19.11.05

Sistemas de frases (una teoría)

Éste es un intento de formalización de los sistemas de frases (aunque en realidad no todos los sistemas de los problemas anteriores son contemplados en ella).

Parte 1: Frases.

Por una frase atómica entenderemos una expresión que puede tomar cualquiera de las tres formas siguientes:

Tipo 1) Las frases cuyos números están en el conjunto A son V.
Tipo 2) Las frases cuyos números están en el conjunto A son F.
Tipo 3) Las frases cuyos números están en el conjunto A son equivalentes.

Donde V y F son símbolos primitivos y A es un conjunto finito no vacío de enteros positivos. Cuando la frase sea del Tipo 1 o Tipo 2 y A esté formado solamente por el número n habitualmente las frases adoptarán la forma:

1') La frase n es V.
2') La frase n es F.

Una frase se define como:

a) Las frases atómicas son frases.
b) Si P es una frase, la negación de P (que escribiremos "No es cierto que P") es también una frase.
c) Si P es una frase y Q es una frase entonces "P y Q", "P o Q" y "Si P entonces Q" son frases.
d) Toda frase se obtiene aplicando sucesivamente las reglas anteriores una cantidad finita de veces.

Parte 2: Sistemas.

Un sistema de frases es una sucesión finita de frases: P1, P2,....,Pm. Un sistema será válido si y sólo si en todos los casos los conjuntos mencionados en las frases están contenidos en el conjunto {1,...m}. En otras palabras, si las frases sólo se refieren a frases del sistema. En lo sucesivo siempre supondremos que los sistemas son válidos.

Parte 3: Valuaciones.

Una valuación para un sistema de frases es una función que a cada frase le asigna el símbolo V o el símbolo F. Dada una valuación, serán equivalentes las expresiones "A la frase Pn le corresponde el símbolo V", "Pn es V" y "La frase n es V" (análogamente con F).

Dada una valuación para un sistema diremos que una frase del Tipo 1 es verdadera si y sólo si a todas las frases cuyos índices están en A les corresponde V. Una frase del tipo 2 es verdadera si y sólo si a todas las frases cuyos subíndices están en A les corresponde F. Una frase del tipo 3 es verdadera si y sólo si a todas las frases cuyos subíndices están en A les corresponde el mismo símbolo. (Cuando no son verdaderas, son falsas).

Para las frases compuestas se procede del modo habitual: "P y Q" es verdadera si y sólo si tanto P como Q lo son, "P o Q" es verdadera si y sólo si al menos una de ambas es verdadera, etc.

Nota: "es verdadera" (resp. falsa) será equivalente a "hace una afirmación verdadera" (resp. falsa).

Definición: Un sistema es compatible si y sólo si admite una valuación tal que todas las frases que, por esa valuación, son V hacen afirmaciones verdaderas y todas las frases que, por esa valuación son F, hacen afirmaciones falsas. Si esta valuación, además, es única entonces el sistema se dirá compatible determinado.

Si no es compatible, se dirá incompatible.

Parte 4: Notas.

1) Las palabras "compatible", "determinado" e "incompatible" están inspiradas en los términos análogos usados al referirse a los sistemas de ecuaciones lineales.

2) Se aceptarán abreviaturas "naturales". Por ejemplo, si Pn es "La frase n es F" entonces podrá también decirse que Pn afirma "Esta frase es F". O por ejemplo, si P1 es "Las frases cuyos números están en el conjunto A son V" y A es el conjunto de todos los subíndices
de las frases del sistema entonces podremos rescribir P1 como "Todas las frases son V".

3) En esta formalización no se admiten "sistemas autorreferentes", la frase "El sistema es incompatible" no es admisible. Tampoco se admiten sistemas infinitos. La formalización puede ampliarse fácilmente para incluir otras frases atómicas, además de las de Tipo 1, 2 o 3. El único requisito es que esté claramente definido el criterio para determinar cuándo es verdadera y cuándo falsa. Una posible cuarta frase atómica es:

Tipo 4) "El sistema es compatible", que es verdadera si el sistema que la contiene es compatible y falsa en caso contrario.

Parte 5: Tres teoremas.

Teorema 1 (o Teorema del Mentiroso): El sistema formado por la única frase

1) "La frase 1 es F"

es incompatible.

Teorema 2: Si el sistema es compatible y la frase Pn dice "Esta frase es equivalente a Pm" (más formalmente Pn es "Las frases cuyos números están en el conjunto {n, m} son equivalentes") entonces a Pm le corresponde V.

Teorema 3 (o Teorema de la no paradoja): Un sistema cuyas frases estén construidas a partir de frases atómicas de los tipos 1, 2 o 3 es o bien compatible o bien incompatible.

En otras palabras, si el sistema no se refiere globalmente a sí mismo no hay riesgo de paradoja. Podemos llamar no paradójicos a estos sistemas, a los cuales se les puede atribuir consistentemente la condición de compatible o la de incompatible. Por el contrario, un ejemplo de sistema paradójico sería:

1) Las dos frases son equivalentes.
2) El sistema es incompatible.

que sólo puede ser compatible si la frase 2 es verdadera, pero en ese caso debe ser incompatible.

1 comentario:

Alexis Andreiev dijo...

Señor, me complace mucho leer su Sistema de Frases. Pero es perfectamente posible construir en un sentido completamente valido para sistemas logicos ( en logica de primer orden ) oraciones que sean autoreferentes y no sean sinsentidos. La prohibiciín parece artificiosa, mas alla de lo artificiales que son los lenguajes formales.El problema, que no se barrunta, es que si permitimos frases autoreferentes, aparecen otras que sí son sin-sentidos( o esta oracion es falsa o la nada existe ). Sin la restriccion de niveles de lenguaje, el calculo proposicional puede utilizarse para probar cualquier cosa. Y sabemos por el logico Saul Kripke que un lenguaje puede autocontener en un sentido consistente su predicado de verdad.
Propongo distinguir entre proposiciones -secuencias finitas de caracteres de un vocabulario V con sonido y significado asociados-, y cuasiproposiciones, en el sentido del matematico argentino gregorio klimovsky, o sea, secuencias finitas de caracteres de un vocavulario V areferenciales. Creo que los problemas de autoreferencia son una caracteristica fugada de las lenguas naturales. Mientras permanezcamos dentro de una lengua natural, sea incluso con terminos tecnicos creados a posteriori, podrian seguir los inconvenientes. Pero las cuasiproposicones del calculo de primer orden, mientras permanezcan ininterpretadas, solo son signos carentes de significado con completitud probada.