(A la parte 7 – A la parte 8)
Breve interregno
Hemos visto la definición de los ordinales y el modo en que estos se suman y se multiplican. Ahora bien, uno podría preguntarse ¿para qué sirve sumar y multiplicar ordinales? Más allá de la importancia intrínseca de las operaciones en sí, para Cantor la posibilidad de realizar estas operaciones tenía una importancia crucial, menos matemática que ideológica.
Como ya se dijo, Cantor veía a los ordinales como una extensión del sistema de los números naturales, como una forma de seguir contando más allá del infinito. De hecho es así como los presenta en su artículo de 1883, donde los llama, de hecho, “números ordinales”. Y es para defender esta naturaleza “numeral” que Cantor define la suma y el producto (tanto son números que hasta se los puede sumar y multiplicar).
Pero antes que sumados o multiplicados, la característica esencial de los ordinales es que pueden ser ordenados. Sin hacerlo explícito esta idea quedó de manifiesto cuando hemos escrito 0, 1, 2, 3,..., $\omega $, $\omega +1$, $\omega +2$,..., $\omega +\omega $, $\omega +\omega +1$,... Pero, dados dos ordinales ¿cómo se determina cuál es mayor? ¿Están bien ordenados los ordinales? En las siguientes entradas responderemos estas preguntas y veremos cómo las respuestas nos llevan directamente a la (mal) llamada Paradoja de Burali-Forti.
Por otra parte ¿por qué Cantor quería contar “más allá del infinito”? Especialmente en un contexto histórico que era fuertemente reacio a ese tipo de pensamiento. Veremos también esto en las sucesivas entradas.
Por el momento, en la próxima parte, aunque no podremos decir quién vigila a los vigilantes sí podremos hablar de cómo se ordenan los ordinales.
(A la parte 7 – A la parte 8)
9.12.07
El Omegón y todo eso... (Parte 7)
(A la parte 6 – A la parte 7 1/2)
Producto de ordinales
A todo conjunto bien ordenado le corresponde un ordinal; a dos conjuntos equivalentes les corresponde el mismo ordinal.
Para definir la suma de ordinales, es decir para definir $\alpha +\beta $, hemos tomado un conjunto A que corresponda al ordinal $\alpha $, un conjunto B que corresponde al ordinal $\beta $ y con ellos hemos construido un nuevo conjunto bien ordenado, que hemos llamado (AB), y que consiste esencialmente en colocar una copia de B a continuación de A. Convinimos en definir entonces que $\alpha +\beta $ es el ordinal que corresponde a (AB).
Con más precisión, (AB) es un conjunto de pares, todos ellos de la forma (a,0) con $a\in A$, o (b,1) con $b\in B$. Para comparar dos pares, primero se comparan sus segundas coordenadas y, en caso de que éstas sean iguales, se comparan entonces las primeras.
Para definir el producto $\alpha \times \beta $ se procede de manera similar. Tomamos un conjunto A correspondiente al ordinal $\alpha $, un conjunto B correspondiente al ordinal $\beta $, y con ellos construimos un nuevo conjunto cuyo ordinal será, por definición, $\alpha \times \beta $.
Si A y B son dos conjuntos, su producto cartesiano $A\times B$ es el conjunto formado por todos los pares (a,b) tales que a es un elemento de A y b es un elemento de B. Por ejemplo, $N\times \{ 0,1\} $ es el conjunto de los pares (n,0) y (n,1) con $n\in $. Tomamos en $A\times B$ el mismo orden que antes definimos para pares: primero se comparan las segundas coordenadas y, si éstas son iguales, se comparan entonces las primeras coordenadas.
Ejercicio para el lector interesado: Demostrar que si A y B son bien ordenados entonces $A\times B$ también lo es.
Definición: Si A corresponde al ordinal $\alpha $ y B corresponde al ordinal $\beta $ entonces $\alpha \times \beta $ es el ordinal de $A\times B$.
