1.11.07

Un problema de lógica

En una habitación hay tres personajes, llamados Alfio, Beto y Gamo. Algunos (tal vez todos, tal vez ninguno) son veraces: todas sus afirmaciones son verdaderas. Otros (tal vez todos, tal vez ninguno) son mentirosos: todas sus afirmaciones son falsas. Ninguno de los tres se conocía a los otros antes de llegar a la habitación por lo que nadie sabe cuáles de los otros dos son veraces o mentirosos.

Una caja en la habitación contiene (y los nuestros tres protagonistas lo saben) cinco sombreros, tres de los cuales son blancos y dos son negros. Con los ojos cerrados, cada uno de los tres toma un sombrero y se lo pone en la cabeza. La caja después es cerrada de modo que nadie sepa qué sombreros quedaron dentro.

Después de ponerse los sombreros, al abrir los ojos, cada uno conoce qué sombreros tienen los otros, pero no el propio (no hay espejos ni otras superficies reflectantes, no hay trampa).

Después de un rato Alfio dice: "Puedo deducir de qué color es mi sombrero".

(Una aclaración necesaria: los tres son lógicos perfectos. Si Alfio dice que puede deducir el color de su sombrero es que la información de que dispone es suficiente como para hacer esa deducción. Claro que Alfio puede estar mintiendo al afirmar eso. Por cierto, la información de que dispone Alfio es la que aquí se ha dicho, además del hecho de que él puede ver el color del sombrero de Beto y Gamo.)

Beto agrega: "Veo dos sombreros del mismo color."

Gamo dice entonces: "Puedo deducir si Beto es veraz o mentiroso".

Alfio agrega: "Puedo deducir si Gamo es veraz o mentiroso."

Beto dice entonces: "Puedo deducir el color de mi sombrero."

¿De qué color es el sombrero de cada uno? ¿Quénes son veraces y quiénes son mentirosos?

2 comentarios:

Toro Sentado dijo...

Alfio tiene el sombrero blanco y es mentiroso, Beto tiene el sombrero negro y es veraz, y Gamio tiene el sombrero blanco y es mentiroso.

Para demostrarlo uso la siguiente notación:
xV = x es veraz
xF = x es mentiroso
x es A (Alfio), B (Beto) o G (Gamio)
abc son los colores de los respectivos sombreros de A, B y G.
a, b o c, pueden ser B (Blanco), o N(Negro)

Aquí viene la demostración.
Cada línea numerada es una línea de argumentación. A partir de cada afirmación hecha en el problema se enumeran los valores de veracidad de A, B y G que se deducen de la afirmación y a continuación los valores posibles de los sombreros. Las líneas que acaban en una contradicción no se continúan.


Afirmación 1:
1 (AV), (BNN)
2 (AF), (NBN, NBB, NNB, BBN, BBB, BNB)

Afirmación 2:
1 (AV, BF), (BNN)
2 (AF, BV), (NBN, BBB, BNB)
3 (AF, BF), (BBN, NBB, NNB)

Afirmación 3:
1(AV, BF, GF), (BNN)
2(AF, BV, GF), (NBN, BBB, BNB)
3(AF, BF, GV), (NNB)
4(AF, BF, GF), (BBN, NBB)

Afirmación 4:
1(AV, BF, GF, AV), (BNN)
2(AF, BV, GF, AV), (CONTRADICCIÓN)
3(AF, BV, GF, AF), (BNB)
4(AF, BF, GV, AF), (NNB)
5(AF, BF, GF, AV), (CONTRADICCIÓN)

Afirmación 5:
1(AV, BF, GF, AV, BV), (CONTRADICCIÓN)
3(AF, BV, GF, AF, BV), (BNB)
4(AF, BF, GV, AF, BV), (CONTRADICCIÓN)

Toro Sentado dijo...

Para que la solución no sea tan críptica aquí van algunas aclaraciones:

Afirmación 1: (A puede deducir el color de su sombrero)
Solo pueden darse dos casos AV y AF, AV solo es posible si ve dos sombreros negros de ahí que la única posibilidad sea BNN
Si AF las posibilidades son todas excepto BNN

Afirmación 2: (B ve dos sombreros del mismo color)
Si AV, BV no puede ser porque la única posibilidad es BNN y entonces B solo puede estar mintiendo.
Si AF y BV las posibilidades son aquellas en las que B ve dos sombreros iguales, en caso de que BF las posibilidades son las que ve sombreros diferentes

Afirmación 3: (G puede saber si B miente o no)
Si AV y BF, GV no puede ser porque como la única posibilidad sería BNN, G no podría saber si la situación es BNN o BNB que es la situación posible 2
Si AF y BV, GV no es posible porque no podría distinguir entre las siguientes situaciones:
NBN (en 2) o NBB (3)
BBB (en 2), o BBN (en 3)
BNB (en 2) o BNN (en 1)

Afirmación 4: (A puede saber si G miente o no)
Si AF, BF y GF, no es posible que AF. Porque A puede saber en todos los casos si G miente o no. Concretamente
- Si está en BBN, no puede distinguir con lo que ve entre BBN (en 4) y NBN (en 2) pero en ambos casos sabe que G miente
- Si está en NBB, no puede distinguir con lo que ve entre NBB (en 4) y BBB (en 2), pero en ambos casos se sabe que G miente

Afirmación 5: (B puede saber el color de su sombrero)
Si AV, BF, GF y AV, BF no puede ser porque siendo el caso BNN, por el razonamiento seguido hasta la afirmación 4 ya se sabe que BBN no es el caso, y B podría saber el color de su sombrero.

Si AF, BF, GV y AF, no puede ser BF porque en este caso la situación sería NNB y por el razonamiento hasta la afirmación 4 NBB ya se ha descartado como posibilidad, y B podría saber el color de su sombrero.

Espero haber hecho el proceso deductivo más claro y entendible