/(1+1) = 2.1/2 = 1 = 1!
0! = (0+1)!/(0+1) = 1!/1 = 1
Luego: 0! = 1.

Anónimo dijo...

Interesante¡¡¡, me gustaría ver la segunda parte de este tema. ¿Hacia dónde me dirijo?

Gustavo Piñeiro dijo...

Hay que hacer clic en la etiqueta "Irrefutable pero resistida"

Laura dijo...

Continuando con el razonamiento de Víctor, y para contestar la pregunta de Gustavo acerca de cuánto es (-1)!
Si

n! = (n+1)!/(n+1)

entonces:

(n+1) = (n+1)!/n!

y
(-1) = 0! / (-1)!

o sea que (-1)! = 0! / (-1)

pero como ya probamos que 0!= 1

resulta que (-1)! = 1 / (-1) = -1





entonces

Leonardo dijo...

Si n!=(n+1)!/(n+1) entonces:

(-1)!=(-1+1)!/(-1+1)=0!/0=1/0 que no existe.