Ejemplos:
1) Afortunadamente $\alpha \times 1$ = $1\times \alpha $ = $\alpha $. También $\alpha \times 0$ = $0\times \alpha $ = 0.
2) Resulta claro de las definiciones que (AA) = $A\times \{ 0,1\}$, por lo tanto $\alpha + \alpha = \alpha \times 2$. En particular $\omega + \omega = \omega \times 2$.
3) El ordenamiento de $N\times \{ 0,1\}$ es así: (0,0), (1,0), (2,0),...., (0,1), (1,1,), (2,1),... (primero van todos los pares que tienen segunda coordenada igual a 0 y luego todos los que tienen segunda coordenada igual a 1). Este ordenamiento corresponde a $\omega +\omega $, tal como se dijo en el ejemplo anterior.
El ordenamiento de $\{ 0,1\} \times N$ es así: (0,0), (1,0), (0,1), (1,1), (0,2), (1,2),... (primero van todos los pares que tienen segunda coordenada igual a 0, luego todos los que tienen segunda coordenada igual a 1, etc.) que es equivalente al ordenamiento de N.
Luego $\omega \times 2 = \omega + \omega $, pero $2\times \omega = \omega $. Es decir, el producto de ordinales no es conmutativo.
4) El ordenamiento de $N\times N$ es así: (0,0), (1,0), (2,0), (3,0),..., (0,1), (1,1), (2,1), (3,1),... , (0,2), (1,2), (2,2), (3,2),..., (0,3), (1,3), (2,3), (3,3),..., (0,4), (1,4), (2,4), (3,4),...,...,...,..., (0,n), (1,n), (2,n), (3,n),...,... que corresponde a $\omega +\omega +\omega +\dots $ (“$\omega $” veces). Esto corresponde con la idea intuitiva de de $\omega +\omega +\omega +\dots $ (“$\omega $” veces) = $\omega \times \omega $.
Observaciones:
1) El producto de ordinales es asociativo: $(\alpha \times \beta )\times \gamma = \alpha \times (\beta \times \gamma )$.
2) No es cierto que $(\alpha + \beta )\times \gamma $ sea igual a $(\alpha \times \gamma ) + (\beta \times \gamma )$, ya que como vimos $(1 + 1)\times \omega $ no es igual a $(1\times \omega ) + (1\times \omega )$.
3) ¿Será cierto que $\gamma \times (\alpha + \beta ) = (\gamma \times \alpha ) + (\gamma \times \beta )$?
(A la parte 6 – A la parte 7 1/2)
Producto de ordinales
A todo conjunto bien ordenado le corresponde un ordinal; a dos conjuntos equivalentes les corresponde el mismo ordinal.
Para definir la suma de ordinales, es decir para definir $\alpha +\beta $, hemos tomado un conjunto A que corresponda al ordinal $\alpha $, un conjunto B que corresponde al ordinal $\beta $ y con ellos hemos construido un nuevo conjunto bien ordenado, que hemos llamado (AB), y que consiste esencialmente en colocar una copia de B a continuación de A. Convinimos en definir entonces que $\alpha +\beta $ es el ordinal que corresponde a (AB).
Con más precisión, (AB) es un conjunto de pares, todos ellos de la forma (a,0) con $a\in A$, o (b,1) con $b\in B$. Para comparar dos pares, primero se comparan sus segundas coordenadas y, en caso de que éstas sean iguales, se comparan entonces las primeras.
Para definir el producto $\alpha \times \beta $ se procede de manera similar. Tomamos un conjunto A correspondiente al ordinal $\alpha $, un conjunto B correspondiente al ordinal $\beta $, y con ellos construimos un nuevo conjunto cuyo ordinal será, por definición, $\alpha \times \beta $.
Si A y B son dos conjuntos, su producto cartesiano $A\times B$ es el conjunto formado por todos los pares (a,b) tales que a es un elemento de A y b es un elemento de B. Por ejemplo, $N\times \{ 0,1\} $ es el conjunto de los pares (n,0) y (n,1) con $n\in $. Tomamos en $A\times B$ el mismo orden que antes definimos para pares: primero se comparan las segundas coordenadas y, si éstas son iguales, se comparan entonces las primeras coordenadas.
