9.8.08

Un problema de números

Este es un problema que surgió anoche en una reunión del Grupo de los Lunes. Desconozco si es ya conocido.

El planteo general es el siguiente: cierta cantidad de jugadores están sentados en ronda y cada uno de ellos tiene un cierto puntaje (para evitar casos triviales vamos a suponer que no todos tienen la misma cantidad de puntos); en un momento dado cada jugador suma a su puntaje el del jugador sentado inmediatamente a su izquierda. Con el nuevo puntaje así obtenido se vuelve a realizar la misma operación: cada jugador suma a sus puntos los del jugador sentado inmediatamente a su izquierda.

El problema general consiste en estudiar cuál es, a la larga, el comportamiento general de la distribución de puntos.

La primera conjetura en reunión de anoche fue que a la larga (independientemente de la distribución inicial) los puntos tenderían a igualarse, conjetura que rápidamente vimos que era falsa.

Esta mañana, gracias a un programita creado al efecto, estuve jugando un poco con el mecanismo y llegué a estas conjeturas, que dejo a los lectores para que las demuestren o refuten:

1) En cada ronda llamemos ganador al jugador que tenga el mayor puntaje (o a los jugadores que compartan el mayor puntaje) y perdedor al de menor puntaje (o los que compartan el menor puntaje)

La conjetura es que, independientemente de la distribución inicial, todos los jugadores serán alguna vez ganadores y alguna vez perdedores.

2) Supongamos que inicialmente todos los jugadores, excepto uno de ellos, tienen el mismo puntaje. La conjetura es que entonces en todas las rondas habrá al menos dos jugadores con el mismo puntaje. Otra conjetura es que, en la misma situación, la diferencia entre el mayor y el menor puntaje tiende al infinito.

Por ahora estas son las conjeturas. Que se diviertan.

7 comentarios:

hjg dijo...

No queda claro si la operación, para todos los jugadores de la ronda, es simultánea en cada iteración, o secuencial. Supongo que lo primero.
En ese caso, es claro que la cantidad total de puntos (suma de los puntos de todos los jugadores) se duplica en cada iteración.
Entonces es más facil analizar el juego "normalizado", en el que los puntos se dividen (además) por 2 en cada iteración, con lo cual la suma pertenece constante. Esto equivale a promediar los puntos propios con los del vecino (una especie de "difusión hacia la derecha") en cada iteración.
Es claro que en esta formulación los puntos sí tienden a igualarse.

Daniel dijo...

Te enlace a: http://piladeboton.blogspot.com/
Gracias. Un saludo.

Gustavo Piñeiro dijo...

Gracias. Saludos.

Guillermo dijo...

Inténtalo con puntajes negativos =P Muy bueno tu blog...

Guillermo dijo...

Otra conjetura que propondría es:

Cuando se trabaja con números negativos y positivos:

- Si el valor absoluto de la suma de los números negativos es mayor a la de los positivos, entonces los puntajes tienden a ser negativo

- Si el valor absoluto de la suma de los números negativos es menor a la de los positivos, entonces los puntajes tienden a ser positivo

- Si el valor absoluto de la suma de los números positivos es igual a la de los negativos, entonces los puntajes tienden a ser positivos o negativos aleatoriamente

Manu dijo...

La verdad que con este post te ganaste un lugar en mi Google Reader!

Genial leerte!
Saludos,

Manu

Manu dijo...

puff...
me costó encontrarlo, pero acá esta:

tu feed:
http://eltopologico.blogspot.com/atom.xml

lo pongo por si otro tmb estuvo tratando de agregar este blog a su Reader.


Saludos!