27.10.05

Curva

Trataremos aquí por primera vez un tema topológico. Diremos que una curva cerrada C dibujada en el plano es regular con respecto a un punto P si toda recta que pasa por P corta a C exactamente dos veces.
Dos puntos de C, digamos Q y R, se dirán diametralmente opuestos con respecto a P si los tres puntos Q, P y R están alineados.

El problema consiste en demostrar que si C es regular con respecto a P entonces existen Q y R diametralmente opuestos con respecto a P tales que P equidista de Q y R.

3 comentarios:

homero dijo...

Se me ocurre una demostración, pero no se si seré capaz de explicarla sin imágenes. Haré el intento.

Dada una curva C, un punto P tal que C es regular respecto a P, y dos puntos, A(0) y B(0), tales que A(0) y B(0) son los puntos que se obtienen trazando por P un diámetro en 0º (horizontal), y son diametralmente opuestos respecto a P.

Asumamos, sin pérdida de generalidad, que la distancia de P a A(0) es menor que de P a B(0). Ahora, variamos gradualmente el ángulo de la diagonal, definiendo así nuevos pares de puntos diametralmente opuestos, hasta llegar hasta un ángulo de 180º, donde se cumple que A(0)=B(180), y B(0)=A(180), es decir, la distancia entre P y A(180) es mayor que entre P y B(180).

Se define ahora una función F(x) como dist(P,A(x))-dist(P,B(x)). Se sabe que cuando x=0º, F(x)<0, y que cuando x=180º, F(x)>0. Como la función F(x) es continua (ya que las dos distancias también lo son en función del ángulo, y debido a que la curva es continua también), podemos asegurar que para algún x* entre 0º y 180º se cumple que F(x*)=0, lo que implica que A(x*) y B(x*) son dos puntos diametralmente opuestos respecto a P, y que equidistan de P.

Espero que se entienda...

leonbloy dijo...

creo que es la demostración "natural",
yo pensé exactamente lo mismo.

de todas maneras, no estoy seguro de entender el adjetivo "topológico" aplicado al problema. me pregunto si no es un abuso.
(por lo poco que sé, la topología se abstrae del concepto de "distancia", el cual es esencial al planteo del problema)

Leonardo dijo...

Creo que lo más simple es trazar un diámetro de la circunferencia que pase por P y luego una perpendicular a ese diámetro, también por P.

Se puede demostrar fácilmente que los puntos Q y R determinados sobre la circunferencia, equidistan de P.

(Por ejemplo, trazando los triángulos PCQ y PCR, donde C es el centro de la circunferencia. Tienen un lado compartido - el CP - los lados CQ y CR son iguales por ser radios y por lo tanto los lados restantes son iguales - PQ y PR - por ser ambos triángulos rectángulos)

Saludos
(Y perdón si mis comentarios se van tan atrás en el tiempo, sucede que no conocía el blog hasta hace un par de años y nunca había leído la mayoria de las publicaciones)