Ejercicio para el lector interesado: Demostrar que si A y B son bien ordenados entonces $A\times B$ también lo es.
Definición: Si A corresponde al ordinal $\alpha $ y B corresponde al ordinal $\beta $ entonces $\alpha \times \beta $ es el ordinal de $A\times B$.
Ejemplos:
1) Afortunadamente $\alpha \times 1$ = $1\times \alpha $ = $\alpha $. También $\alpha \times 0$ = $0\times \alpha $ = 0.
2) Resulta claro de las definiciones que (AA) = $A\times \{ 0,1\}$, por lo tanto $\alpha + \alpha = \alpha \times 2$. En particular $\omega + \omega = \omega \times 2$.
3) El ordenamiento de $N\times \{ 0,1\}$ es así: (0,0), (1,0), (2,0),...., (0,1), (1,1,), (2,1),... (primero van todos los pares que tienen segunda coordenada igual a 0 y luego todos los que tienen segunda coordenada igual a 1). Este ordenamiento corresponde a $\omega +\omega $, tal como se dijo en el ejemplo anterior.
El ordenamiento de $\{ 0,1\} \times N$ es así: (0,0), (1,0), (0,1), (1,1), (0,2), (1,2),... (primero van todos los pares que tienen segunda coordenada igual a 0, luego todos los que tienen segunda coordenada igual a 1, etc.) que es equivalente al ordenamiento de N.
Luego $\omega \times 2 = \omega + \omega $, pero $2\times \omega = \omega $. Es decir, el producto de ordinales no es conmutativo.
4) El ordenamiento de $N\times N$ es así: (0,0), (1,0), (2,0), (3,0),..., (0,1), (1,1), (2,1), (3,1),... , (0,2), (1,2), (2,2), (3,2),..., (0,3), (1,3), (2,3), (3,3),..., (0,4), (1,4), (2,4), (3,4),...,...,...,..., (0,n), (1,n), (2,n), (3,n),...,... que corresponde a $\omega +\omega +\omega +\dots $ (“$\omega $” veces). Esto corresponde con la idea intuitiva de de $\omega +\omega +\omega +\dots $ (“$\omega $” veces) = $\omega \times \omega $.
Observaciones:
1) El producto de ordinales es asociativo: $(\alpha \times \beta )\times \gamma = \alpha \times (\beta \times \gamma )$.
2) No es cierto que $(\alpha + \beta )\times \gamma $ sea igual a $(\alpha \times \gamma ) + (\beta \times \gamma )$, ya que como vimos $(1 + 1)\times \omega $ no es igual a $(1\times \omega ) + (1\times \omega )$.
3) ¿Será cierto que $\gamma \times (\alpha + \beta ) = (\gamma \times \alpha ) + (\gamma \times \beta )$?
(A la parte 6 – A la parte 7 1/2)
4.12.07
El Omegón y todo eso... (Parte 6)
(A la parte 5 – A la parte 7)
Suma de ordinales
En la parte anterior usamos notaciones como $\omega $ o como $\omega +\omega $. El uso del signo “+” no es accidental ya que existe, en efecto, una suma de ordinales.
Recordemos que en la parte anterior hicimos la siguiente construcción: colocamos una copia de N a continuación de otra copia de N. Para distinguir una copia de otra, a los números de la segunda copia les pusimos apóstrofes, el ordenamiento quedaba entonces así: 0,1, 2, 3, 4, 5,..., 0’, 1’, 2’, 3’, 4’, 5’...
Otra forma de distinguir una copia de otra es agregar un 0 a la derecha de cada número de la primera copia y un 1 a la derecha de cada número de la segunda copia, de este modo quedarían asó: (0,0), (1,0), (2,0), (3,0),..., (0,1), (1,1), (2,1), (3,1),...
