7.10.05

Tarjetas premiadas

Un jugador recibe, a razón de una por día, n tarjetas elegidas al azar. Cada tarjeta puede tener anotado un 1, un 2, un 3 o una X. Cada vez que el jugador reúne un 1, un 2 y un 3 puede canjear la terna por un premio. La tarjeta X oficia de comodín y puede ser utilizada tanto como un 1, un 2 o un 3. Por ejemplo la terna X 2 3 puede ser canjeada por un premio, lo mismo la terna 1 X 3, o la terna 1 2 X.

Hay dos tipos de jugador: el ansioso y el paciente. El jugador ansioso canjea una terna de tarjetas en el mismo momento en que esto es posible. El jugador paciente, en cambio, espera a recibir las n tarjetas y recién entonces decide qué canjes debe hacer para obtener la mayor cantidad de premios que sea posible.

Por ejemplo, supongamos que n = 6 y que las tarjetas que recibe el jugador sean, en ese orden, 1 2 X 3 2 3. Si el jugador es ansioso, al tercer día canjeará 1 2 X por un premio y al sexto día tendrá 3 2 3. Como esto no le permite hacer un segundo canje, ganó solamente un premio. El jugador paciente, en cambio, esperará a tener las seis tarjetas, formará con ellas las ternas 1 2 3 por un lado y X 2 3 por el otro, y ganará así dos premios.

a) Supongamos ahora que n = 9, ¿es posible dar una distribución de tarjetas de tal modo que el jugador ansioso gane 2 premios y el paciente gane 3? La respuesta es sí, ¿cómo se logra?

b) Si n = 9, encuentren una secuencia de tarjetas para la cual el jugador ansioso gane solamente un premio y el paciente gane 3.

c) Si n = 12, ¿es posible dar una distribución de tarjetas de modo que el jugador paciente gane 4 premios y el ansioso gane sólo uno?

d) Si n = 3k, ¿es siempre posible dar una distribución de tarjetas de modo que el paciente gane k premios y el ansioso gane sólo uno?

e) Si n = 3k, ¿es siempre posible dar una distribución de tarjetas de modo que el paciente gane k premios y el ansioso gane 2? ¿y que el ansioso gane 3? ¿4? ¿etc.?

Nota final: Tenía en mente introducir un tercer tipo de jugador, al que había bautizado jugador humilde. Como el paciente, el humilde esperará a recibir las n figuritas antes de decidir qué canjes hacer, pero su objetivo, contrariamente al paciente, será obtener la menor cantidad posible de premios (canjearía todas las ternas que lograra formar, pero elegiría esas ternas de tal modo que su cantidad sea mínima). Omití este tercer tipo de jugador porque creo que en el fondo es casi equivalente al ansioso.

1 comentario:

Leonardo dijo...

a) En el caso de n=6, el punto es que hay un comodín que "debería" remplazar al 1, que es el que no está repetido. Sin embargo el ansioso lo usa para remplazar el 3, y luego le falta 1 y le sobra 3. Para que suceda algo parecido con n=9, tiene que haber dos comodines que "deberían" remplazar números distintos a los que el ansioso remplaza.

Luego, una solución posible es:

X,2,1,X,2,1,3,3,3

donde las X "deberían" usarse para el 2 y el 1 y el ansioso los usaría para el 3. Luego le faltarían el 1 y el 2.

b) Para que gane un solo premio es parecido, pero los dos comodines deberían salir entre las primeras tres tarjetas. Si los comodines remplazan, por ejemplo, 1 y 1, si salen con un 1, el ansioso los usará como 2 y 3. Luego no podrá formar ninguna terna mas. Una solución sería:

X,X,1,2,2,2,3,3,3


c) Para poder hacerlo con 12 tarjetas, el ansioso debería formar terna con las primeras tres y luego no tener más ternas (o formar terna con 3 cualesquiera, el tema es que las otras 9 terminarán formando una terna tarde o temprano) El problema es que las 9 tarjetas que quedan después de las primeras tres SIEMPRE formarán al menos una terna en algún momento.

Supongamos que las primeras 3 que salen son X. El ansioso las canjeará por premio y el paciente esperará.

Las X, para que sea posible ganar 4 premios, deben remplazar números específicos. Por ejemplo, podemos suponer que las X deben remplazar todos unos para ganar 4 premios.

Entonces el ansioso debe usar las X incorrectamente, para que luego le falten los 1 para los siguientes premios.

El problema es que poniendo x,x,x formará una terna donde una x será 1, luego podrá hacer, indefectiblemente, otra terna.

Respuesta: no es posible.

Y con razonamiento similar:

d) no es posible.

e) Supongo que se puede hacer que el ansioso gane una menos que el paciente. Es decir, si hay 3k tarjetas, el paciente gana k y el ansioso gana k-1 premios.

(k-1) x (es decir una cantidad de x igual a k-1)

Por ejemplo:

x,1,2,x,1,2,x,1,2,x,1,2,3,3,3

El ansioso usará las x como 3, formando las cuatro primeras ternas, luego al salir 3,3,3 al final, no tendrá posibilidad de formar otra. El paciente en cambio, usará dos de las x como 3 y las otras como 1 y 2, formando 5 ternas.

Aplicando este procedimiento, podemos generalizarlo:

Si hay 3k tarjetas, y suponemos que los tres números son p,q,r, donde las letras corresponden a 1,2,3 aunque en ningún orden particular, entonces si las tarjetas salen:

(x,p,q) repetido 3k-1 veces y al final sale (r,r,r) entonces el ansioso logrará k-1 premios y el paciente k premios.

Hasta acá llego por hoy.