Cada número se transforma de este modo en un par ordenado (x,y), la segunda coordenada indica a qué copia pertenece el número x (y = 0 corresponde a la primera copia, y = 1 corresponde a la segunda copia). Así por ejemplo, (4,0) es el número 4 de la primera copia.
Todos los números de la primera copia son menores que todos los de la segunda. Si traducimos esta condición al lenguaje de los pares ordenados, entonces para comparar (a,b) con (u,v) se compara primero b con v, el par mayor será el que tenga la segunda coordenada más grande, pero si b = v (o sea, si ambos números pertenecen a la misma copia) entonces se comprara u con a y en ese caso el par mayor será el que tenga la primera coordenada más grande.
El lenguaje de pares nos permite fácilmente extender la idea a la construcción de tres copias de N: (0,0), (1,0), (2,0), (3,0),..., (0,1), (1,1), (2,1), (3,1),... , (0,2), (1,2), (2,2), (3,2),... (los números de la tercera copia se identifican con un 2). O cuatro copias de N: (0,0), (1,0), (2,0), (3,0),..., (0,1), (1,1), (2,1), (3,1),..., (0,2), (1,2), (2,2), (3,2),..., (0,3), (1,3), (2,3), (3,3),... (Los pares siempre se comparan comenzando por la segunda coordenada.)
O también podemos extender la idea a la construcción de infinitas copias de N: (0,0), (1,0), (2,0), (3,0),..., (0,1), (1,1), (2,1), (3,1),... , (0,2), (1,2), (2,2), (3,2),..., (0,3), (1,3), (2,3), (3,3),..., (0,4), (1,4), (2,4), (3,4),...,...,...,..., (0,n), (1,n), (2,n), (3,n),...,...
Generalicemos esta idea:
Definición: Si A y B son dos conjuntos bien ordenados, llamaremos (AB) al conjunto que consiste en escribir los elementos de B "a continuación" de todos los elementos de A. Para evitar confusiones, a los elementos de A les agregamos un 0 a su derecha y a los de B les agregamos un 1. El conjunto que consiste en escribir N a continuación de N es, entonces, (NN).
Ejercicio para el lector interesado: Demostrar que si A y B son bien ordenados entonces (AB) también es bien ordenado.
Ejemplos:
1) (N{0}) es el conjunto (0,0), (1,0), (2,0), (3,0),..., (0,1), que es equivalente a 0, 1, 2, 3, 4,..., 0’.
2) ({0}N) es el conjunto (0,0), (0,1), (0,2), (0,3),... que es equivalente a 0’, 0, 1, 2, 3,... y que, a su vez, es equivalente a N.
Definición: Si $\alpha $ es el ordinal de A y $\beta $ es el ordinal de B entonces $\alpha + \beta $ es el ordinal de (AB). Es palabras simples, sumar dos ordinales consiste en escribir uno a continuación del otro.
Ejemplos:
1) $\omega +1$ es el ordinal de (N{0}), y corresponde entonces al ordenamiento 0, 1, 2, 3, 4,..., 0’.
2) $1+\omega $ es el ordinal de ({0}N), que corresponde al ordenamiento 0’, 0, 1, 2, 3, 4,..., que a su vez es equivalente a N, o sea $1+\omega =\omega $.
Conclusión: la suma de ordinales no es conmutativa, $\omega +1$ es distinto de $1+\omega $.
Ejercicio para el lector interesado: Demostrar que la suma de ordinales es asociativa, o sea que $(\alpha + \beta ) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma )$. En otras palabras, ((AB)C) es equivalente a (A(BC)).
(A la parte 5 – A la parte 7)
Suma de ordinales
En la parte anterior usamos notaciones como $\omega $ o como $\omega +\omega $. El uso del signo “+” no es accidental ya que existe, en efecto, una suma de ordinales.
Recordemos que en la parte anterior hicimos la siguiente construcción: colocamos una copia de N a continuación de otra copia de N. Para distinguir una copia de otra, a los números de la segunda copia les pusimos apóstrofes, el ordenamiento quedaba entonces así: 0,1, 2, 3, 4, 5,..., 0’, 1’, 2’, 3’, 4’, 5’...
Otra forma de distinguir una copia de otra es agregar un 0 a la derecha de cada número de la primera copia y un 1 a la derecha de cada número de la segunda copia, de este modo quedarían asó: (0,0), (1,0), (2,0), (3,0),..., (0,1), (1,1), (2,1), (3,1),...
Cada número se transforma de este modo en un par ordenado (x,y), la segunda coordenada indica a qué copia pertenece el número x (y = 0 corresponde a la primera copia, y = 1 corresponde a la segunda copia). Así por ejemplo, (4,0) es el número 4 de la primera copia.
Todos los números de la primera copia son menores que todos los de la segunda. Si traducimos esta condición al lenguaje de los pares ordenados, entonces para comparar (a,b) con (u,v) se compara primero b con v, el par mayor será el que tenga la segunda coordenada más grande, pero si b = v (o sea, si ambos números pertenecen a la misma copia) entonces se comprara u con a y en ese caso el par mayor será el que tenga la primera coordenada más grande.
El lenguaje de pares nos permite fácilmente extender la idea a la construcción de tres copias de N: (0,0), (1,0), (2,0), (3,0),..., (0,1), (1,1), (2,1), (3,1),... , (0,2), (1,2), (2,2), (3,2),... (los números de la tercera copia se identifican con un 2). O cuatro copias de N: (0,0), (1,0), (2,0), (3,0),..., (0,1), (1,1), (2,1), (3,1),..., (0,2), (1,2), (2,2), (3,2),..., (0,3), (1,3), (2,3), (3,3),... (Los pares siempre se comparan comenzando por la segunda coordenada.)
O también podemos extender la idea a la construcción de infinitas copias de N: (0,0), (1,0), (2,0), (3,0),..., (0,1), (1,1), (2,1), (3,1),... , (0,2), (1,2), (2,2), (3,2),..., (0,3), (1,3), (2,3), (3,3),..., (0,4), (1,4), (2,4), (3,4),...,...,...,..., (0,n), (1,n), (2,n), (3,n),...,...
Generalicemos esta idea:
Definición: Si A y B son dos conjuntos bien ordenados, llamaremos (AB) al conjunto que consiste en escribir los elementos de B "a continuación" de todos los elementos de A. Para evitar confusiones, a los elementos de A les agregamos un 0 a su derecha y a los de B les agregamos un 1. El conjunto que consiste en escribir N a continuación de N es, entonces, (NN).
Ejercicio para el lector interesado: Demostrar que si A y B son bien ordenados entonces (AB) también es bien ordenado.
Ejemplos:
1) (N{0}) es el conjunto (0,0), (1,0), (2,0), (3,0),..., (0,1), que es equivalente a 0, 1, 2, 3, 4,..., 0’.
2) ({0}N) es el conjunto (0,0), (0,1), (0,2), (0,3),... que es equivalente a 0’, 0, 1, 2, 3,... y que, a su vez, es equivalente a N.
Definición: Si $\alpha $ es el ordinal de A y $\beta $ es el ordinal de B entonces $\alpha + \beta $ es el ordinal de (AB). Es palabras simples, sumar dos ordinales consiste en escribir uno a continuación del otro.
Ejemplos:
1) $\omega +1$ es el ordinal de (N{0}), y corresponde entonces al ordenamiento 0, 1, 2, 3, 4,..., 0’.
2) $1+\omega $ es el ordinal de ({0}N), que corresponde al ordenamiento 0’, 0, 1, 2, 3, 4,..., que a su vez es equivalente a N, o sea $1+\omega =\omega $.
Conclusión: la suma de ordinales no es conmutativa, $\omega +1$ es distinto de $1+\omega $.
Ejercicio para el lector interesado: Demostrar que la suma de ordinales es asociativa, o sea que $(\alpha + \beta ) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma )$. En otras palabras, ((AB)C) es equivalente a (A(BC)).
(A la parte 5 – A la parte 7)
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